1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 43 讲 圆的方程 解密考纲 对圆的方程的考查以选择题、填空题的形式出现 一、选择题 1圆 (x 1)2 (y 2)2 1 关于直线 y x 对称的圆的方程为 ( A ) A (x 2)2 (y 1)2 1 B (x 1)2 (y 2)2 1 C (x 2)2 (y 1)2 1 D (x 1)2 (y 2)2 1 解析 设对称圆的方程为 (x a)2 (y b)2 1，圆心 (1,2)关于直线 y x 的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为 (x 2)2 (y 1)2 1.故选 A 2圆心在 y 轴上，半径长为 1，且过点 (1,2)的圆的方程是 ( A
2、) A x2 (y 2)2 1 B x2 (y 2)2 1 C (x 1)2 (y 3)2 1 D x2 (y 3)2 1 解析 设圆心坐标为 (0， a)，则 2 a 2 1， a 2，故圆的方程为x2 (y 2)2 1. 3以 (1,0)为圆心，且与直线 3x 4y 0 相切的圆的方程为 ( C ) A x2 ? ?y 116 2 125 B x2 (y 1)2 1625 C (x 1)2 y2 925 D (x 2)2 y2 3625 解析 由已知得圆的半径长等于点 (1,0)到直线 3x 4y 0 的距离，即 r |31|32 42 35，所以所求圆的方程为 (x 1)2 y2 925
3、. 4已知两点 A( 2,0)， B(0,2)，点 C 是圆 x2 y2 2x 0 上任意一点，则 ABC 面积的最小值是 ( A ) A 3 2 B 3 2 C 3 22 D 3 22 解析 圆的标准方程为 (x 1)2 y2 1，直线 AB 的方程为 x y 2 0，圆心 (1,0)到直线 AB 的距离 d |1 0 2|2 3 22 ，则点 C 到直线 AB 的最短距离为 3 22 1.又因为 |AB|2 2，所以 ABC 面积的最小值为 122 2 ? ?3 22 1 3 2. 5若实数 x， y 满足 x2 y2 2x 4y 0，则 x 2y 的最大值为 ( B ) A 5 B 10
4、 C 9 D 5 2 5 解析 原方程可化为 (x 1)2 (y 2)2 5，表示以 (1， 2)为圆心， 5为半径的圆设x 2y b，则 x 2y 可看作直线 x 2y b 在 x 轴上的截距，当直线与圆相切时， b 取得最=【 ;精品教育资源文库 】 = 大值或最小值，此时 |1 4 b|5 5， b 10 或 b 0， x 2y 的最大值是 10. 6设双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率 e 2，右焦点 F(c,0)，方程 ax2 bx c 0 的两个实数根分别为 x1， x2，则点 P(x1， x2)与圆 x2 y2 8 的位置关系为 ( C ) A点 P 在圆外 B
5、点 P 在圆上 C点 P 在圆内 D不确定 解析 e2 1 ? ?ba 2 2， ? ?ba 2 1， ba 1， a b， c 2a， 方程 ax2 bx c 0 可化为 x2 x 2 0. x1 x2 1， x1 x2 2. x21 x22 (x1 x2)2 2x1x2 1 2 20，3 2a0， 解得 a 3 或 1a32. 故 a 的取值范围为 ( ， 3) ? ?1， 32 . 三、解答题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10已知 ABC 的顶点坐标分别为 A( 1,5)， B( 2， 1)， C(4,3)， M 是 BC 的中点 (1)求 AB 边所在直线的方程； (2)求以线段
6、 AM 为直径的圆的方程 解析 (1)因为 A( 1,5)， B( 2， 1)，所以由两点式得 AB 的方程为 y 5 1 5x 2 ，整理得 6x y 11 0. (2)因为 M 是 BC 的中点， 所以 M? ? 2 42 ， 1 32 ，即 M(1,1)， 所以 |AM| 1 2 2 2 5， 所以圆的半径为 5. 所以 AM 的中点为 ? ? 1 12 ， 5 12 ，即中点为 (0,3)，所以以线段 AM 为直径的圆的方程为 x2 (y 3)2 5. 11一圆经过 A(4,2)， B( 1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为 2，求此圆的方程 解析 设所求圆的方程为 x2 y2
7、 Dx Ey F 0. 令 y 0，得 x2 Dx F 0， 所以 x1 x2 D. 令 x 0，得 y2 Ey F 0， 所以 y1 y2 E. 由题意知 D E 2， 即 D E 2 0. 又因为圆过点 A， B， 所以 16 4 4D 2E F 0， 1 9 D 3E F 0， 解 组成的方程组得 D 2， E 0， F 12. 故所求圆的方程为 x2 y2 2x 12 0. 12在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得的线段长为 2 2，在 y 轴上截得的线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程； (2)若点 P 到直线 y x 的距离为 22 ，求圆 P 的
8、方程 解析 (1)设 P(x， y)，圆 P 的半径为 r， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 y2 2 r2， x2 3 r2. y2 2 x2 3，即 y2 x2 1. 点 P 的轨迹方程为 y2 x2 1. (2)设 P 的坐标为 (x0， y0)， 则 |x0 y0|2 22 ，即 |x0 y0| 1. y0 x0 1 ，即 y0 x01. 当 y0 x0 1 时， 由 y20 x20 1，得 (x0 1)2 x20 1. ? x0 0，y0 1， r2 3. 圆 P 的方程为 x2 (y 1)2 3. 当 y0 x0 1 时， 由 y20 x20 1，得 (x0 1)2 x20 1. ? x0 0，y0 1， r2 3. 圆 P 的方程为 x2 (y 1)2 3. 综上所述，圆 P 的方程为 x2 (y1) 2 3.
