1、1 1、互作用过程、互作用过程 能带论能带论只计及晶格周期场对电子的作用（即只计及晶格周期场对电子的作用（即原子或离子位置固定的情形原子或离子位置固定的情形）考虑晶格振动时，考虑晶格振动时，原子（离子）偏离平衡位置原子（离子）偏离平衡位置，引起势能的改变。能带，引起势能的改变。能带电子将受到晶格位移所产生电子将受到晶格位移所产生附加势场的作用附加势场的作用，这就是电子和晶格振动的，这就是电子和晶格振动的相互作用。相互作用。电子与声子相互作用。电子与声子相互作用。C导带导带价带价带在能带极值附近，在能带极值附近，电子的能量：电子的能量：作用。为晶格周期势对电子的能带电子的势能为带边能量，可理解为
2、其中,222CCkmk由于由于纵声学模纵声学模伴随晶体体积和晶格常数的伴随晶体体积和晶格常数的局域变化局域变化，因此，因此，将发生移动将发生移动C)()()(1rcVVVVVVCCC为形变势常数。为形变量，1)(cr电子与声子相互作电子与声子相互作用的形变势模型用的形变势模型在长波近似下在长波近似下qriqqriqqqqeaeaqeVirur)(2)()(电子与声子互作用的电子与声子互作用的二次量子化表示二次量子化表示为：为：qkkqkqkqkqqqrikkkepCCaCCaqeViceCrrrcrdrH,11)(2)()()()(电子声子并产生电子和消灭qkqk电子产生声子与电子被消灭和qk
3、qk在费米球内时在费米球外而当qkk代表电子代表电子代表空穴代表空穴以上是以上是Hep的的一级微扰过程，一级微扰过程，它用于解释晶体的输运特性。它用于解释晶体的输运特性。电子电子-声子互作用的高阶微扰过程声子互作用的高阶微扰过程由上述基本过程组成由上述基本过程组成（a）先发射后吸收先发射后吸收q声子，物理实质是声子，物理实质是电子带着晶格畸变运动电子带着晶格畸变运动，对电子，对电子自能产生自能产生修正。修正。（b）为为电子系统对声子扰动场的屏蔽电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子间的互作用势，从而对将改变离子间的互作用势，从而对声子声子频率产生修正。频率产生修正。（c）两个电子通过声子的间接
4、互作用）两个电子通过声子的间接互作用，在一定条件下将成为，在一定条件下将成为电子之间的有效吸电子之间的有效吸引势引势，它是产生，它是产生超导电性超导电性的主要机制。的主要机制。2 2、电子与声频支声子的相互作用、电子与声频支声子的相互作用 形变势模型形变势模型是电子与声子互作用的是电子与声子互作用的连续模型连续模型 更严格的推导应当从更严格的推导应当从晶格模型晶格模型出发；对于简单晶格只有出发；对于简单晶格只有声频支振动。声频支振动。*当当离子不动离子不动时，电子与离子的互作用为：时，电子与离子的互作用为：iiilljjeialRllrVH,0)(*实际上离子在不断地振动，互作用为：实际上离子
5、在不断地振动，互作用为：ljljeiulrVH,)(能带电子与晶格振动的能带电子与晶格振动的相互作用势为相互作用势为llljjjilljjljeieieplrVurhrhlrVulrVulrVHHH)()()()()()(,0的单体势为：其中电子与声子互作用若选若选布洛赫函数布洛赫函数)()(,)()(rulruerurkkrikkk作为电子系统作为电子系统二次量子化态向量的基函数二次量子化态向量的基函数，则，则反对易关系。灭算符，满足费米子的为能带电子的产生及消和kkkkkkkkCCrCrrCr)()(),()(从从单体势单体势容易求出用容易求出用电子算符表示的电子电子算符表示的电子-声子互
6、作用声子互作用代表格波的偏振指标。为原子质量，为元胞数，其中，sMNklrVkeeCCaaNMCCklrVkuCCkrhkdrrrhrHlqsliqkkkkqsqssqqskklkklkkkkep|)(|)(2|)(|)(|)()()(,2/1,lkkirkkikkerVerurdruklrVk)()(*)()()(|)(|由由晶体的周期性边界条件得：晶体的周期性边界条件得：对对离子势离子势作傅里叶展开作傅里叶展开prippeVrV)(kkqsqsrippkksqllkqkiqspqsepCCaakekVeNpeMNiH,)(2/1)(|1)(2lrr为简单起见，为简单起见，用平面波代替布洛赫
7、函数用平面波代替布洛赫函数，取，取2/1)()(Nruk得到晶格模型中得到晶格模型中电子与声子互作用的哈密顿电子与声子互作用的哈密顿kKqkqsqsksqnqsKqqsepCCaaKqeVMNiHnn)()(2,2/1nKqkkllkqkiKqkkpeNn1,)(其中利用了其中利用了剩下的问题是剩下的问题是如何选取倒格矢如何选取倒格矢Kn。当采用简约区方案时，。当采用简约区方案时，Kn的选取应保证散射后的选取应保证散射后的电子态的电子态 也在第一布里渊区内。现在也在第一布里渊区内。现在分两种情况分两种情况讨论：讨论：nKqkk在第一布里渊区qk（1）过程散射过程或简称总波矢守恒，称为正常这时取
8、NqkkKn,0声子的贡献：声子。显然，只有与分别代表的解，平行或垂直于波矢在长波近似下，有LATALAqeqs)(2,)(,qeVMNiDCCaaDHqqqqkqkqkqqqep其中*对于对于金属金属，采用，采用集体坐标表示集体坐标表示。设金属为单价，。设金属为单价，电子与离子间互作用取库仑势电子与离子间互作用取库仑势qqqqqqepqeqeMNiMQMH)(4,22其中（2）超出第一布里渊区qk。声子都对互作用有贡献与这时时回到第一布里渊区，这所取取TALA,0,0nqTnnKeKqkKkk由于从由于从k到到k为大角度散射，显然散射前后电子速度发生了大角度偏转，为大角度散射，显然散射前后电
9、子速度发生了大角度偏转，故常称故常称 的过程为的过程为U过程或倒逆过程过程或倒逆过程0nKU过程过程主要在主要在高温大高温大q时存在时存在，对金属的高温特性有重要影响，对金属的高温特性有重要影响电子电子-声子互作用过程的守恒定律声子互作用过程的守恒定律性和不连续性造成的这是由晶格结构的周期总动量相差动量：,)(nnKKqkk*散射前后能量守恒散射前后能量守恒电声子作用的电声子作用的实实（可观察的）（可观察的）过程过程和和虚虚（不（不观察的）观察的）过程过程对于实过程：对于实过程：电声子散射两次平均时间间隔电声子散射两次平均时间间隔：|,qkkEE3 3、声子的自能修正、声子的自能修正电子系统对
10、声子扰动场的屏蔽电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子，将改变离子间的互作用势，从而对间的互作用势，从而对声子频率产生修正声子频率产生修正。考虑考虑单价金属单价金属，设，设N个离子组成的简单晶个离子组成的简单晶格浸没在格浸没在均匀电子气体中均匀电子气体中 与与电子集体振荡相似电子集体振荡相似，未微扰的，未微扰的LA声子频声子频率在长波范围内为率在长波范围内为MNeq224这里取单体积，这里取单体积，N=-1，为正点阵元胞体为正点阵元胞体积。积。LA声子的哈密顿：声子的哈密顿：qqqqqqqqpQPQQPPH这里221集体坐标表示集体坐标表示的电子与声子互作用为的电子与声子互作用为qqqqqqe
11、pqeqeMNiMQMH)(4,22其中金属的总哈密顿量金属的总哈密顿量用。为电子之间的库仑互作顿量为自由电子近似的哈密eeeeeeeppHHHHHHH根据根据海森伯方程：海森伯方程：,qqqqqqiQPHPPi和对易式可导出运动方程可导出运动方程率的修正就可以求出。之间的关系，则声子频与如果能确定qqqqqqqQMQQ2晶格振动必然产生晶格振动必然产生离子密度的起伏，离子密度的起伏，可用离子密度的可用离子密度的傅里叶分量傅里叶分量 表示表示。这个起伏的效果相当于这个起伏的效果相当于对电子气体加上一外扰动场对电子气体加上一外扰动场，引起电子气体的响应运动。，引起电子气体的响应运动。iqiq离子
12、密度起伏（1）晶格振动位移将产生极化晶格振动位移将产生极化riqqqqeQeNMrurNeurP2/1)()(),()(其中由极化可得到离子密度由极化可得到离子密度riqqqqieQqeMNirPer)()()(1)(2/1傅里叶展开傅里叶展开qqiqriqqiqiQqeMNier)()()(2/1分量为其中离子密度的傅里叶（2）的关系与iqq由于由于离子运动比电子运动慢得多离子运动比电子运动慢得多，因此，离子运动产生的，因此，离子运动产生的 当作当作“静态试静态试探电荷探电荷”，可用线性响应理论处理：可用线性响应理论处理：iq为电子气体的密度。)()()(4)(4rrreEreDii令令)(
13、)()()()()()(qEqqDeqErEeqDrDqriqqriq由以上方程可得到由以上方程可得到)(4)()()()(4qiqiqeqqEqqiqDiqe于是得到于是得到iqqqq)()(1这样可得运动方程的右边为这样可得运动方程的右边为qqqqqqQqqQqqqqeMNeM)()(1)()(1)(42222计及计及电子的屏蔽后电子的屏蔽后，LALA声子的运动方程为声子的运动方程为0)(2qqqQqQ由此得由此得LALA声子的频率为声子的频率为)(/22qqq如果取如果取托马斯托马斯-费米介电函数式费米介电函数式FENeqq22226,1)(则在则在长波范围长波范围内内222222222
14、231qvMmqqqFqqq最后得到最后得到LALA声子的色散关系声子的色散关系为费米速度。其中mkvvMmcqcFFFLLq/312/1这就是著名的这就是著名的玻母玻母-司台夫司台夫(Bohm-Staver)(Bohm-Staver)声速公式声速公式4 4、电子与光频声子的相互作用、电子与光频声子的相互作用离子晶体中的离子晶体中的光频支纵振动光频支纵振动会产生会产生极化电场极化电场它将对离子晶体中的它将对离子晶体中的传导电子产生强烈的耦合作用。传导电子产生强烈的耦合作用。耦合作用比耦合作用比LALA声子声子对对传导电子的作用强得多。传导电子的作用强得多。因此，主要是因此，主要是LO声子与传导
15、电子的相互作用声子与传导电子的相互作用对离子晶体中的载流子特性产生影响。对离子晶体中的载流子特性产生影响。在长波近似下，在长波近似下，LO声子声子的位移场可写为：的位移场可写为：qriqqriqqqLqriqqqeaeaeNMeQeNMruru)(21)()(这里这里M为折合质量，这里还忽略了为折合质量，这里还忽略了 L对对q的依赖关系。的依赖关系。光频支纵振动位移光频支纵振动位移所产生的所产生的电场电场)(414)(2212rWrE设晶体的体积设晶体的体积V=N=1，那么，那么qriqqriqqqLeaeaeruruNMuurW)(2)()()()(2/1LO声子的声子的极化极化电场电场可写
16、为可写为2/10118)(4)(LqriqqriqqqFLSTeaeaeFrE关系得：利用 若设若设电场电场的势的势)()(riqqqriqqeer则由则由 与与前面方程前面方程对照可知：对照可知：)()()(riqqqriqqeeqirrEqqqqqqaqeqFiaqeqFi)(4)(422电场电场的势为：的势为：)(4)(2riqqqriqqqeaeaqqeFir-e(r)代表代表r处处电子受电子受LO声子作用的势能声子作用的势能，即，即电子与电子与LO声子的相互作用声子的相互作用)()()()(4)()()(*)(,*)(2drrurueCCadrrurueCCaqqeeFidrrrre
17、Hkkrkqkikkqqkkkkrkqkikkqqep当当uk(r)取自由电子近似时，对于取自由电子近似时，对于N过程过程)(4,2kqkqqkkqkqqepCCaCCaqqeeFiH电子与电子与LO声子的相互作用声子的相互作用电子自能修正计算电子自能修正计算当当电子电子在离子晶体中运动时，将使周围的正、负离子产生相对位移，形成介质的在离子晶体中运动时，将使周围的正、负离子产生相对位移，形成介质的局域极化，激发局域极化，激发LO声子。声子。电子带着晶格极化运动电子带着晶格极化运动，必将改变，必将改变电子的基态能量和电子的基态能量和有效质量。有效质量。（电子（电子+极化）极化）的实体称为的实体称
18、为极化子极化子(Polaron)极化子是电子与极化子是电子与LO声子相耦合系统的准粒子。声子相耦合系统的准粒子。当当极化的范围极化的范围比晶格常数大很多时称为比晶格常数大很多时称为大极化子大极化子，反之为，反之为小极化小极化子子。设设导带底导带底|k状态上有一个电子，其能量为状态上有一个电子，其能量为Lkmk222称为称为慢电子，慢电子，m为能带电子的有效质量。当为能带电子的有效质量。当T=0K时声子处于真空态时声子处于真空态|0,故不故不计互作用时系统的状态为计互作用时系统的状态为qqkkk0|0|0;|大极化子的大极化子的H.Frhlich微扰处理方法微扰处理方法设电子与声子的设电子与声子
19、的相互作用比较弱相互作用比较弱，则可用微扰论计算，则可用微扰论计算Hep对电子状态和能量的修正对电子状态和能量的修正 qqLqkkqepqqkkHqkkk1;|0;|1;0;|0;|1代表准至代表准至Hep 一阶的波函数一阶的波函数。这里只考虑到。这里只考虑到初态为真空态。初态为真空态。准至二阶的电子能量为准至二阶的电子能量为：qkmqqqdmeFmkqeFkHqkELqLqkkkqLqkkqepqkk2212)2()4(214|0;|1;|2232322222考虑到被积函数随考虑到被积函数随q增大快速下降，积分的增大快速下降，积分的上限可取上限可取q=.)61(222mkELk其中其中 是量
20、纲为是量纲为1的的耦合常数耦合常数02/121122LLme电子与电子与LO声子相互作用使导带的带边能量降低声子相互作用使导带的带边能量降低 ，而有效质量则相应，而有效质量则相应地增大：地增大：L为极化子的能量。，称为极化子的有效质量kEmmm*6/1*在电子周围所激发的平均声子数为：在电子周围所激发的平均声子数为：20;|0;11qqqkaakN声不是实的声子，不可能被测得。不是实的声子，不可能被测得。微扰处理方法只微扰处理方法只适应于适应于 1的情况。的情况。5 5、有效电子、有效电子-电子相互作用电子相互作用多电子系统与声子多电子系统与声子互作用情况互作用情况一个电子发射的一个电子发射的
21、虚声子虚声子可能被可能被另一个电子所吸收另一个电子所吸收，从而产生电子与电子之间的，从而产生电子与电子之间的有效相互作用。有效相互作用。也就是一个电子也就是一个电子发射虚声子发射虚声子，即在这个电子周围产生了，即在这个电子周围产生了晶格形变或极化晶格形变或极化，当当另一个电子另一个电子也走近形变区，它将受也走近形变区，它将受吸引或排斥吸引或排斥，但这不是电子间的直，但这不是电子间的直接库仑作用，而是一项全新的通过接库仑作用，而是一项全新的通过晶格振动传递的有效作用晶格振动传递的有效作用。我们讨论单价金属中我们讨论单价金属中电子与电子与LA声子声子的互作用的互作用222/1,|,)(2)(qqq
22、qqqqqqqkqkqqqkkqkqqepDDeeqeVMNiDCCaDCCaDH1.电子电子-电子有效作用的电子有效作用的微扰估计微扰估计H.Frhlich首先利用二级波恩首先利用二级波恩散射矩阵对散射矩阵对电子间交换电子间交换LA声子声子的有效互作用进行了的有效互作用进行了微扰估计微扰估计，他按照下列图形所表示的他按照下列图形所表示的两种两种虚声子过程虚声子过程（或中间过程）写（或中间过程）写出电子通过交换声子的出电子通过交换声子的互作用互作用矩阵元矩阵元为为qqkkkqkqkqkqqqqkkkqkqkqkqqmmiepepiCCammCCafiCCammCCafDEEiHmmHf|,22
23、,11,2其中其中初态初态和和终态终态分别为：分别为：qqkqkkkqqkqkkkqkqkkkqkqkkknnnnnnnnnnnnfnnnni1),.;1(,.,.,),.,1(.,|m|1,.;),.,1(),.,1(,.,.,|m|0),.;1(),.,1(),.,1(),.,1(.,|0,.;,.,.,.,.,|,2,1,中间态为声子真空态，而两个消去上式中的声子算符，消去上式中的声子算符，用有效互作用矩阵元用有效互作用矩阵元iCCCCfDiHfkkqkqkqqkkqqqeff|)()(2|,222H.Frhlich作了大胆的猜测，他认为电子与电子的有效互作用哈密顿量可表示为作了大胆的猜
24、测，他认为电子与电子的有效互作用哈密顿量可表示为kkqkqkkqqkkkkqkqkqqkkqqqkkeffCCCCVCCCCDH,222,21)()(|221其中其中222)()(|2qqkkqqkqDV是正是负是正是负直接决定非直接互作用是直接决定非直接互作用是吸引还是排斥势吸引还是排斥势当当 时，时，在费米面附近，在费米面附近 宽度范围内电子间的宽度范围内电子间的有效互作用势为有效互作用势为吸引互作用吸引互作用。qqkk|0kqVq当当 超过屏蔽库仑势时，金属中费米面附近的一对电子具有超过屏蔽库仑势时，金属中费米面附近的一对电子具有净吸引作净吸引作用用，形成电子对的束缚态，这就是形成电子对
25、的束缚态，这就是Cooper对对的来源。的来源。effH这是超导电性产生的基本原因这是超导电性产生的基本原因2.正则变换方法正则变换方法-中岛中岛(S.Nakajima)变换变换即电子间有效互作用的严格推导即电子间有效互作用的严格推导电子电子-声子系统的总哈密顿声子系统的总哈密顿)(,1,010kqkqqqkkqkqqepkkkkqqqqCCaDCCaDHHCCaaHHHH对本征值为对本征值为E的多体系统，的多体系统，作，作正则变换正则变换 ，可求出，可求出 EHsesssHeeH为变换后的哈密顿。为变换后的哈密顿。EHs且且利用量子力学公式，可将变换后的利用量子力学公式，可将变换后的Hs写为
26、：写为：.,21),(21),(.,21,101010SHSSHHSHHHSSHSHHHs*假定假定H1是一阶项，可选择是一阶项，可选择S使使0,01SHH这样就严格地消去了这样就严格地消去了电子电子-声子的一阶互作用项，声子的一阶互作用项，然后讨论准至然后讨论准至二阶的哈密顿二阶的哈密顿,2110SHHHs其中包括了电子其中包括了电子-声子系统的声子系统的全部二级过程。全部二级过程。变换的母函数变换的母函数S可假定为可假定为)(,kqkqqqkkqkqqCCaBCCaAS的本征态。为及其中010|)(|,|HnmnHmnSmEEnSHmnm)(|1mnEEnHmnSm将将H1代入可得代入可得
27、11)(,)(qqkkqqqkqkqqDBDA变换的母函数变换的母函数S被求出被求出,211SH在在 中，包含了电声子相互作用的二级过程对中，包含了电声子相互作用的二级过程对电子自能和声子自能修正项电子自能和声子自能修正项)(,qqkkkqkqqqkqkqkkqkqqCCaDCCaDS必须去除必须去除对于对于 求求声子真空态的对角平均声子真空态的对角平均，可去掉以上项，求得只含电子算符部分，可去掉以上项，求得只含电子算符部分,211SH0|,21|01SHHel最后可证明最后可证明电子电子-声子声子-电子的有效互作用电子的有效互作用为：为：222,)()(|2,21qqkkqqkqkkqkqkkqqkkeffDVCCCCVH当当 时，时，qqkk|0kqV由于由于晶格畸变晶格畸变以以 响应电子，电子在响应电子，电子在吸收声子后吸收声子后从从 过渡到过渡到 的的快慢由快慢由 （）量度。）量度。qkqk|qkk只有当只有当 离子实才来得及跟随离子实才来得及跟随电子产生畸变并导致电子（电子产生畸变并导致电子（1）周围）周围有有正电荷集中正电荷集中，从而使得进入畸变区的，从而使得进入畸变区的另一个电子（另一个电子（2）也受吸引。）也受吸引。q物理解释物理解释
