1、第八节函数与方程,总纲目录,教材研读,1.函数零点的定义,考点突破,2.函数零点的判定(零点存在性定理),3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,考点二判断函数零点的个数,考点一函数零点所在区间的判断,考点三已知函数的零点(方程的根)求参数值(取值 范围),1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0有实根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.,教材研读,2.函数零点的判定(零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f
2、(b)0)的图象与零点的关系,4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间a,b,验证?f(a)f(b)0,给定精确度.第二步,求区间(a,b)的中点x1.第三步,计算?f(x1):(i)若?f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(ii)若?f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1);(iii)若?f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b).第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|0;f(2)=5, f(1)=2,f(2)f(1)0;f(-2)=-?, f(-1)=-?,f(-2)f(-1)0;f(0)=1, f(-1)=-?,f(0)f(-1
3、)0,易知-1,0符合条件,故选D.,4.函数f(x)=ex+3x的零点个数是?()A.0B.1C.2D.3,B,答案B函数f(x)=ex+3x在R上是增函数,f(-1)=?-30,f(-1)f(0)0,函数f(x)有唯一零点,且在(-1,0)内,故选B.,5.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是?()A.0,2B.0,?C.0,-?D.2,-,答案C由题意知2a+b=0,则b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0,得x=0或x=?=-?,所以g(x)的零点为0,-?.,C,6.函数y=?-m有两个零点,则m的取值范围是.,(0,1),答案(0,1),
4、解析在同一直角坐标系内,画出y1=?和y2=m的图象,如图所示,由于原函数有两个零点,故0m1.,典例1(1)函数f(x)=?+ln?的零点所在的区间大致为()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(1,2)与(2,3)(2)若ab0,故函数在(1,2)上没有零点. f(2)=?-ln 1=10, f(3)=?-ln 2=?=?,因为?=2?2.828,所以?e,故ln e0, f(b)0,又函数f(x)是二次函数,且图象开口向上,故两个零点分别在(a,b)和(b,c)内,故选A.,方法技巧判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程看方程是否有根
5、落在给定区间上进行判断;(2)利用零点存在性定理进行判断;(3)画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断.,1-1设f(x)=0.8x-1,g(x)=ln x,则函数h(x)=f(x)-g(x)存在的零点一定位于区间?()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3),答案Ah(x)=f(x)-g(x)的零点等价于方程f(x)-g(x)=0的根,即函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点的横坐标.两函数的大致图象如图,从图象可知它们仅有一个交点A,横坐标的范围是(0,1),故选A.,A,1-2已知函数f(x)=ln x-?的零点为x0,则x0所在的区间是?()A.
6、(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4),答案C因为f(x)=ln x-?在(0,+)是增函数, f(1)=ln 1-?=ln 1-20,所以x0(2,3),故选C.,C,典例2(1)函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为?()A.0B.1C.2D.3(2)若a满足x+lg x=4,b满足x+10x=4,函数f(x)=?则关于x的方程f(x)=x的解的个数是?()A.1B.2C.3D.4,考点二判断函数零点的个数,答案(1)C(2)C,解析(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+).在同一直角坐标系中画出函数y1=|x-2|(x0),y2=ln x(x0)的图
7、象,如图所示:?由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(2)由已知,得lg x=4-x,10x=4-x.在同一直角坐标系中作出y=10x,y=lg x以及y=4-x的图象,其中y=10x,y=lg x的图象关于直线y=x对称,直线y=x与y=4-x,的交点为(2,2),所以a+b=4,所以f(x)=?当x0时,由x2+4x+2=x,得x=-1或x=-2;当x0时,x=2,所以方程f(x)=x的解的个数是3.,规律总结函数零点个数的判断方法(1)直接求零点;(2)零点存在性定理;(3)利用图象交点的个数.特别地,若已知f(x)有几个零点,则用数形结合法,转化为两个熟悉的函数图象有几个交点
8、问题,数形结合求解.,2-1函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为?()A.1B.2C.3D.4,答案B易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数?方程|log0.5x|=?=?的根的个数?函数y1=|log0.5x|与y2=?的图象的交点个数.作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.,B,2-2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x0,1时, f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是?()A.多于4B.4C.3D.2,答案B由题意知, f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y=f(x)
9、及y=log3|x|的大致图象,如图.?观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.,B,典例3(1)(2017课标全国,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=?()A.-?B.?C.?D.1(2)(2017云南昆明质量检测)已知关于x的方程?=a|x|有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是?()A.(-,0)B.(0,1)C.(1,+)D.(0,+),考点三已知函数的零点(方程的根)求参数值(取值范围),答案(1)C(2)C,解得a=1,所以实数a的取值范围是(1,+),故选C.,规律总结已知函数的零点或方程
10、根的情况求参数问题的常用方法(1)直接法:直接根据题设条件构造关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.,同类练(1)(2017甘肃兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点,则实数的值是?()A.?B.?C.-?D.-?(2)已知函数f(x)=?若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.,答案(1)C(2)(0,1),解析(1)令y=f(2x2+1)+f(-x)=0,则f(2x2+1)=-f(-x)=f(x-),因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-只有一个根,即2x2-x+1+=0只有一个根,则=1-8(1+)=0,解得=-?.故选C.(2)函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的图象有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线顶点为(-1,
