1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (四十七 ) 双曲线 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y 2 x 的是 ( ) 【导学号： 00090300】 A x2 y24 1 Bx24 y2 1 C y24 x2 1 D y2 x24 1 C 由于焦点在 y 轴上，且渐近线方程为 y 2 x. ab 2，则 a 2B C 中 a 2， b 1 满足 2 (2015 湖南高 考 )若双曲线 x2a2y2b2 1 的一条渐近线经过点 (3， 4)，则此双曲线的离心率为 ( ) A 73 B 54 C 43 D 53
2、D 由双曲线的渐近线过点 (3， 4)知 ba 43， b2a2169. 又 b2 c2 a2， c2 a2a2 169 ， 即 e2 1 169 ， e2 259 ， e 53. 3 (2017 全国卷 )若 a1，则双曲线 x2a2 y2 1 的离心率的取值范围是 ( ) A ( 2， ) B ( 2， 2) C (1， 2) D (1,2) C 由题意得双曲线的离心率 e a2 1a . e2 a2 1a2 11a2. a 1， 0 1a2 1， 1 1 1a2 2， 1 e 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 故选 C 4已知 F为双曲线 C： x2 my2 3m(m0)的一个焦点
3、，则点 F到 C的一条渐近线的距离为 ( ) A 3 B 3 C 3m D 3m A 由双曲线方程知 a2 3m， b2 3， c a2 b2 3m 3. 不妨设点 F 为右焦点，则 F( 3m 3， 0) 又双曲线的一条渐近线为 x my 0， d | 3 m 1|1 m 3. 5 (2017 成都调研 )过双曲线 x2 y23 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A， B 两点，则 |AB| ( ) A 4 33 B 2 3 C 6 D 4 3 D 由题意知 ， 双曲线 x2 y23 1 的渐近线方程为 y 3x， 将 x c 2 代入得 y2 3， 即 A， B
4、 两点的坐标分别为 (2,2 3)， (2， 2 3)， 所以 |AB| 4 3. 二、填空题 6已知双曲线 x2a2 y2 1(a0)的一条渐近线为 3x y 0，则 a _. 33 双曲线x2a2 y2 1 的渐近线为 y xa，已知一条渐近线为 3x y 0，即 y 3x，因为 a0，所以 1a 3，所以 a 33 . 7 (2016 山东高考 )已知双曲线 E： x2a2y2b2 1(a0， b0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB| 3|BC|，则 E 的离心率是 _. 【导学号：00090301】 2 如图，由题意知 |A
5、B| 2b2a ， |BC| 2C =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 2|AB| 3|BC|， 2 2b2a 3 2c，即 2b2 3ac， 2(c2 a2) 3ac，两边同除以 a2，并整理得 2e2 3e 2 0，解得 e 2(负值舍去 ) 8 (2018 黄山模拟 )若圆 (x 3)2 y2 1 上只有一点到双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一条渐近线的距离为 1，则该双曲线的离心率为 _ 【导学号： 00090302】 3 55 不妨取渐近线为 bx ay 0，由题意得圆心到渐近线 bx ay 0 的距离等于 2，即 |3b|a2 b2 2，所以 b2a245. 所
6、以 e2 1 b2a295，即 e3 55 . 三、解答题 9已知椭圆 D： x250y225 1 与圆 M： x2 (y 5)2 9，双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方程 解 椭圆 D 的两个焦点为 F1( 5,0)， F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c 5. 3 分 设双曲线 G 的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， 渐近线方程为 bx ay 0 且 a2 b2 25， 8 分 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r 3. |5a|b2 a2 3，得 a 3， b 4， 10 分 双曲线 G
7、 的方程为 x29y216 1. 12 分 10已知双曲线的中心在原点，焦点 F1， F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点 (4， 10)，点 M(3， m)在双曲线上 (1)求双曲线的方程； (2)求证： MF1 MF2 0； =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)求 F1MF2的面积 解 (1) e 2，则双曲线的实轴、虚轴相等 设双曲线方程为 x2 y2 . 2 分 过点 (4， 10)， 16 10 ，即 6. 双曲线方程为 x2 y2 6. 4 分 (2)证明： MF1 ( 3 2 3， m)， MF2 (2 3 3， m) MF1 MF2 (3 2 3)(3 2 3) m2 3
8、m2. 6 分 M 点在双曲线上， 9 m2 6，即 m2 3 0， MF1 MF2 0. 8 分 (3) F1MF2的底 |F1F2| 4 3. 由 (2)知 m 3. 10 分 F1MF2的高 h |m| 3， S F1MF2 124 3 3 6. 12 分 B 组 能力提升 (建议用时： 15 分钟 ) 1 (2017 河南中原名校联考 )过双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于 A， B 两点，若 OAB 的面积为 13bc3 ，则双曲线的离心率为 ( ) A 52 B 53 C 132 D 133 D 由题意可求得 |AB| 2bca ，所
9、以 S OAB 12 2bca c 13bc3 ，整理得 ca 133 .因此 e 133 . 2 (2017 天津河西区质检 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆 (x 2)2 y2 3 相切，则双曲线的方程为 _ 【导学号： 00090303】 =【 ;精品教育资源文库 】 = x2 y23 1 由双曲线的渐近线 y bax，即 bx ay 0 与圆 (x 2)2 y2 3 相切， |2b|a2 b2 3，则 b2 3a2. 又双曲线的一个焦点为 F(2,0)， a2 b2 4， 联 立 ，解得 a2 1， b2 3. 故所求双
10、曲线的方程为 x2 y23 1. 3已知椭圆 C1的方程为 x24 y2 1，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点 (1)求双曲线 C2的方程； (2)若直线 l： y kx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且 OA OB 2(其中 O为原点 )，求 k 的取值范围 解 (1)设双曲线 C2的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)，则 a2 3， c2 4，再由 a2 b2 c2，得 b2 1. 4 分 故 C2的方程为 x23 y2 1. 5 分 (2)将 y kx 2代入 x23 y2 1， 得 (1 3k2)x2 6 2kx 9 0. 由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点，得 ? 1 3k20 ， 6 2k 2 3 3k2 k2 ， k2 13且 k22，得 x1x2 y1y22， =【 ;精品教育资源文库 】 = 3k2 73k2 12，即 3k2 93k2 1 0， 解得 13k23. 10 分 由 得 13k21， 故 k 的取值范围为 ? ? 1， 33 ? ?33 ， 1 . 12 分
