1、3.1 均值一次二阶矩法均值一次二阶矩法主要内容：主要内容：3.3 响应面法响应面法3.4 优化法优化法3.5 蒙特卡洛（蒙特卡洛（Monte-Carlo Simulation）法法-一次一次:在应用非线性功能函数的泰勒级数进行可靠度计算在应用非线性功能函数的泰勒级数进行可靠度计算分析时，保留随机变量的一次项和常数项。分析时，保留随机变量的一次项和常数项。-均值一次二阶矩法又叫均值法或中心点法均值一次二阶矩法又叫均值法或中心点法.-二阶矩二阶矩:在进行结构可靠度计算时，仅应用随机变量的二在进行结构可靠度计算时，仅应用随机变量的二阶矩。阶矩。-均值点或中心点均值点或中心点:非线非线性功能函数的泰
2、勒级性功能函数的泰勒级数的均值展开点数的均值展开点nnnRxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)(.)(!2)()()()(00200000RSSR均值点均值点 3.1.2 线性功能函数线性功能函数2.功能函数的概率特征值功能函数的概率特征值01inZiXiaa21inZiXia1.假定构件的功能函数为假定构件的功能函数为01 12201()nnniiiZg Xaa xa xa xaa x式中式中：ia是常系数；是常系数；(0,1,2,)in 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为 和和 。iXiXiX可靠指标：可靠指标：0121iiniX
3、iZnZiXiaaa什么条件下，上述公式计算的失效概率是精确的？什么条件下，上述公式计算的失效概率是精确的？设计验算点：设计验算点：*iiiXiXX niiiiaa12根据概率论中心极限定理，当根据概率论中心极限定理，当 n，Z 近似服从正态分布近似服从正态分布)(fP 3.1.2 非线性功能函数非线性功能函数2.功能函数泰勒级数展开功能函数泰勒级数展开12121(,)*1(,)()()()niXXXnnXXXiXiiniiiiMgZgXXgg MXxX将将Z Z在各变量的均值点在各变量的均值点 处展开成泰勒级数，处展开成泰勒级数，并取线性项并取线性项12(,)nXXXM1.假定构件的功能函数
4、为假定构件的功能函数为12()(,)nZg Xg X XX 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为 和和 。iXiXiX12(,)nZXXXg2211iinnZXiXiiiMgaX式中：式中：iiMgaX3.功能函数的概率特征值功能函数的概率特征值122211(,)()niiXXXZnnZiXXiiiMgg MgaX可靠指标：可靠指标：*21iiXiPinXiiPgXgXfP 一般情况下，下式不成立一般情况下，下式不成立*iiiXiXX 设计验算点：设计验算点：一般情况下，均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极一般情况下，均值一次二阶矩法计算的
5、设计验算点不在极限状态方程表示的失效面上。限状态方程表示的失效面上。0*)(Xg 可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越大，也即结构的安全性越高。大，也即结构的安全性越高。例例 3.1ZRS结构构件截面强度的功能函数为结构构件截面强度的功能函数为其中其中 R 表示结构构件的屈服极限，表示结构构件的屈服极限，S 表示结构构件截面的应力。表示结构构件截面的应力。R 服从正态分布，分别取下面三组分布参数：服从正态分布，分别取下面三组分布参数：210/RkN cm21/RkN cm21/5/SkN cm21/5/SkN cmS 服从指数分布
6、，分布参数：服从指数分布，分布参数：计算计算R取不同分布参数构件截面可靠指标、失效概率和验算点。取不同分布参数构件截面可靠指标、失效概率和验算点。2/12cmkNR2/1cmkNR2/14cmkNR2/1cmkNR（1）（2）（3）计算过程计算过程:(1)计算结构构件截面强度的功能函数的特征值计算结构构件截面强度的功能函数的特征值ZRS22ZRS(2)计算结构构件截面强度的可靠指标计算结构构件截面强度的可靠指标22RSZZRS981.022111SRSRZZ373.12765.13(3)计算结构构件截面强度的失效概率计算结构构件截面强度的失效概率)(1)(fP1653.0)(111fP0853
7、.02fP0381.03fP(4)采用概率直接积分法计算结构构件截面强度的失效概率采用概率直接积分法计算结构构件截面强度的失效概率2221exp212RRRRR fP1381.0*1fP0926.0*2fP0620.0*3fP%70.19%100|*11*11fffPPPerr%88.72err%55.383err(5)两种方法计算失效概率的误差两种方法计算失效概率的误差(6)计算灵敏性系数（第一组参数）计算灵敏性系数（第一组参数）niXPiXPiiiiXgXg12*1961.02*2*sPRPRPRSgRgRg9806.02*2*sPRPsPSSgRgSg(7)计算验算点（第一组参数）计算验
8、算点（第一组参数）*iiiXiXX 808.9*RRRR712.9*ssSS(8)演验算计算验算点是否在失效面上（第一组参数）演验算计算验算点是否在失效面上（第一组参数）0096.0*SRg(9)总结总结 a、可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率、可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越大，也即结构的安全性越高。越大，也即结构的安全性越高。*fPc、均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程、均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程表示的失效面。表示的失效面。b、在随机不都服从正态分布时，采用均值法计算的可靠指、在随机不都服从正态分布时，采用均值法计算的可靠
9、指标计算失效概率，其误差大，也即是标计算失效概率，其误差大，也即是 不成立。不成立。fP 例例 3.2假定钢梁承受确定性的弯矩假定钢梁承受确定性的弯矩M128.8kNm。钢梁截面的塑。钢梁截面的塑性抵抗矩性抵抗矩W和材料屈服强度和材料屈服强度fy都是随机变量，且相互独立。都是随机变量，且相互独立。已知已知fy的均值和变异系数分布为的均值和变异系数分布为 MPa和和 ；W的均值和变异系数分布为的均值和变异系数分布为 m3和和 。试。试求构件抗弯可靠指标。求构件抗弯可靠指标。262yf1.0yf6109.884W05.0W 计算过程计算过程:(1)建立功能函数建立功能函数 a、按截面塑性弯矩极限状
10、态、按截面塑性弯矩极限状态(2)对功能函数在均值点进行线性化对功能函数在均值点进行线性化b、材料屈服应力极限状态。、材料屈服应力极限状态。（Nm）1288001yyWfMWfZWfWMfZyy1288002（Pa）)(128800)(12880022WWfyWfWfZyy)()(1288001WffywWfWfZyyy(3)计算功能函数的均值和标准差计算功能函数的均值和标准差8.1030431288001WfZy2.1164468301288002WfZy均值：均值：（Nm）（Pa）(4)计算可靠指标计算可靠指标5.11644683011288002WfZy7.2719196812880012
11、8800222222222WWffWWfZyyy9.2592022222222221WWfffWWffWZyyyyy标准差：标准差：975.39.259208.103043111ZZ283.47.271919682.116446830222ZZ（Nm）（Pa）(5)总结总结同一功能要求的不同功能函数表达式，采用均值法计算结果同一功能要求的不同功能函数表达式，采用均值法计算结果差别达差别达7.46%。%46.7%1002/)(|2121err 3.1.4 均值一次二阶矩法的特点均值一次二阶矩法的特点1.优点优点l计算简单。计算简单。l不要求随机变量的概率分布。不要求随机变量的概率分布。2.缺点缺
12、点l当随机变量不都服从正态分布时，其计算的失效概率是当随机变量不都服从正态分布时，其计算的失效概率是不准确的。不准确的。l在随机变量都服从正态分布时，功能函数的非线性程度在随机变量都服从正态分布时，功能函数的非线性程度影响可靠指标计算精度，功能函数的非线性程度越高，影响可靠指标计算精度，功能函数的非线性程度越高，可靠指标计算的精度越低，功能函数的非线性程度越低，可靠指标计算的精度越低，功能函数的非线性程度越低，可靠指标计算的精度越高，可靠指标计算的精度越高，l 同一极限状态方程的不同表达式可得到不同可靠指标的同一极限状态方程的不同表达式可得到不同可靠指标的原因是线性化的功能函数代替真实的功能函
13、数时，功能原因是线性化的功能函数代替真实的功能函数时，功能函数表达式不同，非线性程度不一样，线性化的功能函函数表达式不同，非线性程度不一样，线性化的功能函数拟合真实功能函数的精度不一样。数拟合真实功能函数的精度不一样。3.2.1 基本概念基本概念*12(,)0ng XXX非正态随机变量的当量正态化非正态随机变量的当量正态化改进均值一次二阶法的不足改进均值一次二阶法的不足在极限状态曲面在极限状态曲面 寻找验算点寻找验算点 ，并在，并在此基础上进行泰勒级数展开，应用随机变量的前二阶矩，此基础上进行泰勒级数展开，应用随机变量的前二阶矩，采用非正态随机变量的当量正态化，迭代求解结构的失效采用非正态随机
14、变量的当量正态化，迭代求解结构的失效概率的一种方法，该方法简称验算点法，后被概率的一种方法，该方法简称验算点法，后被JCSSJCSS推荐使推荐使用，又称用，又称JCJC法。法。0)(Xg*2*1*,.,nxxxP l 功能函数泰勒级数展开功能函数泰勒级数展开将将Z Z在各变量的设计验算点在各变量的设计验算点 处展开成泰勒级数，处展开成泰勒级数，并取线性项并取线性项*2*1*,.,nxxxP*1*)()(PXniiiiXgxXPgZ0)(*Pg*1*)(PXniiiiXgxXZ 3.2.2 可靠指标求解可靠指标求解12()(,)nZg Xg XXXl 假定构件功能函数（非线性）假定构件功能函数（
15、非线性）1.方法一方法一 是相互独立的正态随机变量，相应的均值和标准差为是相互独立的正态随机变量，相应的均值和标准差为 和和 。iXiXiX*1*)(PXniiiXZXgxmminiPXiXZXgi1222*niPXiXPXniiiXZZXgXgxmmii1221*)(2.方法二方法二iiiXiXXU将将随机变量标准化随机变量标准化将将X空间的相关量转换到标准正态空间的相关量转换到标准正态U空间空间l 可靠指标计算可靠指标计算随机变量由随机变量由 X空间向空间向 U 空间变换空间变换设计验算点由设计验算点由 X空间向空间向 U 空间变换空间变换功能函数由功能函数由X空间向空间向 U 空间变换空
16、间变换12()(,)nZg Xg XXX12()(,)nZG UG U UU12(,)nXXXX12(,)nUU UU*12(,)nPUUU*12(,)nPXXX()0ZG U在在U U空间，将空间，将 在各变量的设计验算点在各变量的设计验算点 处展开成泰勒级数，并取线性项处展开成泰勒级数，并取线性项*12(,)nP U UU*121(,)()0nniiiiPGG U UUUUU*12(,)0nG U UU*1()0niiiiPGUUUl 在在U空间的可靠指标空间的可靠指标在标准正态空间中，可靠指标在标准正态空间中，可靠指标 为坐标原点到失效面的为坐标原点到失效面的最短距离。最短距离。arg
17、min|()0HLGuu*HLO P*1u*2u1u2u设计验算点设计验算点超切平面超切平面失效面失效面1U2U*PO()0GuiiiXiXXU根据点到平面的距离公式可得根据点到平面的距离公式可得U空间的可靠指标：空间的可靠指标：)()(XXmXgUGiiiXiXXUiiXiiiiXGggUXUX*1()0niiiiPGUUU*121niiiPniiPGUUGU*iiiXiXXU*1()0niiiiPGUUUU空间设计验算点：空间设计验算点：cosiiU*cosiiUiU niPXiXPXniiiXZZXgXgxmmii1221*)(X空间的可靠指标：空间的可靠指标：*21iPiniiPGUG
18、U*iiiXiXXU*21iPiniiPGUGUX空间设计验算点：空间设计验算点：iiXiiiiXGggUXUXiiU*21iiXiPinXiiPgXgX*iiiXiXX 可靠指标计算方法比较（功能函数非线性）可靠指标计算方法比较（功能函数非线性）niPXiXPXniiiXZZXgXgxmmii1221*)(验算点法：验算点法：中心点法：中心点法：122211(,)()niiXXXZnnZiXXiiiMgg MgaX按照等效正态化原则将非正态随机变量转化为当量正态化按照等效正态化原则将非正态随机变量转化为当量正态化随机变量随机变量1.等效正态化原则等效正态化原则(1)在设计验算点在设计验算点
19、处处,等效正态化随机变量的概率分布等效正态化随机变量的概率分布函数值与原非正态随机变量的概率分布函数值相等。函数值与原非正态随机变量的概率分布函数值相等。*P(2)在设计验算点在设计验算点 处处,等效正态化随机变量的概率密度等效正态化随机变量的概率密度函数值与原非正态随机变量的概率密度函数值相等。函数值与原非正态随机变量的概率密度函数值相等。*P 3.2.3 非正态随机变量的当量正态化非正态随机变量的当量正态化解决由于非正态随机变量导致的可靠指标与失效概率不一解决由于非正态随机变量导致的可靠指标与失效概率不一一对应的不足一对应的不足ix()iXifxiXeiX*ix*()()eiiXiiXfx
20、fx*()()eiiXiiXFxFxiX非正态随机变量非正态随机变量 的的PDFiXiX()iXifxiXeiXeiX()eiiXfxeiXeiX等效正态随机变量等效正态随机变量 的的PDF2.等效正态化计算公式等效正态化计算公式*()eiieiiXXiXxFx*1()eiieeiiiXXiXXxfx*1*()eeiiiiXiXXxFx*1*11()()()eieiieiiiiXXiXXiXiXxFxfxfx (1)(2)3.对数正态随机变量等效正态化后的概率特征值对数正态随机变量等效正态化后的概率特征值*2*ln1lnlnln(1)1lnieiiiXiiXXiiXxxVxx*2*lnln(1
21、)eiiiiXXiXxVx (3)(4)3.2.3 验算点法的计算过程验算点法的计算过程3.根据等效正态化原则，在初始设计验算点处将非正态随机变量等根据等效正态化原则，在初始设计验算点处将非正态随机变量等效为正态随机变量。效为正态随机变量。1 2()(,)nZ g X g X X X 1.明明确确功功能能函函数数 及及随随机机变变量量 的的统统计计参参数数和和分分布布类类型型iX5.计算结构可靠指标计算结构可靠指标 。4.计算敏感性系数计算敏感性系数 。i7.重复步骤重复步骤 3至至6，直到可计算的可靠指标满足要求，直到可计算的可靠指标满足要求 。nn 12.假定假定 n-1个随机变量的初始取
22、值，一般取其均值，结合极限状态个随机变量的初始取值，一般取其均值，结合极限状态方程方程 确定初始设计验算点确定初始设计验算点 。*12(,)0ng XXX1*X6.根据设计验算点的计算公式，计算设计验算点的根据设计验算点的计算公式，计算设计验算点的 n-1个随机变量个随机变量的取值，结合极限状态方程，确定新的设计验算点的取值，结合极限状态方程，确定新的设计验算点 。2*Xl 验算点法计算步骤：验算点法计算步骤：l 验算点法主要计算公式：验算点法主要计算公式：*1*()eeiiiiXiXXxFx*1*11()()()eieiieiiiiXXiXXiXiXxFxfxfx(2)niPXiXPXnii
23、iXZZXgXgxmmii1221*)(3),.,(0*)(*1*1*nnXXgXXg (1)l 验算点法主要计算公式：验算点法主要计算公式：*iiiXiXX (5)*21iiXiPinXiiPgXgX (4)l 验算点法计算流程验算点法计算流程开始(1)()kk否否 假定假定 ，结合式（，结合式（1）确定设计验算点）确定设计验算点*iiXX)1,.,1(ni*X 按式（按式（4）计算敏感性系数）计算敏感性系数i 在在 处按式（处按式（2）对非正态随机变量等效正态化）对非正态随机变量等效正态化*X 按式（按式（3）计算可靠指标）计算可靠指标 按式（按式（5)和式（和式（1）计算验算点）计算验算
24、点*X是是输出结构输出结构 和和*X输入已知条件：随机变量的概率参数和分布类型，极限状态方程输入已知条件：随机变量的概率参数和分布类型，极限状态方程*1u*2u1u2u设计验算点设计验算点失效面失效面1U2U*PO()0Gu1u2u失效面失效面O()0Gu 3.3.3 作业作业对对P85的例的例4.3采用均值法和验算点法分别进行计算，采用均值法和验算点法分别进行计算，比较其结果，并分析其原因，要求用软件编程计算。比较其结果，并分析其原因，要求用软件编程计算。例例 3.4qFmKNmq/515.0qKNmF30W20.0FyfMPamyf31012.0yf已知某钢悬臂梁受的均布恒荷载已知某钢悬臂
25、梁受的均布恒荷载 和自由端受集中荷载和自由端受集中荷载 作用，如图所示，它们都是服从极值作用，如图所示，它们都是服从极值I分布的随机变量，其分布的随机变量，其均值和变异系数分别为均值和变异系数分别为 ，和和 ,;梁截面的塑性抵抗矩梁截面的塑性抵抗矩 和钢材的屈服强度和钢材的屈服强度 都是都是服从正态分布的随机变量，其均值和变异系数分别为服从正态分布的随机变量，其均值和变异系数分别为 ，和和 ，试，试JC法求法求梁固定端处截面的抗弯可靠指标。梁固定端处截面的抗弯可靠指标。3610860mmW05.0W 计算过程计算过程:(2)确定初始验算点处确定初始验算点处n-1随机变量的值，一般取其均值，也随
26、机变量的值，一般取其均值，也即是即是 ，则初始验算点处第，则初始验算点处第n个随机变量的值为个随机变量的值为,FfWmmmy22FfWqmmmmy(1)确定功能函数确定功能函数qFWfqllFWfqFfWgZyyy2210210),(323初始验算点初始验算点3.103,30,310,108606(2)在验算点对非正态随机变量进行当量正态化，正态化在验算点对非正态随机变量进行当量正态化，正态化之后它们的均值和标准差分别为之后它们的均值和标准差分别为*1*()eeiiiiXiXXxFx*1*11()()()eieiieiiiiXXiXXiXiXxFxfxfx55.75,64.35,310,108
27、60669.26,88.24,2.37,10436(4)计算结构可靠指标计算结构可靠指标(3)计算灵敏性系数计算灵敏性系数niXPiXPiiiiXgXg121*1*功能函数的均值功能函数的均值415.346)(*1*PXniiiXZXgxi功能函数标准差功能函数标准差785.80122*niPXiXZXgi288.4ZZ661.0,616.0,396.0,165.0(5)计算设计验算点计算设计验算点*iiiXiXX)1,.2,1(ni),.,(0*)(*1*1*nnXXgXXg(6)判断计算精度是否满足要求判断计算精度是否满足要求002.00105.0,37.101,83.246,1057.8
28、29601.1,37.101,83.246,1057.8296(22)在验算点对随机变量进行当量正态化在验算点对随机变量进行当量正态化07.5,54.12,310,10860686.2,17.51,2.37,10436288.401(32)计算灵敏性系数计算灵敏性系数053.0,951.0,287.0,098.0(42)计算结构可靠指标计算结构可靠指标133.22(52)计算设计验算点计算设计验算点39.5,39.116,23.287,1095.850682.5,39.116,23.287,1095.8506(62)判断计算精度是否满足要求判断计算精度是否满足要求002.012155.212(
29、23)验算点对随机变量进行当量正态化验算点对随机变量进行当量正态化09.6,61.2,310,10860639.4,45.56,2.37,10436(33)计算灵敏性系数计算灵敏性系数074.0,955.0,268.0,104.0(43)计算结构可靠指标计算结构可靠指标106.23(53)计算设计验算点计算设计验算点78.6,14.116,03.289,1054.850678.6,14.116,03.289,1054.8506(24)验算点对随机变量进行当量正态化验算点对随机变量进行当量正态化07.6,79.2,310,10860673.4,37.56,2.37,10436(44)计算结构可靠
30、指标计算结构可靠指标105.24(63)判断计算精度是否满足要求判断计算精度是否满足要求002.023027.023(34)计算灵敏性系数计算灵敏性系数080.0,954.0,268.0,105.0%54.1%100|*err(54)计算设计验算点计算设计验算点87.6,03.116,03.289,1048.850687.6,03.116,03.289,1048.8506(64)判断计算精度是否满足要求判断计算精度是否满足要求002.034001.034105.2073.2*精确解：精确解：(0.9809)钢构架钢构架l2l1b1h1b2h2F1F2),(21212121EhhbbllFFMW
31、fZy),(21212121EhhbbllFFssZ没有明确功能函数表达式没有明确功能函数表达式采用蒙特卡洛法结合有限元方法求解，需要成千上万次的模拟采用蒙特卡洛法结合有限元方法求解，需要成千上万次的模拟才能得到较精确的结果，因此采用该方案时也需要成千上万次才能得到较精确的结果，因此采用该方案时也需要成千上万次的有限元计算分析，这就导致工作量大，计算成本高，不经济。的有限元计算分析，这就导致工作量大，计算成本高，不经济。可靠度问题如何求解？可靠度问题如何求解？-1989年，意大利的一位女学者年，意大利的一位女学者Faravelli首次提出结构可靠度分析首次提出结构可靠度分析的响应面法，解决了没
32、有明确功能函数的可靠度计算问题。的响应面法，解决了没有明确功能函数的可靠度计算问题。-基本思想就是选用一个适当的具有明确表达式的函数来近似基本思想就是选用一个适当的具有明确表达式的函数来近似代替一个不能明确表达的函数，对于可靠度分析来说，就是代替一个不能明确表达的函数，对于可靠度分析来说，就是尽可能通过一系列确定性的试验即有限元数值计算结果来拟尽可能通过一系列确定性的试验即有限元数值计算结果来拟合一个响应面（明确表达式的函数）以代替未知的真实的极合一个响应面（明确表达式的函数）以代替未知的真实的极限状态曲面，在此基础上可应用一次二阶矩法进行可靠度计限状态曲面，在此基础上可应用一次二阶矩法进行可
33、靠度计算。算。-给定一组结构性能参数，几何参数和荷载的取值，应用确定给定一组结构性能参数，几何参数和荷载的取值，应用确定的有限元数值计算，就可以得到结构的一个响应值，取的有限元数值计算，就可以得到结构的一个响应值，取n组组结构性能参数，几何参数和荷载的取值，就能得到相应的结构性能参数，几何参数和荷载的取值，就能得到相应的n个响应值，根据这个响应值，根据这n个响应值拟合的函数表示的曲面就叫响个响应值拟合的函数表示的曲面就叫响应面，以该响应面代替未知的真实的极限状态曲面进行可靠应面，以该响应面代替未知的真实的极限状态曲面进行可靠度分析的方法就响应面方法。度分析的方法就响应面方法。),(212121
34、21EhhbbllFFMWfZy),(21212121EhhbbllFFssZ钢构架钢构架l2l1b1h1b2h2F1F2-1990年，年，Bucher提出内插技术，将该方法实用化。提出内插技术，将该方法实用化。),(2121212111EhhbbllFFfWfZy),(2121212122EhhbbllFFfWfZy),(2121212111EhhbbllFFfsZ),(2121212122EhhbbllFFfZ-响应面函数的选取和响应面函数系数的确定。响应面函数的选取和响应面函数系数的确定。-响应面的设计实质也就是响应面函数形式的确定。响应面的设计实质也就是响应面函数形式的确定。响应面函数
35、形式的确定应满足的两个要求：响应面函数形式的确定应满足的两个要求：（1）响应面函数数学表达式在基本能够描述真实函数的前提）响应面函数数学表达式在基本能够描述真实函数的前提下应可能的简单，以方便可靠度分析；下应可能的简单，以方便可靠度分析；（2）响应面函数中的待定系数应尽可能的少，以便减少需要）响应面函数中的待定系数应尽可能的少，以便减少需要确定待定系数的结构有限元分析的工作量。确定待定系数的结构有限元分析的工作量。niniiiiiXcXbaZ112 一般取不含交叉项二次多项式为响应函数：一般取不含交叉项二次多项式为响应函数：为基本随机变量；为基本随机变量；iXibica ，为响应面函数中的待定
36、系数。为响应面函数中的待定系数。-对于精度要求不高，通过经验判断真实的功能函数非线性程度对于精度要求不高，通过经验判断真实的功能函数非线性程度不高时，响应面函数可选用一次多项式。不高时，响应面函数可选用一次多项式。-对于精度要求高，当真实的功能函数非线性程度很高时，不含对于精度要求高，当真实的功能函数非线性程度很高时，不含交叉项的二次多项式作为响应面函数往往不能满足要求。交叉项的二次多项式作为响应面函数往往不能满足要求。-映射能力非常强的神经网络作为响应面函数。映射能力非常强的神经网络作为响应面函数。-映射能力非常强的支持向量机函数作为响应面函数。映射能力非常强的支持向量机函数作为响应面函数。
37、-待定系数确定待定系数确定 响应面函数确定。响应面函数确定。基本随机基本随机变量的取值变量的取值 响应面函数响应面函数 结构有限元计算结构有限元计算真实结构响应真实结构响应的功能函数值的功能函数值最小二乘法确定待定系数最小二乘法确定待定系数计算结构的响应计算结构的响应的功能函数值的功能函数值真实结构响应功能函数值真实结构响应功能函数值与计算结构响应的功能函与计算结构响应的功能函数值误差平方和最小数值误差平方和最小),(2121212111EhhbbllFFfWfZy)1121019281726152413212EahahababalalaFaFafaWaaZy？v基本随机变量的取值将影响确定的
38、响应面函数。基本随机变量的取值将影响确定的响应面函数。v如何合理的确定基本随机变量的取值来进行结构有限元如何合理的确定基本随机变量的取值来进行结构有限元计算，进而确定响应面函数也是很重要的问题。计算，进而确定响应面函数也是很重要的问题。确定基本随机变量的取值利用了试验设计的思想：通过合理确定基本随机变量的取值利用了试验设计的思想：通过合理的试验设计，使有限的试验结果反应普遍的规律。因此应用的试验设计，使有限的试验结果反应普遍的规律。因此应用试验设计的方法确定试验点（一组基本随机变量的取值），试验设计的方法确定试验点（一组基本随机变量的取值），让这些试验点更多的代表随机变量在整个空间的信息。让这
39、些试验点更多的代表随机变量在整个空间的信息。x1x2x1x2v试验设计的方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法，中试验设计的方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法，中心复合设计法等等，试验点数应大于或等于待定系数的个数。心复合设计法等等，试验点数应大于或等于待定系数的个数。中心复合设计法确定响应面法的试验点中心复合设计法确定响应面法的试验点确定中心点确定中心点 ，一般取均值点。，一般取均值点。,.,.1nixxxX 根据确定中心点、水平系数根据确定中心点、水平系数 f 和随机变量的标准差和随机变量的标准差 ，确，确定其余试验点定其余试验点 。,.,.1niixfxxi 例：已知随机变量例：已知
40、随机变量x1 和和x 2的均值分别为的均值分别为12和和8，标准差分别，标准差分别2 和和1，水平系数，水平系数 f 2，用中心复合法确定其试验点。用中心复合法确定其试验点。中心点：中心点：12,8复合点：复合点：12+22,8，12-22,8，12,8+21，12,8-21。x1x2mjjjZy12min)(niniijiijijjxcxbaXgZ112)(mjjjZy12)(令令设函数 中含有个k（k2n1）待定系数 （），则有0)()(1jXXlmjjjlXfXgyjZlkl,.,1解上述方程组，便可获得个k待定系数 （）。lkl,.,1),.,.(1111nixxxgZ),.,.(11
41、11niixfxxgZ(3)利用试验确定功能函数 以及 得到2n1个点的估计值，其中系数f在第一轮估计中取2或3，在以后的 迭代计算中取1；(1)响应函数选取 niniiiiixcxbaXg112)(4)采用优化法取得相应面函数中的待定系数，得到二次多项式近似的功能函数，从而确定结构的极限状态方程；kX*k(5)利用验算点法（JC法）求解验算点 和可靠度指标 ；(2)假定中心点),.,.(11111nixxxX ，采用中心复合法确定其它试验点 ，总计2n+1个；),.,.(1111niixfxx(6)判断收敛条件：是否满足(为收敛精度)，如果不满足，则用插值法确定新的中心点：1kk)()()(
42、)(*kkkkkkkMXgXgXgXXXX(7)然后重复步骤(2)（6）进行下一轮迭代，直至满足收敛条件。kMX此插值可使 较 更接近极限状态曲面。kX*kMXkX*kX)(1kXgZ)(*2kXgZ Z0)(3kMXgZ)()()()(*kkkkkkXgXgXXXXMM)()()()(*kkkkkkkMXgXgXgXXXXX1X1Z),(21XXgZ 响应面函数选取响应面函数选取试验设计试验设计系数确定系数确定判断收敛条件判断收敛条件niniiiiixcxbaXg112)(结束结束是是否否可靠指标计算可靠指标计算响响应应面面函函数数选选取取试试验验设设计计例例 3.5已知某构件截面的功能函数
43、为已知某构件截面的功能函数为试采用响应面计算其可靠指标。试采用响应面计算其可靠指标。001.01X0002.01X2502X5.372X321102110476823.746154.18),(XXXXg 和和 都都服从正态分布，其分布参数分别：服从正态分布，其分布参数分别：1X2X 计算过程计算过程:(1)选取响应面函数选取响应面函数niniiiiixcxbaXg112)(),3(211XXX),3(211XXX)3,(221XXX)3,(221XXX(3)计算试验点对应的功能函数值计算试验点对应的功能函数值2222112211)(xcxcxbxbaXg(2)确定试验点确定试验点),(),(2
44、112111XXxxX),.,.(1111niixfxx(4)计算响应面函数中的待定系数计算响应面函数中的待定系数(5)根据响应面功能函数采用根据响应面功能函数采用JC法计算其可靠指标和验算点法计算其可靠指标和验算点9890.118.175,00104.0,1*21*11*XXX(6)判断计算精度是否满足要求判断计算精度是否满足要求001.0019890.101(22)计算新的试验中心点和其余试验点计算新的试验中心点和其余试验点)()()()(*kkkkkkkMXgXgXgXXXX)()()()(1*11111*11121XgXgXgxxxx)()()()(1*11121*21222XgXgX
45、gxxxx),.,.(2221niixfxx(32)计算试验点对应的功能函数值计算试验点对应的功能函数值(42)计算响应面函数中的待定系数计算响应面函数中的待定系数(52)根据响应面功能函数采用根据响应面功能函数采用JC法计算其可靠指标和验算点法计算其可靠指标和验算点3898.223.170,00122.0,2*22*12*XXX(62)判断计算精度是否满足要求判断计算精度是否满足要求4008.09890.13898.212试验点试验点功能函数值功能函数值待定系数待定系数2990.233.165,00109.0,3*23*13*XXX0908.03898.22990.223试验点试验点功能函数
46、值功能函数值待定系数待定系数2984.243.165,00109.0,3*23*13*XXX0006.02990.22984.2342984.2%24.2%100|*err3511.2*精确解：精确解：-根据可靠指标的几何意义：结构可靠指标时在标准正态空根据可靠指标的几何意义：结构可靠指标时在标准正态空间中坐标原点到失效面的最短距离，因此可把求解可靠指间中坐标原点到失效面的最短距离，因此可把求解可靠指标的问题转化为一个有约束的优化问题。标的问题转化为一个有约束的优化问题。12()(,)nZg Xg X XXl 假定构件功能函数（非线性）假定构件功能函数（非线性）是是相相互互独独立立的的正正态态
47、随随机机变变量，量，其其相相应应的的均均值值和和标标准准差差为为 和和 。将随机变量标准化将随机变量标准化iiXXiiXU),.,()(21nUUUgUgZ12()(,)nZg Xg XXX结构可靠指标的求解问题可转化为下面的约束优化问题：结构可靠指标的求解问题可转化为下面的约束优化问题：niiU12min0),.,()(21nUUUgUgs.t.采用不同的优化方法可以得到不同求解结构可靠指标的优化法。采用不同的优化方法可以得到不同求解结构可靠指标的优化法。用拉格朗日（用拉格朗日（Lagrange）乘子法求解该问题乘子法求解该问题 拉格朗日函数：拉格朗日函数：),.,(2112nniiUUUg
48、UL拉格朗日乘子拉格朗日乘子。由极值条件可知由极值条件可知0),.,(21nUUUgL02iiiUgUULni,.,2,1联立求解上述方程组可得联立求解上述方程组可得 ，则可靠指标为，则可靠指标为,.,*2*1nUUU2/11*)(niiU -若若r 是是 0,1上的均匀随机数，则通过上式上的均匀随机数，则通过上式计算的计算的x值是随机变量值是随机变量X 的一个抽样值。的一个抽样值。-通过随机变量分布函数的反函数，结合通过随机变量分布函数的反函数，结合0,1上的均匀随机上的均匀随机数确定随机变量取值的一种方法称为反函数法。数确定随机变量取值的一种方法称为反函数法。-设设X为服从连续分布的随机变
49、量，其分布函数为为服从连续分布的随机变量，其分布函数为 ，在给定在给定 时，则相应于时，则相应于r 的的x值为值为)(xFXrxFX)()(1rFxX-其中：其中：为为 的反函数的反函数)(1XF)(XF()XFxx01ixir结构可靠度计算直接蒙特卡洛法结构可靠度计算直接蒙特卡洛法-对功能函数中所以随机变量进行随机抽样，根据随机变量对功能函数中所以随机变量进行随机抽样，根据随机变量的抽样值进行结构功能函数值的抽样值进行结构功能函数值 的计算，根据结构的计算，根据结构可靠度基本理论可知当功能函数可靠度基本理论可知当功能函数 时，结构可靠，当功时，结构可靠，当功能函数能函数 时，结构处于极限状态
50、，当功能函数时，结构处于极限状态，当功能函数 时，时，结构失效；若进行结构失效；若进行N次随机模拟抽样计算，功能函数小于零次随机模拟抽样计算，功能函数小于零的次数为的次数为 ，则结构的失效概率则结构的失效概率 的估计值的估计值 为为)(xgZ 0Z0Z0ZfnfPfPNnPff-由波雷尔大数定律可以证明由波雷尔大数定律可以证明1limffNPNnPfPfP-结构的失效概率结构的失效概率 以概率以概率1收敛于收敛于 。2.根据下面的计算公式确定进行随机模拟的总次数根据下面的计算公式确定进行随机模拟的总次数N。100fNP3.采用随机变量的抽样法对所以随机变量进行随机抽样采用随机变量的抽样法对所以
