1、第第1010章章 含有耦合电感的电路含有耦合电感的电路l重点重点 1.1.互感和互感电压互感和互感电压 2.2.有互感电路的计算有互感电路的计算 3.3.变压器和理想变压器变压器和理想变压器10.1 10.1 互感互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。问题的分
2、析方法是非常必要的。1.1.互感互感载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合。磁耦合。线圈线圈1 1中通入电流中通入电流i1时，在线圈时，在线圈1 1中产生磁通中产生磁通 11称为称为自感磁通自感磁通，同时，有部分磁通穿过临近线圈，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通，这部分磁通 21称为互感磁通。两线圈间有磁耦合。称为互感磁通。两线圈间有磁耦合。：磁通链磁通链，=N+u11+u21i1 11 21N1N2L1L2 当交链自身的线圈时产生的磁通链称为自感磁通链，当线当交链自身的线圈时产生的磁通链称为自感磁通链，当线圈周围空间是
3、各向同性的线性磁介质时，每一种磁通链都与圈周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种磁通链都与产生它的施感电流产生它的施感电流成正比成正比,自感磁通链为：自感磁通链为：22221111iLiL 。为为自自感感系系数数，单单位位亨亨称称H)(,21LL自感磁通链自感磁通链i1i2+u11+u21 11 21N1N2L1L2 线圈线圈1 1的磁通中的一部分或全部交链线圈的磁通中的一部分或全部交链线圈2 2时产生的磁通链时产生的磁通链称为互感磁通链，称为互感磁通链，互感磁通链为：互感磁通链为：1212121212iMiM 。为互感系数，单位亨为互感系数，单位亨称称H)(,2112MM互感磁通链互感磁通
4、链 当只有两个线圈（电感）耦合时，可以略去当只有两个线圈（电感）耦合时，可以略去M的下标，的下标，互互感磁通链为：感磁通链为：MM12M21i1i2+u11+u21 11 21N1N2L1L2 当两个线圈（电感）耦合时，当两个线圈（电感）耦合时，耦合电感中的磁通链为耦合电感中的磁通链为自感磁通链与互感磁通链的代数和：自感磁通链与互感磁通链的代数和：1222122221112111 MiiL MiiL i1i2+u11+u21 11 21N1N2L1L2*同名端同名端i1 M前的前的“”表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，自感方向的磁场得到加强（增磁），称为同
5、向耦合。工程自感方向的磁场得到加强（增磁），称为同向耦合。工程上将同向耦合状态下的一对施感电流上将同向耦合状态下的一对施感电流(i1、i2)的入端的入端(或出端或出端)定义为耦合电感的同名端。定义为耦合电感的同名端。i2+u11+u21 11 21N1N2L1L2 222111 MiiL MiiL1221221121 异名端异名端i1i2+u11+u21 11 21N1N2L1L2 222111 MiiL MiiL1221221121 M前的前的“”表示互感磁通链与自感磁通链方向相反，表示互感磁通链与自感磁通链方向相反，使自感方向的磁场削弱，使自感方向的磁场削弱，称为反向耦合。称为反向耦合。一
6、对施感电流一对施感电流(i1、i2)的入端的入端(或出端或出端)定义为耦合电感的异名端。定义为耦合电感的异名端。注意：线圈的同名端必须两两确定注意：线圈的同名端必须两两确定确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1)(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出或流出)时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。i1122*112233*例例(2)(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线圈相应同名端的电位升高。同名端的实验测定：同名端的实验
7、测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。0 ,0 22 dtdiMudtdi如图电路，当闭合开关如图电路，当闭合开关 S 时，时，i 增加，增加，当两组线圈装在盒里，只引出四个端线组，当两组线圈装在盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。判断。电路模型电路模型 i1i2+u11+u21 11 21N1N2L1L2i1 L1L2+_u1+_u2i2M 引入同名端的概念后，可以用带有互感引入同名端的概念后，可以用带有互感M和同名端标记和同名端标记的电感元件的电感元件L1和和L2表示耦合电感。只要参考方向确定了，表
8、示耦合电感。只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。3.3.耦合系数耦合系数工程上取两个比值的几何平均值定义为耦合电感的耦合系数工程上取两个比值的几何平均值定义为耦合电感的耦合系数k121def LLMk 耦合电感中的磁通链耦合电感中的磁通链 1、2，不仅与施感电流不仅与施感电流i1、i2有关，有关，还与由还与由线圈的结构、相互位置和磁介质所决定的线圈耦合的紧线圈的结构、相互位置和磁介质所决定的线圈耦合的紧疏程度有关，工程上通过耦合电感中互感磁通链与自感磁通链疏程度有关，工程上通过耦合电感中互感磁通链与自感磁通链的比值来衡
9、量耦合的紧疏程度：的比值来衡量耦合的紧疏程度：),2(1(22122121121112线线圈圈线线圈圈iLMiiLMi k1 称为全耦合称为全耦合 k0 无耦合无耦合 1222122221112111 MiiL MiiL 当耦合电感当耦合电感L1和和L2中有变动的电流时，中有变动的电流时，耦合电感耦合电感磁通链磁通链也将随电流变动，也将随电流变动，根据电磁感应定律根据电磁感应定律从而在线圈两端产生从而在线圈两端产生感应电压。感应电压。i1i2+u1+u2 1 2N1N2L1L24.4.耦合电感上的电压、电流关系耦合电感上的电压、电流关系 2212221221112111 iLMi MiiL i
10、1i2+u1+u2 1 2N1N2L1L2i1 L1L2+_u1+_u2i2M dd dddd21111tiMtiLtu dd dddd22122tiLtiMtu 互感电压互感电压自感电压自感电压在关联参考方向下有在关联参考方向下有tiLtiMuuutiMtiLuuudd dd dd dd2212221221112111 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：包含自感电压和互感电压：在正弦交流电路中，其相量形式的方程为在正弦交流电路中，其相量形式的方程为22122111 jjjj ILIMUIMILU -+-+1 1
11、1jL 2jIM 1U1I-+-+2 22jL 1jIM 2U2I用用CCVS表示互感电压表示互感电压tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M例例写出图示电路电压、电流关系式写出图示电路电压、电流关系式tiLtiMudddd2212 tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 例例i1*L1L2+_u2MR1R2+_u121010i1/At/s2
12、1211H,1,H2,H5,10 uuMLLR和和求求已已知知 tstVstVtiMu2 021 1010 10dd12解解 tstVtstVttiLiRu2 021 150 10010 50 100dd1111 tsttstti2 02110201010110.2 10.2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感电路的计算含有耦合电感（简称互感）电路的计算要注意：含有耦合电感（简称互感）电路的计算要注意：(1)(1)在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍可应用前面介绍的相量分析方法。可应用前面介绍的相量分析方法。(3)(3)一般采用支路法和回路法计算。因为耦
13、合电感一般采用支路法和回路法计算。因为耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还与其他某些支路的电压不仅与本支路电流有关，还与其他某些支路电流有关，若列结点电压方程会遇到困难，要支路电流有关，若列结点电压方程会遇到困难，要另行处理。另行处理。(2)(2)注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。包含互感电压。1.1.耦合电感的串联耦合电感的串联（1 1）同向串联同向串联tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudd dd)2()(dddddddd21212211 MLLLRRR2 2121 iRLu+去耦等效电路去耦等效电路iM
14、+u1 -R1R2L1L2+u -+u2 -（2 2）反向串联反向串联MLLLRRR2 2121 tiLRitiMLLiRRuuudddd)2()(212121 iRLu+iM+u1 -R1R2L1L2+u -+u2 -tiMLiRtiMtiLiRutiMLiRtiMtiLiRudd)(dddddd)(dddd2222211111 在正弦激励下：在正弦激励下：1 U+R1R2j L1+j L22 Uj M U I IMLLRRUUUIMLRUIMLRU)2(j)(j)(j212121222111 )2(j2121MLLRRUI )2(j)()(j)(j212121222111MLLRRZZZM
15、LRZMLRZ UZ+-I例例1037.5,350V,U11 LR 的的图示电路中，正弦电压图示电路中，正弦电压。和和和和各各支支路路吸吸收收的的。求求耦耦合合因因数数21228,5.21,5SSkMLR iM+u1 -R1R2L1L2+u -+u2 -解：解：826.0)(2121LLMLLMk46.904.35.0j3)(jo111 MLRZA57.2695.557.2694.8050V050oooo ZUIU，令令4273.65.4 j5)(jo222 MLRZA57.2695.54 j8o21 ZZZA57.2695.5A57.2695.54273.6,46.904.3oo21o2o1
16、 IZZZZZAV)63.15j75.93(121 ZISiM+u1 -R1R2L1L2+u -+u2 -AV)63.140j25.156(222 ZIS21AV)251 j250(SSIUS 计算复功率计算复功率（1）同侧并联同侧并联2.2.耦合电感的并联耦合电感的并联 R2R1+-1I2I3I1jL 2jL M jU21322212111)j(jj)j(IIIILRIMUIMILRU MZLRZLRZM j j ,j222111 令令213221211 IIIIZIZUIZIZUMM 得得21322212111)j(jj)j(IIIILRIMUIMILRU 213221211IIIIZIZ
17、UIZIZUMM （2 2）异侧并联异侧并联 R2R1+-1I2I3I1jL 2jL M jU213221211IIIIZIZUIZIZUMM UZZZZZIUZZZZZIMMMM2211222121 例例1047.5,350V,U11 LR 的的图图示示电电路路中中，正正弦弦电电压压的的电电流流。、支支路路。求求电电路路的的输输入入阻阻抗抗及及218,5.21,522 MLR R2R1+-1I2I3I1j L 2j L M jUA59.11099.1A14.5940.4o22112o22121 UZZZZZIUZZZZZIMMMM56.7455.82)(o2122121MMiZZZZZZII
18、UZ.447 j2)j(2)(j)(j)j()(j)(jj,0212212122121MLLMLLMLLMLLXZRRi如3.3.去耦等效电路去耦等效电路22231113 )(jj)(jj IMLRIMUIMLRIMU R2R1+-1I2I3I1j L 2j L M jU213221211(2)(1)IIIIZIZUIZIZUMM )2()1(231132 代入代入将将代入代入将将IIIIII R2R1+-1I2I3I)(j1ML )(j2ML UM j 例例105。最最佳佳匹匹配配时时获获得得的的功功率率。求求图图示示电电路路中中PZURRMLLLS2121V126,5,10 j L21 I
19、j L1M j 1R112R+-SU ILZ解：写端口解：写端口1-1特性方程（特性方程（VCR）11122221121)()()()(UIMjRILjRUIMjRILjRRSIjUUS)5.73(2111 外外特特性性：V,0621oOC SUU戴戴维维宁宁等等效效电电路路参参数数：)5.73(,)5.73(21eqjZjUISSC ,)5.73(LjZZeq 最最佳佳匹匹配配时时W34:2OC功率功率eqRUP 有互感电路的计算有互感电路的计算(1)(1)在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍应用前面 介绍的相量分析方法。介绍的相量分析方法。(
20、2)(2)注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。(3)(3)一般采用支路法和回路法计算。一般采用支路法和回路法计算。例例求图示电路的开路电压。求图示电路的开路电压。1I)2(313111 MLLjRUIS M12+_+_SUocU*M23M31L1L2L3R1SUIMIMILLjIR13113113111 )()2(313111 MLLjRUIS )2()(31311312312313113123112MLLjRUMMMLjIMjILjIMjIMjUSOC 1IM12+_+_SUocU*M23M31L1L2L3R110.3 10
21、.3 耦合电感的功率耦合电感的功率S+-2i1i2LSu1LMR2R1 当耦合电感的施感电流变化时，将出现变化的磁场，当耦合电感的施感电流变化时，将出现变化的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能可以从耦合电感一边传进行电磁能的转换和传输，电磁能可以从耦合电感一边传输到另一边。输到另一边。讨论当开关讨论当开关S闭合，两个线圈中电磁能的传送。若无互闭合，两个线圈中电磁能的传送。若无互感耦合，稳态时感耦合，稳态时i2必定为零。必定为零。0dddddddd22221S21111 tiLiRtiMutiM
22、tiLiR0dddddddd)2(,)1(222222121S2111121121 tiLiiRtiMiiutiMitiLiiRii式式乘乘式式乘乘为一对通过互感电压为一对通过互感电压耦合的功率耦合的功率(吸收吸收)，通过它们与两个耦合通过它们与两个耦合的线圈实现电磁能的的线圈实现电磁能的转换和传输转换和传输+-2i1i2LSu1LMR2R1就不会为零。就不会为零。不为零，不为零，只要只要21dditi 当耦合电感电路中的电压、当耦合电感电路中的电压、电流为同频率的正弦量时，两电流为同频率的正弦量时，两个线圈的复功率为：个线圈的复功率为：222221212211111)(0)(ILjRIIMj
23、SIIMjILjRIUSS 两个互感电压的复功率两个互感电压的复功率R1+-2I1I2Lj SU1Lj Mj 0)5.125(88)5.73(2121 IjIjUIjIjS例例10106 6.8,5.12,5,5.7,3V,502211 MLRLRUS 求求图图示示电电路路的的复复功功率率，解：解：V050o SU令令A87.16824.55.1258A93.3281.8)8()5.125)(5.73(5.125o12o21 jIjIUjjjjISR2+-2I1I2Lj SU1Lj Mj R1复功率为：复功率为：A87.16824.55.1258A93.3281.8)8()5.125)(5.7
24、3(5.125o12o21 jIjIUjjjjIS0AV)91.34215.137()91.34215.137()125(8AV)91.34215.137()12.58285.232(8)5.73(2221212211 jjIjIIjSjjIIjIjIUSSS 互感电压发出无功功率，分别补偿互感电压发出无功功率，分别补偿L1和和L2中的无功功率，中的无功功率，其中，其中，L2和和M处于完全补偿状态。处于完全补偿状态。R1+-2I1I2Lj SU1Lj Mj 10.4 10.4 变压器原理变压器原理 变压器由两个耦合线圈绕在一个共同的芯子上制成，变压器由两个耦合线圈绕在一个共同的芯子上制成，一个
25、线圈作为输入端口，接入电源后形成一个回路，称为一个线圈作为输入端口，接入电源后形成一个回路，称为一次回路（原边回路或初级回路）；另一线圈作为输出端一次回路（原边回路或初级回路）；另一线圈作为输出端口，接入负载后形成另一个回路，称为二次回路（口，接入负载后形成另一个回路，称为二次回路（副边回副边回路或次级回路路或次级回路）。变压器是利用互感来实现从一个电路向）。变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。变压器线圈的芯子是另一个电路传输能量或信号的器件。变压器线圈的芯子是线性磁材料制成的。线性磁材料制成的。1.1.变压器电路模型变压器电路模型一次回路一次回路原边回路原边回路
26、二次回路二次回路副边回路副边回路1 I2 Ij L2j MR2ZLj L1+-1 UR111+-2 U222.2.分析方法分析方法12111 j)j(UIMILR 0)j(j2221 IZLRIML 令令 ZM=j M，Z11=R1+j L1，Z22=(R2+RL)+j(L2+XL),12M111UIZIZ02221IZIZM1 I2 Ij L2j MR2ZLj L1+-1 UR111+-2 U22Z11:一次回路阻抗一次回路阻抗Z22:二次回路阻抗二次回路阻抗ZM:互感阻抗互感阻抗 )(12221112221111 iMZUYMZUYZZUI 2221111)(YMZIUZi 原边输入阻抗：
27、原边输入阻抗：引入阻抗引入阻抗(反映阻抗反映阻抗)：222222)(YMYZM 引入阻抗的性质与引入阻抗的性质与Z22相反，即感性相反，即感性(容性容性)变为容性变为容性(感性感性)。12221111)(IYMIZU 1 I+1 UZ11222)(YM原原边边等等效效电电路路2 I+oc UZLeqZ副边等效电路副边等效电路111YUMjUOC 22112)(LjRYMZeq LeqOCMZZUYMZUYZI 112221112)(LZLjRZ)(2222 12M111-UIZIZ 02221 IZIZM一次回路反映到二次回路的引入阻抗一次回路反映到二次回路的引入阻抗1 I2 Ij L2j M
28、R2ZLj L1+-1 UR111+-2 U221 I+1 UZ11222)(YM原边等效电路原边等效电路副边等效电路副边等效电路2 I+oc UZLeqZ变压器的等效电路变压器的等效电路1 I+1 UZ11222)(YM原边等效电路原边等效电路副边等效电路副边等效电路111YUMjUOC 11222)(YMZZeq 引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。副边产生电流，反过来这个电流又影
29、响原边电流电压。12221111)(IYMIZU 2 I+oc UZLeqZ例例10-8。求求21L12121,10V,)10cos(1004H,MH,2.3H,5,0,ik,ijXRZtuLLRRLL 1 I2 Ij L2j MR2ZLj L1+-1 UR111+-2 U22解：解：为全耦合电感。为全耦合电感。,121 LLMk利用二次等效电路求利用二次等效电路求i2ZL2 I+oc UeqZ1112111OC8.0 UULLYUMjU 0)(11222 YMZZeq 1OC208.0 UZZUILeq 利用一次等效电路求利用一次等效电路求i1A)35.1710cos(7.6o1ti 35.
30、17067.0o12221111 UYZZUIM)10cos(82ti1OC208.0 UZZUILeq 1 I+1 UZ11222)(YMZL2 I+oc UeqZ10.510.5 理想变压器理想变压器 121LLMk 1.1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器的三个理想化条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。（2 2）全耦合）全耦合（1 1）无损耗）无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。磁导率无限
31、大。（3 3）参数无限大）参数无限大nLLMLL 2121,2,1NN ,但但 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。压器对待，可使计算过程简化。2.2.理想变压器的主要性能理想变压器的主要性能（1）变压关系）变压关系tiLtiMtutiMtiLtudddddddddddd2112221111理想变压器模型理想变压器模型i1*L1L2+_u1+_u2i2M)(212121常常数数LLuu22122111iL
32、MiMiiL 121LLMk 考虑到理想化条件：考虑到理想化条件：考虑到理想化条件：无损耗考虑到理想化条件：无损耗 2211NN212121NNuu理想变压器模型理想变压器模型i1*L1L2+_u1+_u2i2MtNtutNtudddddddd222111212121LLuu（2 2）变流关系）变流关系dtdiMdtdiLu2111 2121121111dd1dddd1iLLtuLttiLMtuLi考虑到理想化条件：考虑到理想化条件：,1221保保持持为为定定值值LLLL1221LLii 121LLMk （3 3）变比）变比考虑到理想化条件：考虑到理想化条件：为理想变压器的变比：为理想变压器的
33、变比：设设值是任意设定的常数。值是任意设定的常数。都认为是无穷大，但比都认为是无穷大，但比、和和、nLLNN21211221LLii 理想变压器模型理想变压器模型i1*L1L2+_u1+_u2i2Mn:11N2N212121NNLLuu 2121LLNNn 则：则：21211ininuu （4 4）功率）功率21211 ,ininuu 理想变压器将一侧吸收的能量全部传输到另一侧输出理想变压器将一侧吸收的能量全部传输到另一侧输出,在在传输过程中传输过程中,仅将电压仅将电压,电流按变比做数值的变换电流按变比做数值的变换,它即不耗能它即不耗能也不储能也不储能,是一个非动态无损耗的耦合元件。是一个非动
34、态无损耗的耦合元件。0)(111112211 niuniuiuiup（b）理想变压器的特性方程为代数关系，因此理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。它是无记忆的多端元件。（a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。中只起传递信号和能量的作用。表明：表明：理想变压器模型理想变压器模型i1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mn:11N2Ni1+_u1+_u2i221in11un21211 ,ininuu（5 5）变阻抗关系）变阻抗关系LZnIUnInUnIU22222211)(1 *
35、1 I2 I+2 U+1 Un:1ZL1 I+1 Un2ZL理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的大小，不改理想变压器的阻抗变换只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。变阻抗的性质。注注例例10-9解：列方程解：列方程 10121uu 2110ii 0222111 uiRuuiRS解得解得)V-50cos(1052tuuS 理想变压器的变比理想变压器的变比1:10，uS=10cos(10t)V,R1=1,R2=100。求。求u2。1i2i*+2u+1u1:10R2+Su R1*例例1 I2 I*+2 U+1 U1:1050+V010o 1.2 U求求解：列方程解：列方程 10121UU 2110II o110101 UI05022 UI解得解得V033.33o2 U
