1、 线线性性方方程程组组是是线线性性代代数数研研究究的的最最主主要要对对象象之之一一在在第第一一、二二章章中中已已经经研研究究过过线线性性方方程程组组的的一一种种特特殊殊情情形形（方方程程个个数数与与未未知知量量个个数数相相等等，且且系系数数行行列列式式不不等等于于零零的的情情形形）本本章章将将研研究究更更一一般般的的情情形形 (1)有有解解的的判判定定；(2)有有解解情情况况下下解解的的个个数数的的判判定定；(3)有有无无穷穷多多组组解解的的情情况况下下，解解的的结结构构 主主要要解解决决以以下下三三方方面面问问题题：在本节中我们将学习如何通过初等行变换解线性方程在本节中我们将学习如何通过初等
2、行变换解线性方程组的方法组的方法 设有设有n元线性方程组元线性方程组 ,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa (4.1)其其系系数数矩矩阵阵A和和增增广广矩矩阵阵B分分别别为为：令令12nxxxx，12mbbbb，则线性方程组，则线性方程组(4.1)可写为：可写为：111212122212Annmmmnaaaaaaaaa，11121121222212Bnnmmmnmaaabaaabaaab Axb (4.2)称称(4.2)为为方方程程组组(4.1)的的矩矩阵阵形形式式 如如果果nncxcxcx,2211可可以以使使(4.1)中中
3、的的m个个等等式式都都成成立立，则则称称有有序序数数组组),(21nccc为为方方程程组组(4.1)的的一一个个解解 如果两个方程组的解集合相等，则称这两个方程组如果两个方程组的解集合相等，则称这两个方程组同解同解 例例 1 用消元法解线性方程组：用消元法解线性方程组：.244,12,422321321321xxxxxxxxx 解解 为为观观察察消消元元过过程程，将将消消元元过过程程中中每每个个步步骤骤的的方方程程组组及及其其对对应应的的增增广广矩矩阵阵一一并并列列出出：方方程程组组(4.1)的的解解的的全全体体称称为为方方程程组组的的解解集集合合 对线性方程组用消元法对线性方程组用消元法 ；
4、，24412422321321321xxxxxxxxx 对应方程组的增广矩阵对应方程组的增广矩阵 21 24112 14142B；，24442212321321321xxxxxxxxx 1112 121 2 4414 2B；，243223123232321xxxxxxx 21 12103220342B；得方程组的解为：得方程组的解为：.2,2,1321xxx 对线性方程组用消元法对线性方程组用消元法 ；，4222312332321xxxxxx 对应方程组的增广矩阵对应方程组的增广矩阵 3112103220024B；，222312332321xxxxxx 4112103220012B 以以下下三
5、三种种关关于于线线性性方方程程组组的的变变换换称称为为线线性性方方程程组组的的初初等等变变换换：(1)交换某两个方程的位置；交换某两个方程的位置；(2)用一个非零数乘以某一个方程的两边；用一个非零数乘以某一个方程的两边；(3)将一个方程的倍数加到另一个方程将一个方程的倍数加到另一个方程 从上述解题过程可以看出，用消元法求解线性方程组就是从上述解题过程可以看出，用消元法求解线性方程组就是对线性方程组反复实施以对线性方程组反复实施以上初等上初等变换变换 注注意意 把把例例 1 1 的的消消元元过过程程与与对对应应增增广广矩矩阵阵的的变变化化进进行行比比较较，可可以以发发现现：(1)消消元元过过程程
6、其其实实就就是是对对增增广广矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换，最最终终将将其其化化为为上上阶阶梯梯形形矩矩阵阵；(2)上上阶阶梯梯形形矩矩阵阵所所对对应应的的线线性性方方程程组组与与原原方方程程组组是是同同解解方方程程组组 例例 2 解解线线性性方方程程组组：.21093,5362,153321321321xxxxxxxxx 解解 对增广矩阵作初等行变换：对增广矩阵作初等行变换：1351263539102B 550077001531 000011001531.1,1533321xxxx 将将2x移移到到等等式式右右边边，得得 .1,3153231xxxx ，134321xkxkx 令令kx 2
7、，解解得得1,3431xkx 其其中中k为为任任意意常常数数 随随着着k取取值值的的变变化化，方方程程组组的的解解也也在在变变化化，当当k取取遍遍所所有有实实数数时时，上上式式也也就就取取遍遍方方程程组组的的所所有有解解这这种种解解的的表表达达形形式式称称为为线线性性方方程程组组的的一一般般解解 注注意意 在在例例 2 的的解解题题过过程程中中，我我们们将将2x移移到到等等式式的的右右端端，并并令令其其为为任任意意常常数数，从从而而得得到到了了方方程程组组的的一一般般解解 我们称这样的未知量为我们称这样的未知量为自由未知量自由未知量 一一般般来来说说，自自由由未未知知量量的的选选取取并并不不惟
8、惟一一，从从而而方方程程组组解解的的表表示示形形式式也也不不惟惟一一 121301121127B 411021103121 200021103121 得同解方程组得同解方程组 .20,2,3232321xxxxx 例例 3 解解线线性性方方程程组组：.72,2,3232132321xxxxxxxx 解解 对对增增广广矩矩阵阵作作初初等等行行变变换换：显然，方程组无解显然，方程组无解 对对增增广广矩矩阵阵B B作作初初等等行行变变换换，将将其其化化为为上上阶阶梯梯形形矩矩阵阵 其其中中ricii,2,1,0 111211122222100000000Brnrnrrrnrrccccdcccdccd
9、d 不妨设不妨设 下下面面讨讨论论一一般般的的线线性性方方程程组组(4.1)讨讨论论：(1)若若01rd，(2)若若01rd且且nr，得得方方程程组组(4.1)的的同同解解方方程程组组：.0,1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc (4.4)则则方方程程组组无无解解；则则同同解解方方程程组组(4.4)即即为为 自自下下而而上上可可依依次次求求出出11,xxxnn的的值值，从从而而方方程程组组有有惟惟一一解解；.,2222211212111nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc (3)若若01rd且且nr，则则同同解解
10、方方程程组组(4.4)可可写写为为 其其中中nrxx,1为为自自由由未未知知量量 .,11,211,222222111,111212111nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc 当当自自由由未未知知量量任任意意取取一一组组值值时时，可可惟惟一一确确定定rxxx,21的的值值，从从而而得得到到方方程程组组的的一一个个解解 因此因此方程组有无穷多组解方程组有无穷多组解 (rn个个)总总结结：(1)若若01rd，(2)若若01rd且且nr，.0,1222222111212111rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxc
11、xcxcxc (4.4)则则方方程程组组无无解解；则则方方程程组组有有惟惟一一解解；(3)若若01rd且且nr，则则方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解 方方程程组组(4.1)的的同同解解方方程程组组：注注意意 (),A Rr 11,0,()1,0.BrrrdRrd 000000001222221111211rrrnrrnrnrddccdcccdccccB .,2,1,0ricii 定理定理 1 线性方程组线性方程组(4.1)有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是()()ABRR 定理定理 2 设线性方程组设线性方程组(4.1)有解，即有解，即()()ABRRr，则，则(1)当当nr 时，线
12、性方程组时，线性方程组(4.1)有惟一解；有惟一解；(2)当当nr 时，线性方程组时，线性方程组(4.1)有无穷多组解有无穷多组解 若若方方程程组组有有惟惟一一解解，若若方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解，总结总结方程组方程组(4.1)的的求求解解过程过程 第一步第一步 对增广矩阵进行初等行变换，将其化为上阶梯对增广矩阵进行初等行变换，将其化为上阶梯形，得同解方程组；形，得同解方程组；第二步第二步 通过通过(),()ABRR判定解的情况；判定解的情况；第三步第三步 在有解情况下在有解情况下()()ABRRr)进行求解进行求解 求求出出各各未未知知量量，得得方方程程组组的的惟惟一一解解；则则在
13、在同同解解方方程程组组中中自自下下而而上上依依次次 选选取取自自由由未未知知量量 (rn个个)，将将自自由由未未知知量量移移到到等等式式右右端端(要要保保证证左左端端系系数数行行列列式式不不为为零零)，令令自自由由未未知知量量任任意意取取值值，得得方方程程组组的的一一般般解解 （回回代代）例例 4 解解线线性性方方程程组组：.2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx 解解 对增广矩阵作初等行变换：对增广矩阵作初等行变换：1111011131111232B 2121001420001111 因因 ()()2ABRR，故故方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解.000001
14、420001111 其其同解方程组为同解方程组为：.142,0434321xxxxxx 取取42,xx作作为为自自由由未未知知量量，将将自自由由未未知知量量移移到到等等式式右右端端，得得 .142,434231xxxxxx 21121kkx，23221kx 因此方程组的一般解为：因此方程组的一般解为：,221,21242312211kxkxkxkkx 其中其中21,kk为任意常数为任意常数 .142,434231xxxxxx 令令2412,kxkx，得得 解解 对增广矩阵作初等行变换：对增广矩阵作初等行变换：22112121112B 例例 5 问问取取何何值值时时，下下列列线线性性方方程程组组
15、有有解解，并并求求其其解解 .22222321321321xxxxxxxxx，233012122330 当当1或或2时时，()()2ABRR，方方程程组组有有无无穷穷多多组组解解 当当1时时，原原方方程程组组的的同同解解方方程程组组为为 .0,1232321xxxxx 当当1且且2时时，()()ABRR，方方程程组组无无解解；.)2)(1(000132110121）（取取3x为为自自由由未未知知量量，得得其其解解为为,2,2321kxkxkx k为为任任意意常常数数 .2,2232321xxxxx .0,1232321xxxxx 取取3x作为自由未知量，得其解为作为自由未知量，得其解为 ,1321kxkxkx k为为任任意意常常数数 当当2时时，原原方方程程组组的的同同解解方方程程组组为为 本本节节完完
