2023届高三数学一轮复习课时过关检测(36)平面向量的数量积及应用.doc

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1、课时过关检测(三十六) 平面向量的数量积及应用A级基础达标1向量a(1,2),b(x,1)若(ab)(ab),则x()A2BC2D2解析:C法一:ab(1x,3),ab(1x,1),因为(ab)(ab),所以(ab)(ab)0,即(1x)(1x)30,解得x2法二:因为(ab)(ab),所以(ab)(ab)0,所以a2b20,所以|a|b|,所以x2故选C2(2022淄博三模)已知向量a,b满足|a|b|ab|1,则|2ab|()A3BC7D解析:D由已知可得|ab|2a22abb222ab1,则ab,因此,|2ab|故选D3(2022襄阳期中)在水流速度10 km/h的自西向东的河中,如果要

2、使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸,则船出发时行驶速度的方向和大小为()A北偏西30,20 km/hB北偏西60,10 km/hC北偏东30,10 km/hD北偏东60,20 km/h解析:A如图,船从点O出发,沿方向行驶才能垂直到达对岸,|10,|10,则|20,则cosBOC,因为BOC为锐角,故BOC30,故船以20 km/h的速度,以北偏西30的方向行驶,才能垂直到达对岸故选A4(2022金陵月考)在平面直角坐标系xOy中,已知向量与关于y轴对称,向量a(1,0),则满足不等式2a0的点A(x,y)构成的集合用阴影表示为()解析:BA(x,y),向量与关于y轴对称,B(x

3、,y),(2x,0)2a0,x2y22x(x1)2y210,故满足要求的点A(x,y)在以(1,0)为圆心,1为半径的圆上以及圆的内部故选B5(多选)(2022滕州模拟)设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则下列命题中的真命题是()A(ab)c(ca)b0B|a|b|ab|C(bc)a(ac)b不与c垂直D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2解析:BD由于b,c是不共线的向量,因此(ab)c与(ca)b相减的结果应为向量,故A错误;由于a,b不共线,故a,b,ab构成三角形,因此B正确;由于(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0,故C中两向量垂直,故C错误

4、;根据向量数量积的运算可以得出D是正确的故选B、D6(多选)(2022青岛质检)已知平面向量a(1,2),b(2,1),c(2,t),下列说法正确的是()A若(ab)c,则t6B若(ab)c,则tC若t1,则cosa,cD|ac|3解析:BCab(1,3),若(ab)c,则t60,所以t6,故A错误;若(ab)c,则23t0,所以t,故B正确;若t1,则cosa,c,故C正确;ac(3,t2),则|ac|3,故D错误故选B、C7在四边形ABCD中,(3,1),(2,m),则该四边形的面积是_解析:由题意,向量(3,1),(2,m),由,可得32(1)m0,解得m6,所以四边形的面积为| 10答

5、案:108已知向量a,b,其中|a|,|b|2,且(ab)a,则向量a和b的夹角是_,a(ab)_解析:由题意,设向量a,b的夹角为,因为|a|,|b|2,且(ab)a,所以(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 32cos 0,解得cos 又因为0,所以,则a(ab)|a|2|a|b|cos 326答案:69(2022淮安模拟)已知平行四边形ABCD中,AB3,AD4,BAD,平面内动点E,满足|ED|2|EC|,则()的取值范围为_解析:平行四边形ABCD中,AB3,AD4,BAD,建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(5,2),D(2,2),设E(x,y),平面

6、内动点E满足|ED|2|EC|,(x2)2(y2)24(x5)2(y2)2,即(x6)2(y2)24,(x6)244x8,()(3,0)(x,y)3x12,24答案:12,2410(2022天津模拟)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(1,0),|1,且AOC,其中O为坐标原点(1)若,设点D为线段OA上的动点,求|的最小值;(2)若,向量m,n(1cos ,sin 2cos ),求mn的最小值及对应的值解:(1)设D(t,0)(0t1),由题意知C,所以,所以|22(0t1),所以当t时,|最小,最小值为(2)由题意得C(cos ,sin ),m(cos 1,sin ),

7、则mn1cos2sin22sin cos 1cos 2sin 21sin,因为,所以2,所以当2,即时,sin取得最大值1,即mn取得最小值1所以mn的最小值为1,此时B级综合应用11(多选)引入平面向量之间的一种新运算“”如下:对任意的向量m(x1,y1),n(x2,y2),规定mnx1x2y1y2,则对于任意的向量a,b,c,下列说法正确的有()AabbaB(a)b(ab)Ca(bc)(ab)cD|a|b|ab|解析:ABD设a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)A项,因为abx1x2y1y2,bax2x1y2y1,所以abba,故正确;B项,因为(a)b(x1)x2(y1)

8、y2(x1x2y1y2)(ab),故正确;C项,a(bc)(x2x3y2y3)a,(ab)c(x1x2y1y2)c,此时a(bc)(ab)c不恒成立,故错误;D项,因为(|a|b|)2( )2xxyyxyxy,|ab|2xxyy2x1x2y1y2,所以(|a|b|)2|ab|2xyxy2x1x2y1y2(x1y2x2y1)20,所以(|a|b|)2|ab|20,且|a|b|0,|ab|0,所以|a|b|ab|,故正确,故选A、B、D12(2022本溪模拟)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动,深受大众喜爱,如图是某一自行车的平面结构示意图,已知图中的圆A(前轮),圆D(后轮)的半径

9、均为,ABE,BEC,ECD均是边长为4的等边三角形设点P为后轮上的一点,则在骑动该自行车的过程中,的最大值为()A8B2C4D4解析:C以D为坐标原点,AD为x轴,过D作AD的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(8,0),B(6,2),C(2,2)圆D的方程为x2y23,可设P(cos ,sin ),所以(2,2),(cos 6,sin 2)故2cos 126sin 124sin4故选C13(2022珠海模拟)已知平面向量a(,),则与a夹角为45的一个非零向量b的坐标可以为_(写出满足条件的一个向量即可)解析:设b(x,y),abxy,xy,xy0,且b为非零向量,x1,y0满

10、足题意,b(1,0)答案:(1,0)(答案不唯一,满足b(x,y),xy0且x2y20的任意一个均可)14在梯形ABCD中,ABCD,A90,AB2CD3,AD2,若EF在线段AB上运动,且EF1,则的最小值为_解析:如图所示,以A为原点,为x轴正方向,为y轴正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C,D(0,2),不妨设E(t,0),F(t1,0)(0t2),则,4(t1)2(t0,2),的最小值为,当且仅当t1时取得答案:15如图所示,在矩形ABCD中,AB2,AD1,分别将边BC与DC等分成8份,并将等分点自下而上依次记作E1,E2,E7,自左到右依次记作F1,F2,F7

11、,满足2(其中i,jN*,1i,j7)的有序数对(i,j)共有_对解析:以A为原点,直线AB为x轴,直线AD为y轴建立平面直角坐标系(图略),则Ei,Fj(其中i,jN*,1i,j7),由2得2,即i4j16当j1,2时,i1,2,7,共2714对;当j3时,i1,2,3,4,共4对,故满足题意的有序数对(i,j)共有18对答案:1816已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x8,P为该平面上一动点,作PQl,垂足为Q,且0(1)求动点P的轨迹方程;(2)若EF为圆N:x2(y1)21的任一条直径,求的最值解:(1)设P(x,y),则Q(8,y)由0,得|2|20,即(x2)2y2(x8)20,化简,得1所以点P的运动轨迹为椭圆,其方程为1(2)因为()()()()2221,P是椭圆1上的任一点,设P(x0,y0),则有1,即x16,又N(0,1),所以2x(y01)2y2y017(y03)220因为y02,2,所以当y03时,2取得最大值20,故的最大值为19;当y02时,2取得最小值134(此时x00),故的最小值为124

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