1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (四十六 ) 利用空间向量证明平行与垂直 A 组 基础达标 一、选择题 1若直线 l 的方向向量为 a (1,0,2)，平面 的法向量为 n ( 2,0， 4)，则 ( ) A l B l C l? D l 与 相交 B n 2a， a 与平面 的法向量平行， l . 2已知 a (2， 1,3)， b ( 1,4， 2)， c (7,5， )若 a， b， c 三向量共面，则实数 等于 ( ) A.627 B 637 C.607 D 657 D 由题意得 c ta b (2t ， t 4 ， 3t 2 )， ? 7 2t ，5 t 4 ， 3t
2、 2 ，? t 337 ， 177 ， 657. 3若 AB CD CE ， 则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是 ( ) 【导学号： 79140251】 A相交 B平行 C在平面内 D平行或在平面内 D AB CD CE ， AB 、 CD 、 CE 共面， AB 与平面 CDE 平行或在平面 CDE 内 4 (2017 西安月考 )如图 778， F 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CD 的中点 E 是 BB1上一点，若 D1F DE，则有 ( ) 图 778 =【 ;精品教育资源文库 】 = A B1E EB B B1E 2EB C B1E 12EB D E 与 B 重合
3、A 分别以 DA、 DC、 DD1为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 (图略 )，设正方体的棱长为2，则 D(0,0,0)， F(0,1,0)， D1(0,0,2)，设 E(2,2， z)， D1F (0,1， 2)， DE (2,2，z)， D1F DE 02 12 2z 0， z 1， B1E EB. 5如图 779 所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 M， P， Q 分别为棱 AB， CD， BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则： 图 779 A1M D1P； A1M B1Q； A1M 平面 DCC1D1； A1M 平面 D1PQB1. 以上说法正确的个数为
4、 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 C A1M A1A AM A1A 12AB ， D1P D1D DP A1A 12AB ， A1M D1P ，所以 A1M D1P，由线面平行的判定定理可知， A1M 平面 DCC1D1， A1M 平面 D1PQB1. 正确 二、填空题 6.如图 7710 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 是底面正方形 ABCD 的中心， M 是 D1D 的中点， N 是 A1B1的中点，则直线 ON， AM 的位置关系是 _ 图 7710 =【 ;精品教育资源文库 】 = 垂直 以 A 为原点，分别以 AB ， AD ， AA1 所在直线为 x， y
5、， z 轴，建立空间直角坐标系 (图略 )，设正方体的棱长为 1，则 A(0,0,0)， M? ?0， 1， 12 ， O? ?12， 12， 0 ， N? ?12， 0， 1 ， AM ON ? ?0， 1， 12 ? ?0， 12， 1 0， ON 与 AM 垂直 7 (2017 广州质检 )已知平面 内的三点 A(0,0,1)， B(0,1,0)， C(1,0,0)，平面 的一个法向量 n ( 1， 1， 1)，则不重合的两个平面 与 的位置关系是 _ 设平面 的法向量为 m (x， y， z)， 由 m AB 0，得 x0 y z 0?y z， 由 m AC 0，得 x z 0?x z
6、，取 x 1， m (1,1,1)， m n， m n， . 8已知 AB (1,5， 2)， BC (3,1， z)，若 AB BC ， BP (x 1， y， 3)，且 BP 平面 ABC，则实数 x y _. 【导学号： 79140252】 257 由条件得? 3 5 2z 0，x 1 5y 6 0，3(x 1) y 3z 0，解得 x 407 ， y 157 ， z 4， 所以 x y 407 157 257. 三、解答题 9如图 7711，四边形 ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD， PD QA， QA AB 12PD.证明：平面 PQC 平面 DCQ. 图 7711 证明
7、如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA， DP， DC 分别为 x轴， y 轴， z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz. =【 ;精品教育资源文库 】 = 依题意有 Q(1,1,0)， C(0,0,1)， P(0,2,0)， 则 DQ (1,1,0)， DC (0,0,1)， PQ (1， 1,0) PQ DQ 0， PQ DC 0. 即 PQ DQ， PQ DC， 又 DQ DC D， PQ 平面 DCQ， 又 PQ 平面 PQC， 平面 PQC 平面 DCQ. 10 (2017 郑州调研 )如图 7712所示，四棱锥 PABCD的底面是边长为 1的正方形， P
8、A CD，PA 1， PD 2， E 为 PD 上一点， PE 2ED. 图 7712 (1)求证： PA 平面 ABCD； (2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF 平面 AEC？若存在 ，指出 F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由 解 (1)证明： PA AD 1， PD 2， PA2 AD2 PD2， 即 PA AD. 又 PA CD， AD CD D， PA 平面 ABCD. (2)以 A 为原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,1,0)， P(0,0,1)， E?
9、?0， 23， 13 ， AC (1,1,0)， AE ? ?0， 23， 13 .设平面 AEC 的法向量为 n (x， y， z)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则? n AC 0，n AE 0，即? x y 0，2y z 0， 令 y 1，则 n ( 1,1， 2) 假设侧棱 PC 上存在一点 F，且 CF CP (0 1) ， 使得 BF 平面 AEC，则 BF n 0. 又 BF BC CF (0,1,0) ( ， ， ) ( ， 1 ， )， BF n 1 2 0， 12， 存在点 F，使得 BF 平面 AEC，且 F 为 PC 的中点 B 组 能力提升 11如图 7713，
10、正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直， AB 2， AF 1， M 在 EF上，且 AM 平面 BDE.则 M 点的坐标为 ( ) 图 7713 A (1,1,1) B ? ?23 ， 23 ， 1 C.? ?22 ， 22 ， 1 D ? ?24 ， 24 ， 1 C 设 AC 与 BD 相交于 O 点，连接 OE，由 AM 平面 BDE，且 AM 平面 ACEF，平面 ACEF平面 BDE OE， AM EO， 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点， M 为线段 EF 的中点 在空间坐标系中， E(0,0,1)， F( 2， 2， 1) 由中点坐标公式，知点 M 的坐标
11、? ?22 ， 22 ， 1 . 12已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 AB (2， 1， 4)， AD (4,2,0)，=【 ;精品教育资源文库 】 = AP ( 1,2， 1)对于结论： AP AB； AP AD； AP 是平面 ABCD 的法向量； AP BD .其中正 确的是 _. 【导学号： 79140253】 AB AP 0， AD AP 0， AB AP， AD AP，则 正确 又 AB 与 AD 不平行， AP 是平面 ABCD 的法向量，则 正确 BD AD AB (2,3,4)， AP ( 1,2， 1)， BD 与 AP 不平行，故 错误 13
12、(2017 北京房山一模 )如图 7714，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，侧棱 PA 底面ABCD， 图 7714 且 PA AD 2， E， F， H 分别是线段 PA， PD， AB 的中点 求证： (1)PB 平面 EFH； (2)PD 平面 AHF. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,2)， E(0,0,1)， F(0,1,1)， H(1,0,0) (1) PB (2,0， 2)， EH (1,0， 1)， PB 2EH ， PB EH. =【 ;精品教育资源文库 】 = PB?/ 平面 EFH，且 EH 平面 EFH， PB 平面 EFH. (2) PD (0,2， 2)， AH (1,0,0)， AF (0,1,1)， PD AF 00 21 ( 2)1 0， PD AH 01 20 ( 2)0 0， PD AF， PD AH. 又 AF AH A， PD 平面 AHF.
