1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (二十二 ) 解三角形应用举例 A 组 基础达标 (建议用时： 30 分钟 ) 一、选择题 1如图 379 所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C的北偏东 20 ，灯塔 B在观察站 C的南偏东 40 ，则灯塔 A与灯塔 B的距离为 ( ) 【导学号： 00090119】 图 379 A a km B 3a km C 2a km D 2a km B 在 ABC 中， AC BC a， ACB 120 ， AB2 a2 a2 2a2cos 120 3a2， AB 3A 2如图 3710，两座灯
2、塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40 ，灯塔 B 在观察站南偏东 60 ，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( ) 图 3710 A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 80 D南偏西 80 D 由条件及题图可知， A B 40 ，又 BCD 60 ，所以 CBD 30 ，所以 DBA 10 ，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80. 3 (2018 重庆模拟 )一艘 海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B 处观察灯
3、塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， C 两点间的距离是 ( ) A 10 2海里 B 10 3海里 C 20 3海里 D 20 2海里 A 如图所示，易知，在 ABC 中， AB 20 海里， CAB 30 ， ACB 45 ，根据正=【 ;精品教育资源文库 】 = 弦定理得 BCsin 30 ABsin 45 ， 解得 BC 10 2(海里 ) 4 (2018 赣州模拟 )如图 3711 所示，为了测量 A， B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测， A，B 分别在 D 处的北偏西 15 、北偏东 45 方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向， A 在
4、 C 处的北偏西 60 方向，则 A， B 两处岛屿间的距离为 ( ) 【导学号： 00090120】 图 3711 A 20 6海里 B 40 6海里 C 20(1 3)海里 D 40 海 里 A 连接 AB，由题意可知 CD 40， ADC 105 ， BDC 45 ， BCD 90 ， ACD 30 ， CAD 45 ， ADB 60 ， 在 ACD 中，由正弦定理得 ADsin 30 40sin 45 ， AD 20 2， 在 Rt BCD 中， BDC 45 ， BCD 90 ， BD 2CD 40 2. 在 ABD 中，由余弦定理得 AB 800 3 200 220 240 2co
5、s 60 20 6. 故选 A 5如图 3712，两座相距 60 m 的建筑物 AB， CD 的高度分别为 20 m、 50 m， BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 3712 A 30 B 45 C 60 D 75 B 依题意可得 AD 20 10(m)， AC 30 5(m)， 又 CD 50(m)， 所以在 ACD 中 ， 由余弦定理得 cos CAD AC2 AD2 CD22AC AD 52 10 2 502230 520 10 6 0006 000 2 22 ， 又 0 CAD180 ，所以 CAD 4
6、5 ，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45. 二、填空题 6 (2018 扬州模拟 )如图 3713，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 NAM 60 ， CAB 45 以及 MAC 75 ；从 C 点测得 MCA 60 ；已知山 高 BC 300 米，则山高 MN _米 图 3713 450 在 Rt ABC 中， BC 300， CAB 45 ， AC 300 2， 在 AMC 中， AMC 180 75 60 45 ， 由正弦定理得： ACsin AMC AMsin ACM， AM ACsin ACMsin AMC 300 2 3222
7、 300 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = MN AMsin MAN 300 3 32 450. 7如图 3714，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60 ，再由点 C 沿北偏东 15 方向走 10 米到位置 D，测得 BDC 45 ，则塔 AB 的高是 _米 图 3714 10 6 在 BCD 中， CD 10， BDC 45 ， BCD 15 90 105 ， DBC 30 ，BCsin 45 CDsin 30 ， BCCDsin 45sin 30 10 2.在 Rt ABC 中， tan 60 ABBC， AB
8、 BCtan 60 10 6(米 ) 8如图 3715 所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15 方向，与海轮相距 20 海里的 B 处，海轮按北偏西 60 的方向航行了 30 分钟后到达 C 处，又测得灯塔在 海 轮 的 北 偏 东 75 的 方 向 ， 则 海 轮 的 速 度 为 _ 海里 / 分钟 【导学号： 00090121】 图 3715 63 由已知得 ACB 45 ， B 60 ， 由正弦定理得 ACsin B ABsin ACB， 所以 AC ABsin Bsin ACB 20sin 60sin 45 10 6， 所以海轮航行的速度为 10 630 63 (海
9、里 /分钟 ) 三、解答题 9某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点 A， B，且 AB 长为 80 米，当航模在 C 处时，测得 ABC 105 和 BAC30 ，经过 20 秒后，航模直线航行到 D 处，测得 BAD 90 和 ABD 45. 请你根据以上条件求出航模的速度 (答案可保留根号 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 3716 解 在 ABD 中， BAD 90 ， ABD 45 ， ADB 45 ， AD AB 80， BD 80 2. 3 分 在 ABC 中， BCsin 30 ABsin 45 ， BC ABsin 3
10、0sin 45 80 1222 40 2. 6 分 在 DBC 中， DC2 DB2 BC2 2DB BCcos 60 (80 2)2 (40 2)2 280 240 2 12 9 600. DC 40 6，航模的速度 v 40 620 2 6米 /秒 . 12 分 10如图 3717，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里 /小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 图 3717 (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin 的值 解 (1)依题意知， B
11、AC 120 ， AB 12， AC 102 20， BCA . 3 分 在 ABC 中，由余弦定理，得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos BAC 122 202 21220cos 120 784，解得 BC 28. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以渔船甲的速度为 BC2 14 海里 /小时 . 7 分 (2)在 ABC 中，因为 AB 12， BAC 120 ， BC 28， BCA ，由正弦定理，得 ABsin BCsin 120 ， 9 分 即 sin ABsin 120BC 12 3228 3 314 . 12 分 B 组 能力提升 (建议用时： 15 分钟 ) 1 (
12、2018 六安模拟 )一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45 ，沿点 A 向北偏东30 前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高度是 ( ) A 50 m B 100 m C 120 m D 150 m A 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在 ABC 中， A 60 ， AC h， AB 100， BC 3h，根据余弦定 理得， ( 3h)2 h2 1002 2 h100cos 60 ，即 h2 50h 5 000 0，即 (h 50)(h 100) 0，即
13、h 50，故水柱的高度是 50 m 2 (2014 全国卷 )如图 3718，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角 MAN 60 ， C 点的仰角 CAB 45 以及 MAC 75 ；从C 点测得 MCA 60. 已知山高 BC 100 m，则山高 MN _m. 图 3718 150 根据图示， AC 100 2 m. 在 MAC 中， CMA 180 75 60 45. 由正弦定理得 ACsin 45 AMsin 60 ?AM 100 3 m. 在 AMN 中， MNAM sin 60 ， MN 100 3 32 150(m) 3 (20
14、18 大连模拟 )如图 3719，一条巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东=【 ;精品教育资源文库 】 = 15( BAC 15) 方向上，匀速向北航行 20分钟到达 B处，测得山顶 P位于北偏东 60方向上，此时测得山顶 P 的仰角 60 ，若山高为 2 3千米 (1)船的航行速度是每小时多少千米？ (2)若该船继续航行 10 分钟到达 D 处，问此时山顶位于 D 处的南偏东什么方向？ 图 3719 解 (1)在 BCP 中， tan PBC PCBC?BC 2. 在 ABC 中，由正弦定理得： BCsin BAC ABsin BCA? 2sin 15 ABsin 45 ， 所以 AB
