1、习题课导数中的函数构造问题学习目标1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题一、利用f(x)与x构造例1已知f(x)的定义域为(0，)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)(x1)f(x21)的解集是()A(0,1) B(2，)C(1,2) D(1，)答案B解析构造函数yxf(x)，x(0，)，则yf(x)xf(x)(x1)f(x21)，所以(x1)f(x1)(x21)f(x21)，所以x10，x10，解得x2或x(x1)f(x21)的解集是(2，)延伸探究把本例中的条件“f(x)xf(x)”换为“f(x)(2x1)f(x21)解设g(x)，则g
2、(x)，f(x)0，故g(x)在(0，)上是增函数，由(x21)f(2x1)(2x1)f(x21)得，即g(2x1)g(x21)，所以解得0x(2x1)f(x21)的解集为(0,2)反思感悟用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有(1)对于f(x)g(x)，构造h(x)f(x)g(x)(2)对于f(x)g(x)0，构造h(x)f(x)g(x)(3)对于f(x)a，构造h(x)f(x)ax.(4)对于xf(x)f(x)0，构造h(x)xf(x)(5)对于xf(x)f(x)0，构造h(x).跟踪训练1已知函数f(x)xln xx(xa)2(aR)若存在x，使得f(x)xf(x)成立，则
3、实数a的取值范围是()A. B.C(，) D(3，)答案C解析由f(x)xf(x)成立，可得0.设g(x)ln x(xa)2，则存在x，使得g(x)2(xa)min.又x2，当且仅当x，即x时取等号，所以a.二、利用f(x)与ex构造例2已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f(x)，且对于任意的xR，均有f(x)f(x)0，则()Ae2 021f(2 021)f(0)Be2 021f(2 021)f(0)，e2 021f(2 021)f(0)，e2 021f(2 021)f(0)De2 021f(2 021)f(0)，e2 021f(2 021)0，所以函数h(x)在R上是增函数，故h(2
4、 021)h(0)，即e2 021f(2 021)e0f(0)，即e2 021f(2 021)h(0)，即e2 021f(2 021)f(0)，故选A.延伸探究把本例中的条件“f(x)f(x)0”换为“f(x)f(x)”，比较e2 021f(2 021)和f(0)的大小解令g(x)，则g(x)，因为对任意的xR，都有f(x)f(x)，所以g(x)0，即g(x)在R上是增函数，所以h(2 021)h(0)，即，所以e2 021f(2 021)0，构造h(x)exf(x)(2)对于f(x)f(x)，构造h(x).跟踪训练2(多选)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)f(x)对任意的xR恒
5、成立，则()Af(ln 2)2f(0) Bf(2)2f(0) Df(2)e2f(0)答案AB解析令g(x)，则g(x)0,20，所以g(ln 2)g(0)，g(2)g(0)，即，所以f(ln 2)2f(0)，f(2)e2f(0)三、利用f(x)与sin x，cos x构造例3(多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且f(0)0，f(x)cos xf(x)sin x0，则下列判断中正确的是()Af0Cff Dff答案CD解析令g(x)，x，则g(x)，因为f(x)cos xf(x)sin x0，所以g(x)0在上恒成立，因此函数g(x)在上是减函数，又g，即，即ff，故A错误；又f
6、(0)0，所以g(0)0，所以g(x)0在上恒成立，因为ln，所以f0，故B错误；又g，所以，即ff，故C正确；又g，所以即ff，故D正确反思感悟f(x)与sin x，cos x构造常见的形式(1)对于f(x)sin xf(x)cos x0，构造函数h(x)f(x)sin x.(2)对于f(x)sin xf(x)cos x0，构造函数h(x).(3)对于f(x)cos xf(x)sin x0，构造函数h(x)f(x)cos x.(4)对于f(x)cos xf(x)sin x0，构造函数h(x).跟踪训练3已知函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，函数yf(x)对于任意的x(0，)满足f(
7、x)sin xf(x)cos x(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()AffB.f2fD.ff(x)cos x，得f(x)sin xf(x)cos x0，即0，所以y在(0，)上是增函数，又因为y为偶函数，所以y在(，0)上是减函数，所以2f.1知识清单：(1)几种常见的构造形式(2)掌握由导函数的结构形式构造原函数2方法归纳：构造法3常见误区：不能正确构造出符合题意的函数1已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有()Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)b
8、f(a)答案A解析设g(x)xf(x)，x(0，)，则g(x)xf(x)f(x)0，g(x)在区间(0，)上是减函数或g(x)为常函数ab，g(a)g(b)，即af(a)bf(b)，故选A.2若函数yf(x)的定义域为R，对于xR，f(x)f(x)，且f(x1)为偶函数，f(2)1，则不等式f(x)ex的解集为()A(2，) B(0，)C(，0) D(，2)答案B解析设函数g(x)，则g(x)，由f(x)f(x)，可得f(x)f(x)0，所以g(x)0，函数g(x)在R上是减函数，由f(x1)为偶函数，可得函数f(x)关于直线x1对称，又f(2)1，所以f(0)1，所以g(0)1，不等式f(x
9、)ex，可化为1，即g(x)0，即不等式f(x)ex的解集为(0，)3已知函数yf(x)(xR)满足f(2)1，且f(x)的导函数f(x)x1的解集为()Ax|2x2 Bx|x2Cx|x2 Dx|x2答案B解析令g(x)f(x)(x1)，则g(x)f(x)1x1，得g(x)0，解得x2.4函数f(x)定义在上，f，其导函数是f(x)，且f(x)cos x2sin x的解集为_答案解析f(x)cos x0，构造函数g(x)，则g(x)，当x时，g(x)0，g(x)在上是增函数，不等式f(x)2sin x，2，即g(x)g，x，故不等式的解集为.课时对点练1已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，
10、且f(x)，则f(x)的解集为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1答案D解析构造函数h(x)f(x)，所以h(x)f(x)0，故h(x)在R上是减函数，且h(1)f(1)0，故h(x)12设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)答案A解析构造函数h(x)，因为f(x)为奇函数，所以h(x)为偶函数，又因为h(x)，且当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)3已知函数f(x)的定义域为R，f(x)为
11、f(x)的导函数，且f(x)(x1)f(x)0，则()Af(1)0 Bf(x)0 D(x1)f(x)0，所以g(x)在R上是增函数，又因为g(1)0，所以当x1时，g(x)(x1)f(x)0；当x1时，g(x)(x1)f(x)0，又f(1)(11)f(1)f(1)0，所以ABD错误，C正确4已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)ef(2 021) Bf(2 020)f(2 021) Def(2 020)f(2 021)答案A解析依题意得f(x)f(x)0，令g(x)exf(x)，则g(x)exf(x)f(x)g(2 021)，即e2 020f(2 020)e2 021f(2 021)f(2
12、020)ef(2 021)5定义域为的函数f(x)满足f(x)f(x)0，其导函数为f(x)，当0x时，有f(x)cos xf(x)sin x0成立，则关于x的不等式f(x)fcos x的解集为()A.B.C.D.答案B解析f(x)f(x)0且x，f(x)是奇函数，设g(x)，则当0x时，g(x)0，g(x)在上是减函数又f(x)是奇函数，g(x)也是奇函数，g(x)在上是减函数，从而g(x)在上是减函数，不等式f(x)fcos x，即g(x)g，xf(x)，则下列不等式一定成立的是()A3f(4)5f(3)C3f(3)4f(2)答案BD解析由(x1)f(x)f(x)，得(x1)f(x)f(x
13、)0，令g(x)，则g(x)0，g(x)在(0，)上是增函数，g(2)g(3)g(4)，则，即4f(2)3f(3)，5f(3)0，则不等式f(x)sin x0，所以f(x)sin x0，x，令g(x)f(x)sin x，则当x时，g(x)0，g(x)在上是增函数，因为f2，所以gfsin3，不等式f(x)sin x3，即g(x)0，若af，b0，cf，则a，b，c的大小关系是_答案ab0，所以g(x)0，所以g(x)在(0，)上是增函数，affcosg，b0fcosg，cffcosg，所以ab0，即m(x)在e，)上是增函数，故m(x)m(e)e20，h(x)0，所以h(x)在e，)上是增函数
14、，h(x)minh(e)，所以a.即实数a的取值范围是.10已知函数f(x)x22aln x(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)在1，e上的最小值和最大值；(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2(0，)，且x1x2，都有a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解(1)当a1时，f(x)x22ln xx.则f(x)x1，x1，e当x1,2)时，f(x)0.f(x)在1,2)上是减函数，在(2，e上是增函数当x2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)2ln 2.又f(1)，f(e)e2，f(e)f(1)e20，f(e)a恒成立，不妨设0x1a，f(x2)ax2f(x1)a
15、x1.令g(x)f(x)ax，则由此可知g(x)在(0，)上是增函数，又g(x)x22aln x(a2)xaxx22aln x2x，则g(x)x2，由此可得g(x)0在(0，)上恒成立，只需12a0，解得a.即a的取值范围是.11设f(x)，g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b) Bf(x)g(b)f(b)g(x)Cf(x)g(a)f(a)g(x) Df(x)g(x)f(a)g(a)答案B解析设F(x)，则F(x)，由f(x)g(x)f(x)g(x)0，得F(x)0，所以F(x)在R上是减函数，因为axb，所以f(b)g(x)1
16、2.设函数f(x)的定义域为R，f(x)是其导函数，若3f(x)f(x)0，f(0)1，则不等式f(x)e3x的解集是()A(0，) B(1，)C(，0) D(0,1)答案A解析令g(x)e3xf(x)，则g(x)3e3xf(x)e3xf(x)，因为3f(x)f(x)0，所以3e3xf(x)e3xf(x)0，所以g(x)0，所以函数g(x)e3xf(x)在R上是增函数，又f(x)e3x可化为e3xf(x)1，且g(0)e30f(0)1，所以g(x)g(0)，解得x0，所以不等式f(x)e3x的解集是(0，)13函数f(x)的导函数为f(x)，对任意的正数x都有2f(x)xf(x)成立，则()A
17、9f(2)4f(3)B9f(2)xf(x)，得xf(x)2f(x)0，又xf(x)2f(x)0，所以g(x)g(3)，即，即9f(2)4f(3)14已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)0，当x0时，有0，则不等式x2f(x)0的解集是_答案(1,0)(1，)解析令g(x)(x0)，则g(x).当x0时，0，即g(x)0，g(x)在(0，)上是增函数又f(1)0，g(1)f(1)0，在(0，)上，g(x)0的解集为(1，)，g(x)0的解集为(，1)，g(x)0，得f(x)0(x0)又f(x)0的解集为(1,0)(1，)，不等式x2f(x)0的解集为(1,0)(1，)15已知函数f(x
18、)的定义域为R，其导函数为f(x)，且3f(x)f(x)0在R上恒成立，则下列不等式一定成立的是()Af(1)e3f(0) Bf(1)e3f(0) Df(1)e2f(0)答案A解析令g(x)，则g(x)，因为3f(x)f(x)0在R上恒成立，所以g(x)0在R上恒成立，故g(x)在R上是减函数，所以g(1)g(0)，即，即f(1).(1)解因为f(x)ln x，所以f(x).当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，故f(x)在(0，)上是减函数当a0，得0xa；由f(x)a.即f(x)在(0，a)上是增函数，在(a，)上是减函数，综上，当a0时，f(x)在(0，)上是减函数；当a0时，f(x)
19、在(0，a)上是增函数，在(a，)上是减函数(2)证明因为f(x1)f(x2)2，所以ln x120，ln x220，即x1ln x12x1a0，x2ln x22x2a0.设g(x)xln x2xa，则g(x)ln x3，故g(x)在上是减函数，在上是增函数由题意设0x1，只需证x2x1，又x2，x1，g(x)在上是增函数，故只需证g(x2)g.因为g(x1)g(x2)，所以只需证g(x1)g对任意的x1恒成立即可，即x1ln x12x1aln2a.整理得x1ln x12x1ln2x1，即x1ln x1ln4x10.设h(x)xln xln4x，x，则h(x)ln xln6ln6.因为0x，所以0x2，所以h(x)ln6h0.所以x1x2成立
