1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (五十八 ) 不等式的证明 1 (2016 全国卷 )已知函数 f(x) ? ?x 12 ? ?x 12 ， M 为不等式 f(x) 2 的解集 (1)求 M； (2)证明：当 a， b M 时， |a b| |1 ab|. 【导学号： 00090382】 解 (1)f(x)? 2x， x 12，1， 12 x 12，2x， x 12.当 x 12时，由 f(x) 2 得 2x 2，解得 x 1； 当 12 x 12时， f(x) 2； 当 x 12时，由 f(x) 2 得 2x 2，解得 x 1. 所以 f(x) 2 的解集 M x| 1 x
2、1.5 分 (2)证明：由 (1)知，当 a， b M 时， 1 a 1， 1 b 1，从而 (a b)2 (1 ab)2 a2 b2 a2b2 1 (a2 1)(1 b2) 0. 因此 |a b| |1 ab|.10 分 2已知定义在 R 上的函数 f(x) |x 1| |x 2|的最小值为 A (1)求 a 的值； (2)若 p， q， r 是正实数，且满足 p q r a，求证： p2 q2 r23. 解 (1)因为 |x 1| |x 2|( x 1) (x 2)| 3， 当且仅当 1 x2 时，等号成立， 所以 f(x)的最小值等于 3，即 a 3.4 分 (2)证明：法一：由 (1)
3、知 p q r 3，且 p， q， r 大于 0， (p q r)2 9. 又易知 p2 q2 r2 pq pr qr.8 分 故 9 (p q r)2 p2 q2 r2 2pq 2pr 2qr3( p2 q2 r2)， 因此， p2 q2 r23.10 分 法二：由 (1)知 p q r 3，又因为 p， q， r 是正实数， 所以 (p2 q2 r2)(12 12 12)( p1 q1 r1) 2 (p q r)2 9， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 p2 q2 r23.10 分 3 (2015 湖南高考 )设 a0， b0，且 a b 1a 1b.证明： (1)a b2 ； (2
4、)a2 a0， b0，得 ab 1. 2 分 (1)由基本不等式及 ab 1，有 a b2 ab 2，即 a b2. 5 分 (2)假设 a2 a0，得 00， b0，且 1a 1b ab. (1)求 a3 b3的最小值； (2)是否存在 a， b，使得 2a 3b 6？并说明理由 解 (1)由 ab 1a 1b 2ab，得 ab2 ，当且仅当 a b 2时等号成立 .2 分 故 a3 b32 a3b34 2，当且仅当 a b 2时等号成立 所以 a3 b3的最小值为 4 2. 5 分 (2)由 (1)知， 2a 3b2 6 ab4 3. 由于 4 36，从而不存在 a， b，使得 2a 3b
5、 6. 10 分 5 (2017 石家庄模拟 )已知函数 f(x) |x| |x 1|. (1)若 f(x)| m 1|恒成立，求实数 m 的最大值 M； (2)在 (1)成立的条件下，正实数 a， b 满足 a2 b2 M，证明： a b2 aB 解 (1) f(x) |x| |x 1| x (x 1)| 1， 当且仅当 0 x1 时取等号， f(x) |x| |x 1|的最小值 为 1. 3 分 要使 f(x)| m 1|恒成立，只需 |m 1|1 ， 0 m2 ，则 m 的最大值 M 2. 5 分 (2)证明：由 (1)知， a2 b2 2， 由 a2 b22 ab，知 ab1. 又 a
6、 b2 ab，则 (a b) ab2 aB 8 分 由 知， ab1. 故 a b2 aB 10 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6 (2018 莆田模拟 )已知函数 f(x) |x 1|. (1)求不等式 f(x) |2x 1| 1 的解集 M； (2)设 a， b M，证明： f(ab) f(a) f( b) 【导学号： 00090383】 解 (1) 当 x 1 时，原不等式可化为 x 1 2x 2，解得 x 1； 2 分 当 1 x 12时，原不等式可化为 x 1 2x 2，解得 x 1，此时原不等式无解； 当 x 12时，原不等式可化为 x 1 2x，解得 x 1. 综上， M x|x 1 或 x 1. 5 分 (2)证明：因为 f(a) f( b) |a 1| | b 1| a 1 ( b 1)| |a b|， 6 分 所以，要证 f(ab) f(a) f( b)， 只需证 |ab 1| |a b|， 即证 |ab 1|2 |a b|2， 即证 a2b2 2ab 1 a2 2ab b2， 8 分 即证 a2b2 a2 b2 1 0，即证 (a2 1)(b2 1) 0. 因为 a， b M，所以 a2 1， b2 1，所以 (a2 1)(b2 1) 0 成立， 所以原不等式成立 . 10 分
