1、正弦交流正弦交流电路电路 正弦交流电路是指含有正弦电源而且电路各部正弦交流电路是指含有正弦电源而且电路各部分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。分所产生的电压和电流均按正弦规律变化的电路。因为交流电可以利用因为交流电可以利用变压器变压器方便地改变电压、便于输方便地改变电压、便于输送、分配和使用。所以，在生产和生活中普遍应用正弦交流送、分配和使用。所以，在生产和生活中普遍应用正弦交流电。电。本章着重讨论和分析交流电路的基本概念、基本章着重讨论和分析交流电路的基本概念、基本规律和基本分析方法。本规律和基本分析方法。2.1 正弦量的正弦量的 三要素三要素 随时间按正弦规律变化的交流电压、电流称
2、为随时间按正弦规律变化的交流电压、电流称为正弦电压、电流。正弦电压、电流。正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。Riab)sin(mitIi 规定电流参考方向如图规定电流参考方向如图i t0i 正半周：正半周：电流实际方向与参考方向相同电流实际方向与参考方向相同负半周：负半周：电流实际方向与参考方向相反电流实际方向与参考方向相反+振幅振幅角频率角频率初相角初相角描述正弦量变化快慢的参数：描述正弦量变化快慢的参数：周期周期(T):变化一个循环所需要变化一个循环所需要 的时间，的时间，频率频率(f):单位时间内的周期数单位时间内的周期数 。角频率角频率():每秒钟
3、变化的弧度数，每秒钟变化的弧度数，。三者间的关系示为：三者间的关系示为：=2 /T=2 f f=1/TT t2 t i0T/2 我国和大多数国家采用我国和大多数国家采用作为电力工业标准作为电力工业标准频率频率()，少数国家采用，少数国家采用60Hz。正弦量任意瞬间的值正弦量任意瞬间的值 称为瞬时值，用小字母表示称为瞬时值，用小字母表示:i、u、e正弦量在一个周期内的正弦量在一个周期内的最大值，用带有下标最大值，用带有下标m的大写字母表示的大写字母表示:Im、Um、Em 一个交流电流的做功能力相当于某一数值的一个交流电流的做功能力相当于某一数值的直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交直流
4、电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交流电流的流电流的。用大写字母表示：。用大写字母表示：I、U、E 描述正弦量数值大小的参数：描述正弦量数值大小的参数：t i0振幅振幅 Im同一时间同一时间T内消耗的内消耗的能量能量 Tpdt0=RdtiT 02 T02dtiR=PT=RTI2即即：dtiRRTIT2 02则有则有：TdtiTI021 有效值与幅值的关系推导如下：有效值与幅值的关系推导如下：以电流为例：设同一个负载电阻以电流为例：设同一个负载电阻R，分别通入，分别通入周期电流周期电流 i 和直流电流和直流电流 I。RiRI设设代入代入整理得整理得：m0.707II 或或II2m 同理：同
5、理：m707.0UU m707.0EE 熟记：熟记：mm707.02EEE 可见可见,周期电流周期电流等于它的瞬时值的平方等于它的瞬时值的平方在一个周期内的积分取平均值后再开平方，因此在一个周期内的积分取平均值后再开平方，因此有效值又称为有效值又称为。tIisinm mm707.02III mm707.02UUU TdtiTI021i t0)sin(imtIi ：正弦量：正弦量：i 称为正弦量的称为正弦量的相位角相位角或或相位。相位。它表明了正弦量的进程。它表明了正弦量的进程。)(it t=0 时的相位角时的相位角 称为称为i（用（用 的角度表示）的角度表示）0180 同频率正弦量的相位同频率
6、正弦量的相位 角之差或是初相角之角之差或是初相角之 差，称为相位差，用差，称为相位差，用 表示表示。若所取计时时刻（时间零点的选择）不同，则若所取计时时刻（时间零点的选择）不同，则正弦量正弦量。0 tiuiu 同频率正弦量的相位同频率正弦量的相位 角之差或是初相角之角之差或是初相角之 差，称为相位差，用差，称为相位差，用 表示表示。设正弦量：设正弦量：)sin(mitIi )sin(mutUu i ui和和u的相位差为：的相位差为：uiuitt )()(如果如果：称称I u 角。角。0 ui 如果如果：称称i u 角角(如图示）如图示）。0 ui 0 tiuiu如果如果:其特点是：当一正弦量的
7、其特点是：当一正弦量的值达到最大时，另一正弦值达到最大时，另一正弦量的值刚好是零。量的值刚好是零。0 tiuiu0 0 u ui i 称称i与与u同相位同相位,简简称称。如果如果:0 09090 u ui i 称称i与与u。0 tiuiu如果如果:o180 ui 称称i与与u。同相同相正交正交反相反相 当两个同频率的正弦量计当两个同频率的正弦量计时起点改变时，它们的时起点改变时，它们的初相位初相位角改变，但相位差不变角改变，但相位差不变。注意注意2.2 正弦量的正弦量的相量表示法相量表示法 )sin(1m11 tIi0 tiui1 i2)sin(2m22 tIi求和：求和：)sin()sin(
8、)sin(m2m21m121 tItItIiii求和：求和：21iii 计算过程计算过程复杂复杂为简化计算采用一种新的为简化计算采用一种新的表示方法：表示方法：一、复数及其表示一、复数及其表示设设A为复数为复数则则：A=a+jb（代数式代数式）其中：其中：a 称为复数称为复数A的的实部，实部，b 称为复数称为复数A的的虚部。虚部。为为虚数单位虚数单位1j 在复平面上可以用一向量在复平面上可以用一向量表示复数表示复数A，如右图：，如右图：cosAa sinAb 22baA ab tanaAb0+1+jA模模幅角幅角复数的几种形式：复数的几种形式：jeAA sinjcosAAA （指数式指数式）（
9、三角式三角式）（极坐标式极坐标式）二、复数运算（二、复数运算（熟记公式熟记公式）111jbaA 222jbaA 加减运算：加减运算：设设则则 212121jbbaaAA 乘法运算：乘法运算：设设则则除法运算：除法运算：A=a+jb（代数式代数式）则则222 AA AA 111 AA 212121 AAAA212121 AAAA三、旋转因子三、旋转因子（模为（模为1，辐角为，辐角为 的复数）的复数）一个复数一个复数乘以乘以 je等于把其等于把其逆时针逆时针旋转旋转 角。角。j2j e 相当于把相当于把A逆时针逆时针旋转旋转90度度A j+j+1AAj 称为称为j j正弦量具有正弦量具有幅值幅值、
10、频率频率和和初相位初相位三个要素，三个要素，但在线性电路中各部分电压和电流都是与电源但在线性电路中各部分电压和电流都是与电源同频同频率率的正弦量，计算过程中可以不考虑频率。的正弦量，计算过程中可以不考虑频率。1j e)sin()sin()sin(m2m21m121 tItItIiii 故计算过程中一个正弦量可用故计算过程中一个正弦量可用和和两个两个特征量来确定。特征量来确定。如：如：一个复数由一个复数由模模和和幅角幅角两个特征量确定。两个特征量确定。一个正弦量具有一个正弦量具有幅值幅值、频率频率和和初相位初相位三个要素。三个要素。在分析计算线性电路时，电路中各部分电压在分析计算线性电路时，电路
11、中各部分电压和电流都是与电源和电流都是与电源同频率同频率的正弦量，因此，频率的正弦量，因此，频率是已知的，计算时可不必考虑。是已知的，计算时可不必考虑。角频率角频率不变不变 tIisinm设有正弦电流设有正弦电流复数复数)sin(j)cos(eemmjjm tItIIt比较得：比较得：tIisinm tI jjmeeIm tIisinm比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。Ijme tIisinm（最大值相量）（最大值相量）（有效值相量）（有效值相量）A)45sin(2100 ti II mmII A45100 I 相量和复数一样，可以在复平面上用矢量
12、来表示，表示相量和复数一样，可以在复平面上用矢量来表示，表示相量的图称为相量的图称为相量图相量图。1j0例例2.1A)30sin(2200 tiV)60sin(2100 tu画出相量图。画出相量图。解：解：UI030060相量图相量图只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相量图上的正弦量才能画在同一相量图上 注意注意正弦量与相量是正弦量与相量是对应对应关系，而不是相等关系。关系，而不是相等关系。V)60sin(2100 tu但但A30200 IV60100 UV60100 U006010)60sin(210 tu 例例2.2A)30314sin(7.7001 tiA)60314sin(600
13、2 ti求：求：解解（1）21iii A)30314sin(7.7001 tiA)60314sin(6002 ti用相量表示用相量表示（2）用相量进行计算用相量进行计算（3）把相量再表示为正弦量把相量再表示为正弦量A)37.10314sin(25.650 ti8.11j5.64 013027.70 I0260260 IA37.105.650 037.105.65 I0021602603027.70 III 注意：注意：1.只有对只有对同频率同频率的正弦周期量，才能应用对应的正弦周期量，才能应用对应 的相量来进行代数运算。的相量来进行代数运算。2.只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相量图上
14、。的正弦量才能画在同一相量图上。3.正弦量与相量正弦量与相量是对应关系是对应关系，而，而不是相等不是相等关系关系（正弦交流电是时间的函数）。（正弦交流电是时间的函数）。4.可推广到多个同频率的正弦量运算。可推广到多个同频率的正弦量运算。0000 UuIi基尔霍夫基尔霍夫定律的相定律的相量形式量形式2.3 电阻、电感、电阻、电感、电容元件的电压电容元件的电压电流关系电流关系1.电压电流的电压电流的关系关系设：设：tIi sinm tUtRIRiu sinsinmm 则则mmRIU 或或RIUIU mm 设在电阻元件的交流电路中设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。，电压、电流参考方
15、向如图示。电阻的电压电阻的电压与电流瞬时值与电流瞬时值、有效值、最、有效值、最大值都满足欧大值都满足欧姆定律。姆定律。瞬时值瞬时值最大值、有效值最大值、有效值2.电压电流的电压电流的关系关系u、i 同相同相uiu t0i3.电压电流的电压电流的关系关系RIU mm IU +uRi+RUI相量图相量图0mm0II 0mm0UU 设：设：tIi sinm 则则 设在电感元件的交流电路中设在电感元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。，电压、电流参考方向如图示。电感的电压与电感的电压与电流有效值、最电流有效值、最大值满足欧姆定大值满足欧姆定律形式。律形式。瞬时值瞬时值最大值、有效值最大值、有效值
16、1.电压电流的电压电流的关系关系+uiLtiLudd)90sin(cosmm tUtILu LmmmXILIU 感抗感抗()LXL LIXLIU 当当 L一定时一定时,线圈的感抗与频率线圈的感抗与频率f 成正比。频率越高，感成正比。频率越高，感抗越大，在直流电路中感抗为零，可视为短路。抗越大，在直流电路中感抗为零，可视为短路。2.电压电流的电压电流的关系关系tIi sinm)90sin(cosmm tUtILu u 超前超前i 2 ue 0 tiuiu2 +uiLe2 ie滞滞后后eU IE 相量图相量图3.电压电流的电压电流的关系关系LXIUj +LUIE0mm0II 0mm90UU LXI
17、UIUIUj900900mm0m0mmm 设：设：则则 设在电容元件的交流电路中设在电容元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。，电压、电流参考方向如图示。电容的电压与电容的电压与电流有效值、电流有效值、最大值满足欧最大值满足欧姆定律形式。姆定律形式。瞬时值瞬时值最大值、有效值最大值、有效值1.电压电流的电压电流的关系关系 当当 C一定时一定时,电容的容抗与频率电容的容抗与频率f 成反比。频率越高，成反比。频率越高，感抗越小，在直流电路中容抗为无限大，可视为开路。感抗越小，在直流电路中容抗为无限大，可视为开路。iC utuCidd tUusinm)90sin(cosmm tItUCiCXI
18、CIUmmm1 容抗容抗()CX 1C 2.电压电流的电压电流的关系关系i 超前超前u2 U I相量图相量图3.电压电流的电压电流的关系关系tUusinm)90sin(m tIiiC u0 tiu2 iuCj XIU UIC 0mm0UU 0mm90II CXIUIUj9000m0mmm 2.4 电阻、电感、电阻、电感、电容元件的串联电容元件的串联电路电路电压电流参考方向如图所示。电压电流参考方向如图所示。+L+uCRiuLuCuR+tIi sinm)90sin(m tUuLLtUuRRsinm)90sin(m tUuCC根据根据KVL可列出可列出CLRuuuu 相量模型相量模型URULUCU
19、I+jXCRjXLCLRUUUU IXIXIRCLjj IXXRCL)(j I UUR ULUc相量图相量图22)(CLRUUUU UL-Uc UUR 电压三角形URULUCUI+jXCRjXLCLRUUUU IXIXIRCLjj IXXRCL)(j ZXXRIUCL )(j 电路的电路的阻抗阻抗()ZIU 欧姆定欧姆定律的相量律的相量形式形式)(jCLXXRZ 22)(CLXXRZ RXXCL arctan ZCLXX R ：电压与电流之间的电压与电流之间的相位差角，相位差角，由电路参数由电路参数R、L、C 确定。确定。Z 电流与电压同相，电流与电压同相，电路呈阻性。电路呈阻性。0.1 时时
20、当当CLXX电压超前电流，电路呈电感性；电压超前电流，电路呈电感性；0.2 时时当当CLXX电流超前电压，电路呈电容性；电流超前电压，电路呈电容性；0.3 时时当当CLXX ZCLXX RRXXCL arctan I UUR ULUc相量图相量图 大于零时大于零时的相量图的相量图URULUCUI+jXCRjXL例例2.3 R、L、C串联交流电路如图所示。已知串联交流电路如图所示。已知R=30、L=254mH、C=80 F，。求：电流及各元件上的电压瞬时值表达式。求：电流及各元件上的电压瞬时值表达式。V)20314sin(2220o tu 8.79102543143LXL 8.391080314
21、116CXC39.8)-8.79(j30)j(CLXXRZ解解:+L+uCRiuLuCuR+V20220o U o1.5350)40j30(A1.334.4535020220ooo ZUIA)1.33314sin(24.4o tiV)1.33314sin(2132o tuRV)9.56314sin(21.351o tuLV)1.123314sin(21.175o tuCCLRUUUU 注意：注意：各元件上的电压为各元件上的电压为瞬时值表达式为瞬时值表达式为+L+uCRiuLuCuR+V9.561.3511.334.4j79.8joo IXULLV1.331321.334.430oo IRURV1.1231.1751.334.4j39.8joo IXUCC
