1、5.2平面向量基本定理 及向量的坐标表示,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,自测点评,1.平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个的向量,那么该平面内的任一向量a,的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组,记为e1,e2.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.,不平行,存在唯一,基底,-3-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,2.平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法,数乘向量及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=,a-b=,a=,|a|=.(2)向量坐标
2、的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x1,y1),(x2-x1,y2-y1),-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab? .,x1y2-x2y1=0,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,4.两个向量的夹角(1)定义:已知两个向量a和b,作 =b,则称作向量a和向量b的夹角,记作.(2)范围:向量夹角的范围是0,且=.(3)向量垂直:如果= ,则a与b垂直,记作.,非零,A
3、OB,ab,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ()(2)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. ()(3)在ABC中,向量 的夹角为ABC. ()(4)已知向量a,b是一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2. ()(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件可表示成(),答案,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.(2017河北石家庄二模)已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“a
4、b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.(2017山东,文11)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则=.,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,解析,4.(2017山西太原一模)已知a=(1,-1),b=(t,1),若(a+b)(a-b),则实数t=.,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.,答案,解析,-11-,知识梳
5、理,双基自测,自测点评,1.能作为基底的两个向量必须是不共线的.2.向量的坐标与点的坐标不同,向量平移后,其起点和终点的坐标都变了,但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标,故平移后坐标不变.3.求向量的夹角要注意向量的方向,否则,得到的可能是向量夹角的补角.4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成 因为x2,y2有可能等于0,应表示为x1y2-x2y1=0.,-12-,考点1,考点2,考点3,例1(1)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2C.e1
6、+e2与e1-e2D.e1+3e2与2e1+6e2,-13-,考点1,考点2,考点3,(3)设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=.思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?,答案,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.,-16-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.应用平面向量基本定理表示
7、向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.,-17-,考点1,考点2,考点3,答案,解析,-18-,考点1,考点2,考点3,例2(1)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)(2)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 =-3a,则点N的坐标为()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思
8、路是什么?,答案,解析,-19-,考点1,考点2,考点3,解题心得向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行的.解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.,-20-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)在?ABCD中,AC为一条对角线,若A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)(2)已知向量a=(2,-1),b=(0,1),则|a+2b|=(),答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,例3(1)已知点P(-1,2),线段PQ的中点M的坐标为(1,-1).若向量 与向量a=(,1)共线,则=.(2)在ABC中,角A,
9、B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为.思考向量共线有哪几种表示形式?两个向量共线的充要条件有哪些作用?,答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.向量共线的两种表示形式设a=(x1,y1),b=(x2,y2),ab?a=b(b0);ab?x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用.2.两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.,-23-,考点1,考点2,考点3,
10、答案,解析,-24-,考点1,考点2,考点3,1.只要两个非零向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.2.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.3.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题来解决,从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题.4.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.,-25-,考点1,考点2,考点3,5.三个结论向量中必须掌握的三个结论(1)若a与b不共线,a+b=0,则=0;(2)已知 (,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1;(3)平面向量的基底中一定不含零向量.,-26-,考点1,考点2,考点3,1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点是原点时,其终点坐标就是向量的坐标.2.若a,b为非零向量,当ab时,a,b的夹角为0或180,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.,
