1、法截线与大地线（法截线与大地线（3）测绘学院一系大地测量教研室测绘学院一系大地测量教研室（FOUNDATION OF GEODESY）2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径3、子午线弧长和平行圈弧长4、梯形图幅面积内容回顾 MRN关系：MNRNRMMANARA22cossin1 aNW221aeRW23(1)aeMW3cMV2cRVcNV2221 coscosANReAB内容回顾 AaKNO1Q1B aAKN2122cossinaaQ KNeOQNeBOKNeB211AQNe内容回顾 法截线和大地线法截线和大地线Normal Section Line and Geodesic1、任意方向法截
2、线曲率半径2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径3、子午线弧长和平行圈弧长4、梯形图幅面积5、相对法截线6、大地线7、椭球面三角形的解算 相对法截线的形成 5、相对法截线Reciprocal Normal Sections什么时候重合？BAaKbKNbaO1Q2Q2B1B211221222211sinsin1sincscaOKN eBaeBaeeBeB当A、B两点在同一子午圈（经度相等）或同一平行圈（纬度相等）上时相对法截线重合。OK是纬度B的增函数正法截线：包含A点的法线与照准点B的法截面与椭球面的交线称为A点的正法截线。反法截线：包含照准点B的法线与A点的法截面与椭球面的交线称为A点的反
3、法截线。5、相对法截线Reciprocal Normal Sections 相对法截线的形成 相对法截线的位置 规律：纬度高的点对纬度低的点法截线偏上；纬度低的点对纬度高的法截线偏下5、相对法截线Reciprocal Normal SectionsBAaKbKNbaO1Q2Q2B1B21baBBOKOK018090270A1B2B3B4B 相对法截线的位置 LCLBLA,BBBCBA.5、相对法截线Reciprocal Normal Sections影响：相对法截线造成了几何图形的破裂。ABC 相对法截线的夹角 【定义】设正法截线AaB的方位角A1，反法截线AbB的方位角A1，相对法截线的夹角
4、A=A1-A11111212122cossin2tNSAANSA221121sin24SAAN【量级】若B10，A1=45，A有最大值：S=25km A 0.004S=50km A 0.021S=100km A 0.9855、相对法截线Reciprocal Normal Sections5、相对法截线Reciprocal Normal SectionsABC无法依据这种破裂的图形进行计算；两点之间的法截线不唯一；法截线也不是椭球面上两点的最短线。主法线：法平面与密切面的交线6、大地线 Geodesic密切面：过曲线上三点M，N，P作一平面，当N,P-M时，平面的极限位置切线：过曲线上两点N，M
5、的直线NM，当N-M时，直线NM的极限位置法平面：与切线垂直的平面 大地线的定义关于空间曲线几个概念 MNP切线主法线密切面法平面副法线 大地线(测地线)的定义几个概念 曲面法线：过曲面上一点垂直于过该点切平面的直线POBKOT测地曲率：过曲线上任一点作曲面的切平面，此切平面上该曲线的正投影在这一点的曲率 大地线(测地线)的定义 定义3：大地线是一曲面曲线，在该曲线上各点的相邻两弧素，位于该点的同一法截面中，或者说大地线上每点的密切面都包含该点的曲面法线。定义2：大地线是一曲面曲线，在该曲线上任一点的曲线主法线与该点的曲面法线重合6、大地线 Geodesic定义1：测地曲率处处为零的曲线 大地
6、线(测地线)的定义 6、大地线 Geodesic 大地线的性质 平面上两点的最短线：直线 方向不变；不弯曲；两点之间的最短距离 球面上两点的最短线：大圆弧 椭球面上两点的最短线：大地线方向不变：每一点的主法线与曲面的法方向平行，也即测地线相对于曲面保持方向不变不弯曲：测地曲率处处为零性质1：大地线是椭球面上两点间的最短线 大地线的性质 性质2：大地线是无数法截线弧素的连线椭球面上的法截线中只有子午圈和赤道是大地线6、大地线 Geodesic大地线通过沿线各点的所有法截面 大地线的性质 性质3：椭球面上的大地线是双重弯曲的空间曲线横向弯曲（曲率）：椭球面的弯曲产生。纵向弯曲（挠率）：法线不相交，
7、法截面不重合产生在一非常光滑的椭球面上，两点间绷一橡皮筋，那么这条绷紧的橡皮筋，就是两点间的大地线MNP切线主法线密切面法平面副法线 大地线的性质 通常情况下，大地线靠近正法截线它分相对法截线的夹角约为二比一，即u:v=2:1在子午圈和赤道上，大地线和相对法截线重合在平行圈上相对法截线虽然合而为一，但大地线、法截线和平行圈三者都不重合。在北半球，大地线在上，法截线居中，平行圈在下性质4：大地线位于相对法截线之间 大地线微分方程：大地线长度与大地经纬度、大地方位角间的微分关系式AdSMdBcosAdSrdLsinBNrcosBdSNAdLdSMAdBsecsincos适用于椭球面上的任意曲线6、
8、大地线 GeodesicMdBrdLP1PPOGPKcosrNB90BZdSAdLNLcossinsecAddSRAddSRAdA 大地线微分方程PTBdLNPTrdLdAcoscotPTNBBdLdAsinsintanAdABdSN大地线专有微分方程6、大地线 GeodesicMdBrdLP1PPTOGPKcosrNB90BZdSAAdAdAdLNL2PsintanAdAdSR 大地线微分方程cossinsecsintanAdBdSMAdLBdSNAdABdSNcossinsecsintanSBAMSLABNSAABN 6、大地线 GeodesiccossinsecsintanAdBdSRA
9、dLBdSRAdABdSR 大地线微分方程222121122212112221211221802dBd BSBBSdSdSdLd LSLLSdSdSdAd ASAASdSdS作用：椭球面上大地坐标计算的基础6、大地线 Geodesic 22sin AtgBNABSSd AddSdSAB勒让德级数，适用于短距离计算ABCabc椭球面三角形的正弦定理sinsinsinsinsinsinabcRRRAABBCC1sin241sin241sin24ABCAbcA KKBacB KKCabC KK2222111,113ABCABCABCKKKRRRKKKKRKA，KB，KC分别为各顶点的高斯曲率，K为平
10、均高斯曲率，R为三顶点平均纬度处的平均曲率半径。7、椭球面三角形的解算Solution of Spheroidal TriangleBACabcABCabc椭球面三角形当球面三角形解算的条件1）、精度要求为角度误差小于0.001，边长误差小于1mm；2）、三角形各边长小于200km；3）、球的半径取三顶点平均纬度处的平均曲率半径;4）、如果边长为200400km，应将椭球面三角形的各角加上椭球面改正数，化为球面三角形。B1C1A1acbB0A0C0abc按勒让德定理解算球面三角形勒让德定理：若一平面三角形和一球面三角形边长对应相等，则平面三角形之各内角等于对应球面角减去三分之一球面角超。101
11、010333AABBCC0002111ABC-180 111sinsinsin222RbcAacBabC 020022sin2sinsin ARCBaR地面边角观测元素归算至椭球面地面边角观测元素归算至椭球面 Reduction about Elements of Terrestrial Side-Angle Measurement to Ellipsoid 1、归算的意义和要求2、水平观测方向归算到椭球面3、观测天顶距的归算4、地面观测长度归算至椭球面 5、垂线偏差公式6、天文方位角归算1、归算的意义和要求Significances and Conditions of Reduction地面
12、点位置拱极星恒星位置（二维）赤道坐标天文坐标（铅垂线）天赤道天极大地坐标（法线）控制网地面观测归算与坐标计算归算卫星的位置空间大地测量地面观测元素天文方位角距离方向高斯平面上的元素坐标方位角距离方向大地坐标（L，B）平面坐标（x，y）归算归算平差平差椭球面上的元素大地方位角距离方向00(,)L B11(,)L B 归算的意义1、归算的意义和要求Significances and Conditions of Reduction 归算的要求 以椭球面法线为基准线1、归算的意义和要求Significances and Conditions of Reduction垂线偏差u 地面点沿法线投影到椭球面
13、 椭球面两点连线用大地线 归算的方法归算方法：对地面观测元素加入适当改正数，使之转化为椭球面上相应的元素1、归算的意义和要求Significances and Conditions of Reduction精度要求：不损害野外观测的精度 归算的内容 水平观测方向 观测天顶距归算 地面长度归算 天文方位角归算1、归算的意义和要求Significances and Conditions of Reduction1）天文大地垂线偏差：在地面上一点的重力方向和参考椭球面法线方向之差，也称相对垂线偏差；垂线偏差（deflection of the vertical）：一点的铅垂线方向与相应的椭球面法线方
14、向之间的夹角。通常按子午方向和卯酉方向分解为、2）绝对垂线偏差：在地面上一点的重力方向和正常椭球面法线方向之差；1、归算的意义和要求Significances and Conditions of Reduction3）地面垂线偏差：在地面上一点的重力方向和正常重力方向之差；4）重力垂线偏差：在大地水准面上一点的重力方向和正常椭球面法线方向之差；1、归算的意义和要求Significances and Conditions of Reductiong0nP地面参考椭球面正常椭球面天文大地垂线偏差绝对垂线偏差地面垂线偏差P0.171sin2HB当H1km，B45时，0.171内容小节 Exercise1、
