1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 44 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 解密考纲 直线与圆的位置关系、切线、弦长问题是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中出现 一、选择题 1若圆 x2 y2 16 和圆 (x a)2 y2 1 相切，则 a 的值为 ( C ) A 3 B 5 C 3 或 5 D 3 或 5 解析 两圆的圆心距 d |a|， 两个圆相切， |a| 3 或 |a| 5， a 3 或 5. 2圆 (x 2)2 y2 4 与圆 (x 2)2 (y 1)2 9 的位置关系为 ( B ) A内切 B相交 C外切 D相离 解析 两圆的圆心分别为 ( 2,0)， (
2、2,1)，半径分别为 r 2， R 3，两圆的圆心距为 2 2 2 17，则 R r0)上，且与直线 2x y 1 0 相切的面积最小的圆的方程为( A ) A (x 1)2 (y 2)2 5 B (x 2)2 (y 1)2 5 C (x 1)2 (y 2)2 25 D (x 2)2 (y 1)2 25 解析 设 此 圆 的 圆 心 坐 标 为 ? ?x0，2x0 (x00) ， 则 圆 的 半 径 r ?2x02x0 152 2x0 2x0 15 5，当且仅当 2x02x0，即 x0 1 时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心 坐标为 (1,2)，半径为 5，所以圆的方程为 (x 1)2 (y
3、 2)2 5.故选 A 5若直线 l： y kx 1 被圆 C： x2 y2 2x 3 0 截得的弦最短，则直线 l 的方程是( D ) A x 0 B y 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = C x y 1 0 D x y 1 0 解析 依题意，直线 l： y kx 1 过定点 P(0,1)圆 C： x2 y2 2x 3 0 化为标准方程为 (x 1)2 y2 4，故圆心为 C(1,0)，半径为 r 2.易知定点 P(0,1)在圆内，由圆的性质可知当 PC l 时，直线 l： y kx 1 被 圆 C： x2 y2 2x 3 0 截得的弦最短因为 kPC 1 00 1 1，所以直线 l 的
4、斜率 k 1，即直线 l 的方程是 x y 1 0. 6圆 C1： (x 2)2 (y 3)2 1，圆 C2： (x 3)2 (y 4)2 9， M， N 分别是圆 C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 |PM| |PN|的最小值为 ( A ) A 5 2 4 B 17 1 C 6 2 2 D 17 解析 设点 P 的坐标为 (x,0)，圆心 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1(2 ， 3)，则 |PC1| |PC2| |PC1| |PC2| C1 C2| 2 3 2 5 2.而 |PM| PC1| 1，|PN| PC2| 3， |PM| |PN| PC1| |PC2|
5、45 2 4. 二、填空题 7若直线 y kx 与圆 x2 y2 4x 3 0 相切，则 k 的值是 _ 33 _. 解析 因为直线 y kx 与圆 x2 y2 4x 3 0 相切，所以圆心 (2,0)到直 线的距离 d|2k|k2 1 r 1，解得 k 33 . 8在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y2 4x 0.若直线 y k(x 1)上存在一点 P，使过点 P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数 k 的取值范围是 2 2， 2 2 . 解析 圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 4.设两个切点分别为 A， B，则 PACB 为正方形，故 |PC| 2R 2 2，圆心到
6、直线 y k(x 1)的距离 d| PC| 2 2，即 |3k|k2 12 2，解得 2 2 k2 2. 9已知圆 C1： x2 y2 2mx 4y m2 5 0 与圆 C2： x2 y2 2x 2my m2 3 0，若圆C1与圆 C2相切，则实数 m _2 或 5 或 1_. 解析 圆 C1： (x m)2 (y 2)2 9，圆 C2： (x 1)2 (y m)2 4，则 C1(m， 2)， r1 3， C2( 1， m)， r2 2.圆 C1 与圆 C2 相切包括两种情况：两圆外切 与两圆内切 (1)当圆C1 与圆 C2 相外切时，有 |C1C2| r1 r2，即 m 2 m 2 5，整理
7、得 m2 3m 10 0，解得 m 5 或 m 2； (2)当圆 C1 与圆 C2 相内切时，有 |C1C2| r1 r2，即m 2 m 2 1，整理得 m2 3m 2 0，解得 m 1 或 m 2.综上所述，当 m 5 或 m 1 或 m 2 时，圆 C1与圆 C2相切 三、解答题 10已知圆 C： (x 1)2 (y 2)2 10，分别求满足下列条件的圆的切线方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)与直线 l1： x y 4 0 平行； (2)与直线 l2： x 2y 4 0 垂直； (3)过切点 A(4， 1) 解析 (1)设切线方程为 x y b 0(b 4)，则 |1 2 b|
8、2 10， b 12 5， 切线方程为 x y 12 5 0. (2)设切线方程为 2x y m 0，则 |2 2 m|5 10， m 5 2， 切线方程为 2x y5 2 0. (3) kAC 2 11 4 13， 过切点 A(4， 1)的切线斜率为 3， 过切点 A(4， 1)的切线方程为 y 1 3(x 4)， 即 3x y 11 0. 11已知一圆 C 的圆心为 (2， 1)，且该圆被直线 l： x y 1 0 截得的弦长为 2 2，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程 解析 设圆 C 的方程为 (x 2)2 (y 1)2 r2(r0) 圆心 (2， 1)到直线 x y 1 0 的距离
9、 d 2， r2 d2 ? ?2 22 2 4， 故圆 C 的方程为 (x 2)2 (y 1)2 4. 由? x y 1 0，x 2 y 2 4， 得弦的两端点坐标为 (2,1)和 (0， 1) 所以过弦的两端点的圆的切线方程为 y 1 和 x 0. 12已知圆 C： x2 y2 2x 4y 3 0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆 C 外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切 线，切点为 M， O 为坐标原点，且有 |PM|PO|，求使 |PM|取得最小值时点 P 的坐标 解析 (1) 切线在两坐标轴上的截距相等，当截距为 0 时，设 y
10、 kx，且圆 C： (x 1)2 (y 2)2 2， 圆心 C( 1,2)到切线的距离等于圆的半径 2， 即 | k 2|1 k2 2，得 k 2 6. 当截距不为 0 时，设切线方程为 x y a，即 | 1 2 a|2 2，得 a 3 或 a 1.故=【 ;精品教育资源文库 】 = 圆 的切线方程为 y (2 6)x 或 y (2 6)x 或 x y 1 0 或 x y 3 0. (2)由 |PO| |PM|，得 x21 y21 (x1 1)2 (y1 2)2 2，整理得 2x1 4y1 3 0，即点 P在直线 l： 2x 4y 3 0 上， 当 |PM|取最小值时， |PO|取最小值， 直线 PO l， 直线 PO 的方程为 2x y 0. 解方程组? 2x y 0，2x 4y 3 0， 得点 P 的坐标为 ? ? 310， 35 .
