1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (十六 ) 导数与函数的综合问题 A 组 基础达标 一、选择题 1方程 x3 6x2 9x 10 0 的实根个数是 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 C 设 f(x) x3 6x2 9x 10， f( x) 3x2 12x 9 3(x 1)(x 3)，由此可知函数的极大值为 f(1) 6 0，极小值为 f(3) 10 0，所以方程 x3 6x2 9x 10 0 的实根个数为 1. 2若存在正数 x 使 2x(x a) 1 成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) 【导学号： 79140088】 A ( ， ) B ( 2， ) C (0， )
2、 D ( 1， ) D 2 x(x a) 1， a x 12x. 令 f(x) x 12x， f( x) 1 2 xln 2 0. f(x)在 (0， ) 上单调递增， f(x) f(0) 0 1 1， 实数 a 的取值范围为 ( 1， ) 3已知 y f(x)为 R 上的连续可导函数，且 xf( x) f(x) 0，则函数 g(x) xf(x) 1(x 0)的零点个数为 ( ) A 0 B 1 C 0 或 1 D无 数个 A 因为 g(x) xf(x) 1(x 0)， g( x) xf( x) f(x) 0，所以 g(x)在 (0，) 上单调递增，因为 g(0) 1， y f(x)为 R 上
3、的连续可导函数，所以 g(x)为 (0，) 上的连续可导函数， g(x) g(0) 1，所以 g(x)在 (0， ) 上无零点 4 (2017 郑州市第一次质量预测 )已知函数 f(x) x 4x， g(x) 2x a，若任意 x1 ? ?12， 1 ，存在 x22, 3，使得 f(x1) g(x2)，则实数 a 的取值范围是 ( ) A a1 B a1 C a2 D a2 A 由题意知 f(x)min? ?x ? ?12， 1 g(x)min(x2,3) ，因为 f(x)min 5， g(x)min 4 a，所以 54 a，即 a1 ，故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5做一个无
4、盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27 ，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A 3 B 4 C 6 D 5 A 设圆柱的底面半径为 R，母线长为 l，则 V R2l 27 ， l 27R2，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和 S 最小 由题意， S R2 2 Rl R2 2 27R. S 2 R 54R2 ，令 S 0，得 R 3，则当 R 3 时， S 最小故选 A. 二、填空题 6若函数 exf(x)(e 2.718 28? 是自然对数的底数 )在 f(x)的定义域上单调递增，则称函数 f(x)具有 M 性质下列函数中所有具有 M 性 质的函数的序号为 _ f(x) 2 x
5、； f(x) 3 x； f(x) x3； f(x) x2 2. 设 g(x) exf(x) 对于 ， g(x) ex2 x(x R)， g( x) ex2 x ex2 xln 2 (1 ln 2)e x2 x0， 函数 g(x)在 R 上单调递增，故 中 f(x)具有 M 性质 对于 ， g(x) ex3 x(x R)， g( x) ex3 x ex3 xln 3 (1 ln 3)e x3 x0， 函数 g(x)在 R 上单调递增，故 中 f(x)具有 M 性质 综上，具有 M 性质的函数的序号为 . 7 (2017 江苏高考 )已知函数 f(x) x3 2x ex 1ex，其中 e 是自然对
6、数的底数若 f(a1) f(2a2)0 ，则实数 a 的取值范围是 _. 【导学号： 79140089】 =【 ;精品教育资源文库 】 = ? 1， 12 因为 f( x) ( x)3 2( x) e x 1e x x3 2x ex 1ex f(x)， 所以 f(x) x3 2x ex 1ex是奇函数 因为 f(a 1) f(2a2)0 ， 所以 f(2a2) f(a 1)，即 f(2a2) f(1 a) 因为 f( x) 3x2 2 ex e x3 x2 2 2 exe x 3x20 ， 所以 f(x)在 R 上单调递增， 所以 2a21 a，即 2a2 a 10 ， 所以 1 a 12.
7、8若函数 f(x) 2x sin x 对任意的 m 2,2， f(mx 3) f(x) 0 恒成立，则 x 的取值范围是 _ ( 3,1) 因为 f(x)是 R 上的奇函数， f( x) 2 cos x 0，则 f(x)在 定义域内为增函数， 所以 f(mx 3) f(x) 0 可变形为 f(mx 3) f( x)， 所以 mx 3 x，将其看作关于 m 的一次函数， 则 g(m) x m 3 x， m 2,2， 可得若 m 2,2时， g(m) 0 恒成立 则 g(2) 0， g( 2) 0，解得 3 x 1. 三、解答题 9已知函数 f(x) ex ax a(a R 且 a0) (1)若
8、f(0) 2，求实数 a 的值，并求此时 f(x)在 2,1上的最小值； (2)若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围 解 (1)由 f(0) 1 a 2，得 a 1.易知 f(x)在 2,0)上单调递减，在 (0,1上单调递增， 所以当 x 0 时， f(x)在 2,1上取得最小值 2. (2)f( x) ex a，由于 ex 0. 当 a 0 时， f( x) 0， f(x)是增函数， 当 x 1 时， f(x) ex a(x 1) 0. 当 x 0 时，取 x 1a，则 f? ? 1a 1 a? ? 1a 1 a 0. 所以函数 f(x)存在零点，不满足题意 =【 ;精品教育
9、资源文库 】 = 当 a 0 时， f( x) ex a， 令 f( x) 0，得 x ln( a) 在 ( ， ln( a)上， f( x) 0， f(x)单调递减， 在 (ln( a)， ) 上， f( x) 0， f(x)单调递增， 所以当 x ln( a)时， f(x)取最小值 函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln( a) eln( a) aln( a) a 2a aln( a)0，解得 e2 a 0. 综上所述，所求实数 a 的取值范围是 e2 a 0. 10 (2018 合肥一检 )已知函数 f(x) 2a x2ex (a R) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若任
10、意 x1 ， ) ，不等式 f(x) 1 恒成立，求实数 a 的取值范围 解 (1)f( x) x2 2x 2aex ， 当 a 12时， x2 2x 2a0 ，故 f( x)0 ， 函数 f(x)在 ( ， ) 上单调递增， 当 a 12时，函数 f(x)的单调递增区间为 ( ， ) ，无单调递减区间 当 a 12时，令 x2 2x 2a 0?x1 1 2a 1， x2 1 2a 1， 列表 x ( ， 1 2a 1) (1 2a 1， 12a 1) (1 2a 1， ) f( x) f(x) 由表可知，当 a 12时，函数 f(x)的单调递增区间为 ( ， 1 2a 1)和 (1 2a 1
11、， ) ，单调递减区间为 (1 2a 1， 1 2a 1) (2) f(x) 1?2a x2ex 1?2a x2 ex， 由条件 2a x2 ex，对任意 x1 成立 令 g(x) x2 ex， h(x) g( x) 2x ex， h( x) 2 ex， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x1 ， ) 时， h( x) 2 ex2 e 0， h(x) g( x) 2x ex在 1， ) 上单调递减， h(x) 2x ex2 e 0，即 g( x) 0， g(x) x2 ex在 1， ) 上单调递减， g(x) x2 ex g(1) 1 e， 故 f(x) 1 在 1， ) 上恒成立，只需
12、2a g(x)max 1 e， a 1 e2 ，即实数 a 的取值范围是 ? ?1 e2 ， . B 组 能力提升 11 (2018 山东省实验中学诊断 )若函数 f(x)在 R 上可导，且满足 f(x) xf( x) 0，则( ) A 3f(1) f(3) B 3f(1) f(3) C 3f(1) f(3) D f(1) f(3) B 由于 f(x) xf( x)，则 ? ?f(x)x xf (x) f(x)x2 0 恒成立，因此 f(x)x 在 R 上是单调递减函数， 所以 f(3)3 f(1)1 ，即 3f(1) f(3) 12方程 f(x) f( x)的实数根 x0叫作函数 f(x)的
13、 “ 新驻点 ” ，如果函数 g(x) ln x 的“ 新驻点 ” 为 a，那么 a 满足 ( ) A a 1 B 0 a 1 C 2 a 3 D 1 a 2 D g( x) 1x， ln x 1x. 设 h(x) ln x 1x， 则 h(x)在 (0， ) 上为增函数 又 h(1) 1 0， h(2) ln 2 12 ln 2 ln e 0， h(x)在 (1,2)上有零点， 1 a 2. 13已知函数 f(x) ax3 3x2 1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0，则 a 的取值范围是_. 【导学号： 79140090】 ( ， 2) 当 a 0 时，显然 f(x)有两个零
14、点，不符合题意 当 a0 时， f( x) 3ax2 6x，令 f( x) 0，解得 x1 0， x2 2a. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a 0 时， 2a 0，所以函数 f(x) ax3 3x2 1 在 ( ， 0)和 ? ?2a， 上为增函数，在 ? ?0， 2a 上为减函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x0 0，则 f(0) 0，即 1 0，不成立当 a 0 时， 2a 0，所以函数 f(x) ax3 3x2 1 在 ? ? ， 2a 和 (0， ) 上为减函数，在 ? ?2a， 0 上为增函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x0 0，则f? ?2a 0，即
15、 a 8a3 3 4a2 1 0，解得 a 2 或 a 2，又因为 a 0，故 a 的取值范围为 ( ， 2) 14已知函数 f(x) ex m x，其中 m 为常数 (1)若对任意 x R 有 f(x)0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)当 m 1 时，判断 f(x)在 0,2m上零点的个数，并说明理由 解 (1)依题意，可知 f( x) ex m 1， 令 f( x) 0，得 x m. 故当 x( ， m)时， ex m 1， f( x) 0， f(x)单调递减； 当 x( m， ) 时， ex m 1， f( x) 0， f(x)单调 递增 故当 x m 时， f(m)为极小值也是最小值 令 f(m) 1 m0 ，得 m1 ， 即对任意 x R， f(x)0 恒成立时， m 的取值范围是 ( ， 1 (2)f(x)在 0,2m上有两个零点，理由如下
