1、第九节函数模型及其应用,总纲目录,教材研读,1.几种常见的函数模型,考点突破,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤（四步八字）,考点二函数y=ax+?的模型,考点一一次函数与二次函数模型,考点三指数函数、对数函数模型,考点四分段函数,1.几种常见的函数模型,教材研读,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论
2、还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:,1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是?(),A.一次函数模型B.幂函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型,答案A根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.,A,2.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过?()A.12小时B.4小时C.3小时D.2小时,答案C设需经过t小时,由题意知24t=4 096,即16t=4 096,解得t=3.,C,3.(2015北京西城二模)某工厂更新设备,已知在未来x年内,此设备
3、所花费的各种费用总和y(万元)与x之间的函数关系式为y=4x2+64,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限x为?()A.3B.4C.5D.6,答案B设该设备的年平均花费为z万元,则z=?=?=4x+?32,当且仅当4x=?,即x=4时,z取最小值,故选B.,B,4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为.,答案3,解析设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,当x=3时,S取最大值.,3,解析(1)由题意知最高点为(2+h,4),h1,设抛物线方程为y=ax-(2+h)2
4、+4,当h=1时,最高点为(3,4),抛物线方程为y=a(x-3)2+4,将A(2,3)代入,得3=a(2-3)2+4,解得a=-1,所以当h=1时,跳水曲线所在的抛物线方程为y=-(x-3)2+4.(2)将点A(2,3)代入y=ax-(2+h)2+4,得ah2=-1.由题意知方程ax-(2+h)2+4=0在区间5,6内有一解.令f(x)=ax-(2+h)2+4=-?x-(2+h)2+4,则f(5)=-?(3-h)2+40,且f(6)=-?(4-h)2+40.解得1h?.故所求h的取值范围是?.,方法技巧对于实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量问题等),可根据已知条件确定二次函数模型,
5、结合二次函数的图象、单调性、零点解决,解题时一定要注意函数的定义域.,1-1(2016北京西城二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=?已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表:,若四月份该家庭使用了20 m3煤气,则其煤气费为?()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元,A,解析A由题表知一月份、二月份、三月份煤气费分别为4元,14元,19元,这三个月煤气费的计算有以下2种情况:(1)这三个月的煤气费均由f(x)=C+B(x-A)(xA)计算得到.故?由得B=?.由得B=?.矛盾.故不可能为此种情况.(2)一月份的煤气费由f(x)=C(0A)计算得到
6、.?f(x)=?当x=20时,f(20)=4+?(20-5)=11.5.故选A.,解析设该场x(xN*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少,平均每天支付的总费用为y元.,因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.03=6(元),所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+6=(3x2-3x)(元).,从而有y=?(3x2-3x+300)+2001.8=?+3x+357417,当且仅当?=3x,即x=10时,y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.,方法指导应用函数f(x)=ax+?模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=
7、ax与反比例函数f(x)=?叠加而成的.(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+?的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+?的形式.(3)利用模型f(x)=ax+?求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件.,2-1利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间,年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y=?-30x+4 000,则每吨的成本最低时的年产量为?()A.240吨B.200吨C.180吨D.160吨,答案B依题意,得每吨的成本为?=?+?-30,则?2?-30=10,当且仅当?=?,即x=200时取等号,因此,当
8、每吨成本最低时,年产量为200吨.,B,考点三指数函数、对数函数模型,典例3(1)(2016北京西城期末)某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏温度x(恒温,单位:)满足函数关系t=?且该食品在4 的保鲜时间是16小时.该食品在8 的保鲜时间是小时;已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示,那么到了此日13时,甲所购买的食品是否过了保鲜时间.(填“是”或“否”),答案(1)4是(2)C,解析(1)食品在4 的保鲜时间是16小时,24k+6=16,解得k=-?.t(8)=2-4+6=4.,由题图可知在12时时,温度为12 ,此时该食品的保鲜时间为2
9、-6+6=20=1小时.到13时,该食品已过保鲜时间.(2)由已知得192=eb,48=e22k+b=e22keb,将代入得e22k=?,则e11k=?,当x=33时,y=e33k+b=e33keb=?192=24,所以该食品在33 的保鲜时间是24小时.故选C.,方法技巧一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.,3-1(2016四川,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年
10、增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是?()(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年,B,答案B设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+12%)n-1200,则lg130(1+12%)n-1lg 200,lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2,2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2,0.11+(n-1)0.050.30,解得n?,又nN*,n5,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.
11、故选B.,典例4国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数大于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?,考点四分段函数,方法技巧(1)在很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式表示,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的收费与路程的关系.(2)求函数的最值常利用基本不等式、导数、函数的单调性等.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.,
12、4-1某旅游景点预计2019年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位:万人)与x的关系近似为p(x)=?x(x+1)(39-2x)(xN*,且x12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位:元)与x的关系近似是q(x)=?(1)写出2019年第x个月的旅游人数f(x)(单位:人)与x的函数关系式;(2)试问2019年第几个月的旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?,解析(1)当x=1时, f(1)=p(1)=37,当2x12,且xN*时,f(x)=p(x)-p(x-1),=?x(x+1)(39-2x)-?(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x,经验证x=1时也满足此式,所以f(x)=-3x2+40x(xN*,且1x12).(2)由题意知第x个月的旅游消费总额为g(x)=?即g(x)=?当1x6,且xN*时,g(x)=18x2-370x+1 400,令g(x)=0,解得x=5或x=?(舍去).当1x5时,g(x)0,当5x6时,g(x)0,g(x)max=g(5)=3 125(万元).当7x12,且xN*时,g(x)=-480x+6 400是减函数,g(x)max=g(7)=3 040(万元).综上,2019年5月份的旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为3 125万元.,
