1、苏教版高中数学课件苏教版高中数学课件在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？导 语导 语一、点到直线距离公式一、点到直线距离公式问题如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：AxByC0(A0，B0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？提示根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l，垂足为Q，点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离为d .知识梳理知识梳理注意点：注意点：(1)利用公式时直线的方程必须是一般式
2、；(2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为AxByC0，则当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.例1已知两点A(3,2)，B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为解析方法一依题意得，直线mxy30过线段AB的中点或与直线AB平行.线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mxy30上.m330，解得m6；反思感悟两点到直线距离相等，可用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法.跟踪训练1(多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使PM4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直
3、线中是点M的“相关直线”的是A.yx1 B.y2C.4x3y0 D.2xy10即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；选项B中，点M到直线y2的距离d|02|20)到直线l：xy30的距离为1，则a等于三、点到直线距离公式的综合应用三、点到直线距离公式的综合应用 例3(1)已知O为原点，点P在直线xy10上运动，那么OP的最小值为(2)当点P(3,2)到直线mxy12m0的距离最大时，m的值是_.1解析直线mxy12m0可化为y1m(x2)，由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m，结合图象可知当PQ与直线m
4、xy12m0垂直时，点到直线距离最大，反思感悟解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的.跟踪训练跟踪训练3(1)动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求OP最小时点P的坐标；解直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP1，OP所在的直线方程为yx.点P的坐标为(2,2).(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.解由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，kOP2，即x2y50.1.知识清单：(1)点到直线的距离公式的推导过程.(2)点到直线的距离公
5、式d .(3)公式的应用.2.方法归纳：公式法、数形结合.3.常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在.课堂小结课堂小结随堂演练随堂演练1.原点到直线x2y50的距离为123412342.(多选)已知点M(1,4)到直线l：mxy10的距离为3，则实数m等于12343.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2xy10上，则MP的最小值是解析点M到直线2xy10的距离，即为MP的最小值，12344.已知直线l经过点(2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为_.x20或5x12y2601234解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，符合原点到直线l的距离等于2.当直线l的斜率存
6、在时，设所求直线l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，综上，直线l的方程为x20或5x12y260.课时对点练课时对点练基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 161.(多选)直线l过点B(3,3)，若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为A.3x4y210 B.4x3y210C.x3 D.y312345678910 11 12 13 14 15 16解析当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x3满足条件.直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y3k(x3)，即kxy33k0.所以直线l的方程为3x4y210.综上，可得直线l的方程为x3或3x4y210
7、.12345678910 11 12 13 14 15 162.已知直线l1：axy10与直线l2：xy50互相垂直，则点(1,2)到直线l1的距离为解析由已知得，a，1，又l1l2，a11，解得a1.此时直线l1的方程为xy10，12345678910 11 12 13 14 15 16解析设与直线3xy20平行的直线方程为3xym0，所以直线l的方程是3xy100.12345678910 11 12 13 14 15 164.点P(2,3)到直线l：axy2a0的距离为d，则d的最大值为A.3 B.4 C.5 D.7解析直线方程可变形为ya(x2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线
8、lPM时，d有最大值，12345678910 11 12 13 14 15 165.(多选)已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值等于12345678910 11 12 13 14 15 166.(多选)与直线3x4y10垂直，且与点(1，1)距离为2的直线方程为A.4x3y30 B.4x3y170C.4x3y30 D.4x3y170解析设所求直线方程为4x3yC0.即|C7|10，解得C3或C17.故所求直线方程为4x3y30或4x3y170.12345678910 11 12 13 14 15 167.倾斜角为60，且与原点的距离是5的直线方程为_.由
9、直线与原点的距离为5，所以b10.12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 168.经过两直线x3y100和3xy0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为_.解析设所求直线l的方程为x3y10(3xy)0，即(13)x(3)y100，2所以3，即直线方程为x1或4x3y50，所以和原点相距为1的直线的条数为2.12345678910 11 12 13 14 15 169.已知ABC三个顶点的坐标A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC的面积S.12345678910 11 12 13 14 15 16即x2y30.
10、点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高，即ABC的面积为4.12345678910 11 12 13 14 15 1610.已知直线l经过点P(2,1)，且与直线xy0垂直.(1)求直线l的方程；解由题意知直线l的斜率为1，所求直线方程为y1x2，即xy30.12345678910 11 12 13 14 15 16(2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为 ，求直线m的方程.解由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为xyc0，解得c1或c5.所以所求直线m的方程为xy10或xy50.12345678910 11 12 13 14 15 16综合运用11.(多选)已知点P在直线3xy50
11、上，且点P到直线xy10的距离为 ，则点P的坐标为A.(1,2)B.(3，4)C.(2，1)D.(4，3)12345678910 11 12 13 14 15 16解析设点P的坐标为(a,53a)，解得a1或2，所以点P的坐标为(1,2)或(2，1).12345678910 11 12 13 14 15 1612.当点P(2,3)到直线l：ax(a1)y30的距离d最大时，d与a的值依次为A.3，3 B.5,2C.5,1 D.7,1解析直线l恒过点A(3,3)，根据已知条件可知，当直线ax(a1)y30与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a1.12345678910 11 12 13 14
12、 15 1613.已知点P(1t,13t)到直线l：y2x1的距离为 ，则点P的坐标为A.(0，2)B.(2,4)C.(0，2)或(2,4)D.(1,1)解析直线l：y2x1可化为2xy10，整理得|t|1，所以t1或1.当t1时，点P的坐标为(2,4)；当t1时，点P的坐标为(0，2).12345678910 11 12 13 14 15 16解析设P(x，y)，A(2，1)，则点P在直线xy30上，拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1615.已知直线l：y2ax(a2)过第一、三、四象限，其中aZ，则点A(1，3)到直线l的距离为_.解析因为直线l：y2ax(a
13、2)过第一、三、四象限，所以0a2，又aZ，所以a1，所以直线l的方程为y2x1，即2xy10，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 1616.已知直线m：(a1)x(2a3)ya60，n：x2y30.(1)当a0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；12345678910 11 12 13 14 15 16即m与n的交点为(21，9).当直线l过原点时，直线l的方程为3x7y0；所以直线l的方程为xy120，故满足条件的直线l的方程为3x7y0或xy120.此时mn；此时mn.解设原点O到直线m的距离为d，12345678910 11 12 13 14 15 16
