1、小升初在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。要计算两个集合中元素的总数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求（意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去重复的元素个数，即减去“共有”（意思是“排除” 了重复计算的元素个数）。即：图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，即阴影面积。1、先包含重叠部分计算了
2、2次，多加了1次；2、再排除把多加了1次的重叠部分减去。【例1】把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长厘米，焊接后这根铁条有多长？【难度】【答案】87【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由容斥原理“”知，焊接后这根铁条长厘米。【例2】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【难度】【答案】42【解析】根据容斥原理“”得：（人）。【例3】五年级二班共有学生40人，参加语文兴趣小组的有人，参加数学兴趣小组的有人，这个班有多少人同时参加了语文和数学兴趣小组？【难度】【答案】17【解析】根据容斥原理“”得：
3、40=28+29-语数共有语数共有=28+29-40=17人要计算三个集合中元素的总数，可分以下三步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求（意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去重复的元素个数，即减去“”（意思是“排除” 了重复计算的元素个数）；第三步：上面的差加上共有的元素个数（意思是把第二步作差中减掉的共有元素重新包含进来）即：图示如下：图中小圆表示的元素的个数，中圆表示的元素的个数，大圆表示的元素的个数。1. 先包含“”重叠了次，多加了次。2. 再排除重叠部分“共有”重叠了次，但是在进行“”计算时都被减掉了。3. 再包含【例4】某班学生手
4、中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有人，手中有黄旗的共有人，手中有蓝旗的共有人。其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人，而手中只有红、黄两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，那么这个班共有多少人？【难度】【答案】68【解析】34+26+18-9-4-3+6=68（人）【例5】某班有人，其中人爱打篮球，人爱打排球，人爱踢足球，人既爱打篮球又爱踢足球，人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【难度】【答案】7【解析】26+17+19-9-4-篮排共有=42篮排共有=26+17+1
5、9-9-4-42=7（人）【例6】五年级班有名学生参加三项课外活动，其中人参加了绘画小组，人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的倍，又是三项活动都参加人数的倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有人，求参加朗诵小组的人数。【难度】【答案】21【解析】三项都参加的人数为，参加朗诵小组的为，既参加绘画小组又参加朗诵小组的人数为，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数也为。根据公式“”列出方程，解得，所以参加朗诵小组的人数为人。利用容斥原理，如何求前个自然数中能被或整除的数。前个自然数如图所示，圆内是前个自然数中所
6、有能被整除的数，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，为前个自然数中既能被整除也能被整除的数。前个自然数中所有能被整除的数有：(个) （除不尽则去尾法保留整数）前个自然数中所有能被整除的数有：(个) （除不尽则去尾法保留整数）前个自然数中既能被整除又能被整除的数有：(个) （除不尽则去尾法保留整数，表示和的最小公倍数）所以中有个数，中有个数，中有个数。因为，都包含，根据容斥原理得到，前个自然数中能被或整除的数有：(个)。【例7】在前个非零自然数中，能被或整除的数有多少个？【难度】【答案】67【解析】如图所示，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，为前个自然数中既
7、能被整除也能被整除的数。前个自然数中能被整除的数有：(个)。由知，前个自然数中能被整除的数有：个。由知，前个自然数中既能被整除也能被整除的数有个。所以中有个数，中有个数，中有个数。因为，都包含，根据容斥原理得到，能被或整除的数有：(个)。【例8】在到所有自然数中，既不是的倍数又不是和的倍数的数有多少个？【难度】【答案】535【解析】，的倍数的个数为； ，的倍数的个数为；，的倍数的个数为；，同时是和的倍数，即是的倍数的个数为；，同时是和的倍数，即是的倍数的个数为；，同时是和的倍数，即是的倍数的个数为，同时是、的倍数，即是的倍数的个数为不是、的倍数的个数为【例9】50名同学面向老师站成一行，老师先
8、让大家从左至右按1，2，3，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名?【难度】【答案】38【解析】504=122，50以内4的倍数有12个；506=82，6的倍数有8个；5012=42，4和6公倍数有4个；转过的同学：12+8-4=16（名）没有转过的同学：50-16=34（名）；转两次的同学：4名没有转过和转两次的同学面向老师：34+4=38（人）【例10】有一根长厘米的绳子，从左端开始每隔厘米做一个记号，每隔厘米也做一个记号，然后将标有记号的地方剪断，问绳子共被剪成多少段？【难度】【答案】90【解析】每隔厘米做
9、一个记号，记号有（个），每隔厘米做一个记号，记号有（个），因为，所以其中重合的记号有（个），绳子上记号共有（个），绳子被剪成（段）。【例11】有种食品，其中含钙的有种，含铁的有种，那么同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少？【难度】【答案】43；11【解析】最大值就是含铁的种数种，最小值种。【例12】某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【难度】【答案】4【解析】不会游泳的有4827=21不会骑自行车的有4833=15不会打乒乓球的有4840=8所以不是三样都会的人最多有21158=44人因此三样都会的人最少
10、有4844=4人【习题1】全班同学参加采摘活动，采了桃子的有人，采了苹果的有25人，既采了桃子又采了苹果的有人，问：全班共有多少人？【难度】【答案】36【解析】根据容斥原理，全班总人数为：18+25-7=36（人）【习题2】学校组织棋类比赛，参加围棋比赛的有人，参加中国象棋比赛的有人，参加国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有人，其中三种棋赛都参加的有人，问参加棋类比赛的共有多少人？【难度】【答案】98【解析】根据容斥原理，参加棋类比赛的总人数为：（人）。【习题3】某班学生总数为人，在第一次考试中有人及格
11、，在第二次考试中有人及格，若两次考试中，都没有及格的有人，那么两次考试都及格的人数是多少？【难度】【答案】22【解析】至少及格一次的人有：（人），根据容斥原理，两次考试都及格的人数是人。【习题4】有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有人懂英语，人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 【难度】【答案】68【解析】在人中懂英语或俄语的有：（人）由容斥原理，得：（人）【习题5】在至的自然数中，不能被整除，又不能被整除，还不能被整除的数有多少个？【难度】【答案】26【解析】根据容斥原理，在至的自然数中，能被整除，或能被整除，或能被整除的自然数的个数。所以，在至的自然数中，不能被整除，又不能被整除
12、，还不能被整除的数有（个）【习题6】在游艺会上，有名同学抽到了标签分别为至的奖券。按奖券标签号发放奖品的规则如下：标签号为的倍数，奖支铅笔；标签号为的倍数，奖支铅笔；标签号即是的倍数又是的倍数可以重复领奖；其他标签号均奖支铅笔。那么游艺会为该活动准备的奖品铅笔共有多少支？【难度】【答案】232【解析】根据容斥原理，；中的倍数有个，的倍数有个，的倍数有个，既不是的倍数又不是的倍数有个；游艺会为该活动准备的奖品数为支。【习题7】甲、乙、丙读同一本故事书，书中有100个故事。每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读。已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。那么甲、乙、丙3人共同读过的
13、故事最少有多少个?【难度】【答案】12【解析】甲乙共同读过的，最少有75+60-100=35本乙丙共同读过的，最少有60+52-100=12本甲丙共同读过的，最少有75+52-100=27本那么甲乙丙共同读过的，最少就是12本【习题8】有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？【难度】【答案】1002【解析】20002=1000，2的倍数有1000个；20003=6662，3的倍数有666个；20005=400，5的倍数为
14、400个；20006=333个2，2、3的公倍数有333个；200010=200，2、5的公倍数有200个；200015=1335，3、5的公倍数有133个；200030=662，2、3、5的公倍数有66个；所有灯被拉的次数分别为1、2、3次，其中拉一次的和拉三次的最后是灭的，而只拉1次的和拉3次的灯的编号情况是：只是2的倍数：1000-333-200+66只是3的倍数：666-333-133+66只是5的倍数：400-200-133+662、3、5的公倍数，共66盏则灭掉的灯的总数为：（1000-333-200+66）+（666-333-133+66）+（400-200-133+66）+66
15、=998则最后亮着的灯的总盏数为：2000-998=1002【作业1】某次考试，通过语文考试的有53人，通过数学考试的有41人，语文考试和数学考试都通过的有24人，共有多少人通过考试？【难度】【答案】70【解析】根据容斥原理，（人）【作业2】一栋居民楼里的住户每户都订了2份不同的报纸。如果该居民楼的住户只订了甲、乙、丙三种报纸，其中甲报30份，乙报34份，丙报40份，那么既订乙报又订丙报的有_户。【难度】【答案】22【解析】，【作业3】某班共有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，有人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【难度】【答案】16【解析】根据容斥
16、原理，（人）【作业4】在1这100个自然数中，能被或整除的数有多少个？【难度】【答案】67【解析】如图所示，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，圆内是前个自然数中所有能被整除的数，为前个自然数中既能被整除也能被整除的数。前个自然数中能被整除的数有：(个)。由知，前个自然数中能被整除的数有：个。由知，前个自然数中既能被也能被整除的数有个。所以中有个数，中有个数，中有个数。因为，都包含，根据包含排除法得到，能被或整除的数有：(个)。【作业5】五（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有多少人？【难度】【答案】12【解析】（人）【作业6】从
17、到的正整数中，至少能被、之一整除的数有多少个？【难度】【答案】542857【解析】能被整除的数有333333个能被整除的数有200000个能被整除的数有142857个同时能被、整除的数有66666个同时能被、整除的数有28571个同时能被、整除的数有47619个同时能被、整除的数有9523个至少能被、之一整除的数有个【作业7】甲、乙、丙同时给盆花浇水。已知甲浇了盆，乙浇了盆，丙浇了，那么人都浇过的花最少有多少盆？【难度】【答案】4【解析】甲乙丙一共浇花次 若要三人都浇的花尽可能的少，那么每盆花浇次 三人都浇的花至少有盆【作业8】在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成10等份；第二
18、种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成_段【难度】【答案】28【解析】10，12，15的最小公倍数是60，设木棍60厘米，6010=6（厘米），6012=5（厘米），6015=4（厘米），10等分的为第一种刻度线，共101=9（条），12等分的为第二种刻度线，共121=11（条），15等分的为第三种刻度线，过151=14（条），第一种与第二种刻度线重合的条数：6和5的最小公倍数是30，60301=21=1（条），第一种与第三种刻度线重合的条数：6和4的最小公倍数是12，60121=51=4（条），第二种与第三种刻度线重合的条数：5和4的最小公倍数是20，60201=31=2（条），三种刻度线重合的没有，6、5和4的最小公倍数是60，因此，共有刻度线9+11+14142=27（条），木棍总共被锯成27+1=28（段） 17 / 17
