1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 46 讲 双曲线 解密考纲 对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形或不等式综合在一起，以选择题或填空题形式出现 一、选择题 1 (2018 湖南衡阳八中期中 )如果方程 x2k 1y22 1 表示双曲线，则实数 k 的取值范围是 ( B ) A ( ， 1) B ( 1， ) C (1， ) D ( ， 1) (1， ) 解析 双曲线的方程是 x2a2y2b2 1.根据定义和 条件知 k 10?k 1.故选 B 2已知实数 1， m,9 成等比数列，则圆锥曲线 x2m y2 1 的离心率为 ( C ) A 63 B 2
2、 C 63 或 2 D 22 或 3 解析 根据条件可知 m2 9， m 3. 当 m 3 时， e ca 63 ；当 m 3 时， e 2.故选 C 3双曲线 x22 2y2 1 的渐近线与圆 x2 (y a)2 1 相切，则正实数 a 的值为 ( C ) A 174 B 17 C 52 D 5 解析 双曲线 x22 2y2 1 的渐近线方程为 y 12x，圆心为 (0， a)，半径为 1， 由渐近线和圆相切，得 |2a|5 1，解得 a 52 . 4若实数 k 满足 0b0，椭圆 C1的方程为 x2a2y2b2 1，双曲线 C2的方程为x2a2y2b2 1， C1与 C2的离心率之积为 3
3、2 ，则 C2的渐近线方程为 ( A ) A x 2y 0 B 2x y 0 C x2 y 0 D 2x y 0 解析 由已知得 1 ? ?ba 2 1 ? ?ba 2 32 ，所以 ba 12， C2 的渐近线方程为 y 12x，即 x 2y 0. 二、填空题 7 (2017 北京卷 )若双曲线 x2 y2m 1 的离心率为 3，则实数 m _2_. 解析 由已知可得 a 1， c 1 m，所以 e ca 1 m 3，解得 m 2. 8已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线与直线 l： x 3y 0 垂直，双曲线 C 的一个焦点到直线 l 的距离为 1，则双曲线
4、C 的方程为 _x2 y23 1_. 解析 双曲线的一条渐近线与直线 l： x 3y 0 垂直， 双曲线的渐近线的斜率为3，即 ba 3. 由题意知双曲线的焦点在 x 轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为 (c,0)，根据点到直线的距离公式，得 |c|2 1， c 2，即 a2 b2 4. 联立 ，解得 a2 1， b2 3 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 双曲线的标准方程为 x2 y23 1. 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的顶点 A( 6,0)和 C(6,0)，若顶点 B 在双曲线 x225y211 1 的左支上，则sin A sin Csin B _56_. 解析 由条
5、件可知 |BC| |BA| 10，且 |AC| 12.又在 ABC 中，有 |BC|sin A |AB|sin C |AC|sin B 2R(R 为 ABC 外接圆的半径 )，从而 sin A sin Csin B |BC| |AB|AC| 56. 三、解答题 10已知双曲线的中心在原点，焦点 F1， F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点 (4， 10) (1)求双曲线的方程； (2)若点 M(3， m)在双曲线上，求证：点 M 在以 F1F2为直径的圆上 解析 (1) 离心率 e 2， 双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为 x2 y2 ( 0) ，则由点 (4， 10)在双曲线上， 可得 42
6、 ( 10)2 6， 双曲线方程为 x2 y2 6. (2)证明： 点 M(3， m)在双曲线上， 32 m2 6， m2 3. 又双曲线 x2 y2 6 的焦点为 F1( 2 3， 0)， F2(2 3， 0)， MF1 MF2 ( 2 3 3， m)(2 3 3， m) ( 3)2 (2 3)2 m2 9 12 3 0， MF1 MF2， 点 M 在以 F1F2为直径的圆上 11设 A， B 分别为双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y 33 x 2 与双曲线的右支交于 M，
7、 N 两点，且在双曲线的右支上存 在点 D，使 OM ON tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标 解析 (1)由题意知 a 2 3， 一条渐近线为 y b2 3x， 即 bx 2 3y 0， |bc|b2 12 3. 又 c2 12 b2，即 b2(12 b2) 3b2 36， b2 3. 双曲线方程为 x212y23 1. (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， D(x0， y0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 x1 x2 tx0， y1 y2 ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x2 16 3x 84 0， 则 x1 x2 16 3， y1 y2 12. ? x
8、0y0 4 33 ，x2012y203 1， ? x0 4 3，y0 3.由 OM ON tOD ，得 (16 3， 12) (4 3t,3t)， t 4，点 D 的坐标为 (4 3， 3) 12已知双曲线 C： x2 y2 1 及直线 l： y kx 1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A， B 两点， O 是坐标原点，且 AOB 的面积为 2，求实数 k 的值 解析 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点，则方程组? x2 y2 1，y kx 1 有两个相异实根，整理得 (1 k2)x2 2kx 2 0. ? 1 k2
9、0 ， 4k2 k2 ， 解得 2k 2，且 k1. 故双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时，实数 k 的取值范围是 ( 2， 1) ( 1,1) (1， 2) (2)设交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l 与 y 轴交于点 D(0， 1) 由 (1)知， C 与 l 联立的方程为 (1 k2)x2 2kx 2 0. ? x1 x2 2k1 k2，x1x2 21 k2. S OAB 12|x1 x2| 2， (x1 x2)2 (2 2)2， 即 ? ? 2k1 k2 2 81 k2 8，解得 k 0 或 k 62 . 又 2k 2，且 k1. 当 k 0 或 k 62 时， AOB 的面积为 2.
