1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.6 双曲线 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1 (2017 届合肥质检 )若双曲线 C1： x22y28 1 与 C2：x2a2y2b2 1(a0， b0)的渐近线相同，且双曲线 C2的焦距为 4 5，则 b ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析：由题意得 ba 2?b 2a， C2的焦距 2c 4 5?c a2 b2 2 5?b 4，故选 B. 答案： B 2若双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率为 3，则其渐近线方程为 ( ) A y 2 x B y 2x C y 12x D y 22 x 解析：由条件 e ca 3，得
2、 c2a2a2 b2a2 1b2a2 3，所以ba 2，所以双曲线的渐近线方程为 y 2x.故选 B. 答案： B 3已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的焦点为 F1， F2，且 C 上点 P 满足 PF1 PF2 0，|PF1 | 3， |PF2 | 4，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 102 B 5 C.52 D 5 解析：依题意得， 2a |PF2| |PF1| 1， |F1F2| |PF2|2 |PF1|2 5，因此该双曲线的离心率 e |F1F2|PF2| |PF1| 5. 答案： D 4 (2017 届长春质检 )过双曲线 x2 y215 1 的右支上一
3、点 P，分别向圆 C1： (x 4)2 y2 4 和圆 C2： (x 4)2 y2 1 作切线，切点分别为 M， N，则 |PM|2 |PN|2的最小值为 ( ) A 10 B 13 C 16 D 19 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：由题可知， |PM|2 |PN|2 (|PC1|2 4) (|PC2|2 1) |PC1|2 |PC2|2 3 (|PC1| |PC2|)(|PC1| |PC2|) 3 2(|PC1| |PC2|) 32| C1C2| 3 13. 答案： B 5 (2018 届河南六市第一次联考 )已知点 F1， F2分别是双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b
4、0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A， B 两点，若 |AB| |BF2|AF2| 3 4 5，则双曲线的离心率为 ( ) A 2 B 4 C. 13 D 15 解析：由题意，设 |AB| 3k， |BF2| 4k， |AF2| 5k，则 BF1 BF2. |AF1| |AF2| 2a 5k 2a， |BF1| |BF2| 5k 2a 3k 4k 4k 2a 2a， a k， |BF1| 6a， |BF2| 4a.又 |BF1|2 |BF2|2 |F1F2|2，即 13a2 c2， e ca 13. 答案 ： C 6 (2018 届合肥市第二次质量检测
5、)双曲线 M： x2 y2b2 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，记 |F1F2| 2c，以坐标原点 O 为圆心， c 为半径的圆与曲线 M 在第一象限的交点为 P，若 |PF1| c 2，则点 P 的横坐标为 ( ) A. 3 12 B 3 22 C. 3 32 D 3 32 解析：由点 P 在双曲线的第一象限可得 |PF1| |PF2| 2，则 |PF2| |PF1| 2 c，又 |OP| c， F1PF2 90 ，由勾股定理可得 (c 2)2 c2 (2c)2，解得 c 1 3.易知 POF2为等边三角形，则 xP c2 3 12 ，选项 A 正确 答案： A 7 (2018 届湖南
6、十校联考 )设双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的两条渐近线与直线 xa2c分别交于 A， B 两点， F 为该双曲线的右焦点若 60|PB|. 因为点 P 是双曲线与圆的交点， 所以由双曲线的定义知， |PA| |PB| 2 5， 又 |PA|2 |PB|2 36， 联立 化简得 2|PA| PB| 16， 所以 (|PA| |PB|)2 |PA|2 |PB|2 2|PA| PB| 52， 所以 |PA| |PB| 2 13. 答案： 2 13 9 (2017 年全国卷 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆
7、A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M， N 两点若 MAN 60 ，则 C 的离心率为 _ 解析： |AM| |AN| b， MAN 60 ， MAN 是等边三角形， 在 MAN 中， MN 上的高 h 32 b. 点 A(a,0)到渐近线 bx ay 0 的距离 d aba2 b2 abc ， abc 32 b， e ca 23 2 33 . 答案： 2 33 10已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线的右支上，且 |PF1| 4|PF2|，则双曲线的离心率 e 的最大值为 _ 解析：由双曲线定义知 |PF1| |PF2| 2a，
8、 又 |PF1| 4|PF2|，所以 |PF1| 83a， |PF2| 23a， =【 ;精品教育资源文库 】 = 在 PF1F2中，由余弦定理得 cos F1PF2649a2 49a2 4c22 83a 23a 178 98e2，要求 e 的最大值， 即求 cos F1PF2的最小值，当 F1、 P、 F2三点共线时，即 F1PF2 时， cos F1PF2有最小值为 1， cos F1PF2 178 98e2 1，解得 10， b0)的左、右顶点， |AB| 4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y 33 x 2 与双曲线的右支交于 M， N 两点，且
9、在双曲线的右支上存在点 D，使 OM ON tOD ，求 t 的值及点 D 的 坐标 解： (1)由题意知 a 2 3， 一条渐近线为 y bax，即 bx ay 0. 由焦点到渐近线的距离为 3，得 |bc|b2 a2 3. 又 c2 a2 b2， b2 3， 双曲线的方程为 x212y23 1. (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， D(x0， y0)， 则 x1 x2 tx0， y1 y2 ty0. 将直线方程 y 33 x 2 代入双曲线方程 x212y23 1 得 x2 16 3x 84 0， 则 x1 x2 16 3， y1 y2 33 (x1 x2) 4 12.
10、? x0y0 4 33 ，x2012y203 1，解得 ? x0 4 3，y0 3. t 4，点 D 的坐标为 (4 3， 3) =【 ;精品教育资源文库 】 = 12已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 经过 A( 7， 5)， B( 1， 1)两点 (1)求双曲线 C 的方程； (2)设直线 l： y x m 交双曲线 C 于 M， N 两点，且线段 MN 被圆 E： x2 y2 12x n0(n R)三等分，求实数 m， n 的值 解： (1)设双曲线 C 的方程是 x 2 y 2 1( 0. 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， MN 的中点 P(x0， y0)， 则
11、x1 x2 4m， 所以 x0 x1 x22 2m， y0 x0 m m， 所以 P( 2m， m) 又圆心 E(6,0)，依题意 kPE 1， 故 m6 2m 1，即 m 2. 将 m 2 代入 得 x2 8x 7 0， 解得 x1 1， x2 7， 所以 |MN| 1 12|x1 x2| 6 2. 故直线 l 截圆 E 所得弦长为 13|MN| 2 2. 又 E(6,0)到直线 l 的距离 d 2 2， 所以圆 E 的半径 R 2 2 2 2 10， 所以圆 E 的方程是 x2 y2 12x 26 0. 所以 m 2， n 26. 能 力 提 升 1已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(
12、a0， b0)的离心率为 3，点 ( 3， 0)是双曲线的一个顶点 (1)求双曲线的方程； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)经过双曲线右焦点 F2作倾斜角为 30 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 A， B，求 |AB|. 解： (1) 双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率为 3，点 ( 3， 0)是双曲线的一个顶点， ? ca 3，a 3，解得 c 3， b 6， 双曲线的方程为 x23y26 1. (2)双曲线 x23y26 1 的右焦点为 F2(3,0)， 经过双曲线右焦点 F2且倾斜角为 30 的直线的方程为 y 33 (x 3) 联立? x23 y26
13、 1，y 33 x ，得 5x2 6x 27 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 65， x1x2 275. 所以 |AB| 1 13 ? ? 65 2 4 ? ? 275 16 35 . 2已知椭圆 C1的方程为 x24 y2 1，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点， O 为坐标原点 (1)求双曲线 C2的方程； (2)若直线 l： y kx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且 OA OB 2，求 k的取值范围 解： (1)设双曲线 C2的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， 则 a2 4 1 3， c2 4， 再由 a2 b2 c2，得 b2 1， 故双曲线 C2的方程为 x23 y2 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)将 y kx 2代入 x23 y2 1， 得 (1 3k2)x2 6 2kx 9 0. 由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点， 得 ? 1 3k20 ， 6 2k 2 3k2 k2 ， k22， 即 x1x2 y1y22， 3k2 73k2 12， 即 3k2 93k2 1 0， 解得 13k23. 由 得 13k21， 故 k 的取值范围为 ? ? 1， 33 ? ?33 ， 1 .
