1、 2022-2023 学年度高三年级第一学期暑期质量监测（四）学年度高三年级第一学期暑期质量监测（四）数数 学学 试试 题题 （考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题：）一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1.M，P 是两个非空集合，定义 M 与 P 差集为：|,MPx xM=且xP，则()MMP等于（）.A.P B.MP C.MP D.M 2.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函
2、数()f x在闭区间,a b上的图象连续不间断，在开区间(,)a b内的导数为()fx，那么在区间(,)a b内至少存在一点 c，使得()()()()f bf af c ba=成立，其中 c 叫做()f x在,a b上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数3()3f xxx=在 2,2上的“拉格朗日中值点”的个数为（）.A.3 B.2 C.1 D.0 3.在平面直角坐标系中，角，R，且以 Ox 为始边，则“”是“角，以 Ox 为终边”的（）.A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列图象可以作为函数2()xf xxa=+的图象的有（）
3、.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为13，刚开始时，棋子在上底面点 A 处，若移了 n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为.np则5p=（）.A.5111()432+B.611()32+B.611()32 D.5111()232+6.某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线 l 上取长度为 2 的线段 AB，并作等边三角形 ABC，第一次画线：以点 B 为圆心、BA 为半径逆时针画圆弧，交线段CB 的延长线于点 D；第二次画线：以点 C 为圆心、CD 为半径逆时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点 E
4、；以此类推，得到的螺线如图所示，则（）.A.第二次画线的圆弧长度为43 B.前三次画线的圆弧总长度为4 C.在螺线与直线 l 恰有 4 个交点(不含 A 点)时停止画线，此时螺线的总长度为30 D.在螺线与直线 l 恰有 6 个交点(不含 A 点)时停止画线，此时螺线的总长度为60 7.若a，b，(0,1)c，且22aaee=，33bbee=，2ln 2cce=，则（）.A.bac B.abc C.bca D.cab 8.将 方 程23sincos3sin3xxx+=的 所 有 正 数 解 从 小 到 大 组 成 数 列 nx，记1cos()nnnaxx+=，则12aa+2021a+=（）.A
5、.34 B.24 C.36 D.26 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9.下列命题正确的有（）.A.若均为 R 上的增函数，则也是 R 上的增函数 B.若函数2()21f xaxx=+的定义域为 R，值域为0,),+则1a=C.命题“0 x，使得2+3 0axax”的否定是“0 x，使得2+30axax”
6、D.()f x是定义在 R 上的奇函数，当(,0)x 时，2()2f xxx=+，则(0,)x+时，2()2f xxx=10.在ABC中，已知tansin()2CAB=+，则以下四个结论正确的是（）.A.coscosAB最大值12 B.sinsinAB+最小值 1 C.tantanAB+的取值范围是2,)+D.222sinsinsinABC+为定值 11.红星照耀中国，五角星有着丰富的数学内涵与文化.如图所示，正五边形 ABCDE 的边长为1a，正五边形11111ABC D E的边长为2a，正五边形22222A B C D E的边长为3a，依次下去，正五边形11111nnnnnABCDE的边长
7、为na，记ACE=，则下列结论中正确的是（）.A.na是公比为352的等比数列 B.B.na是公比为512的等比数列 C.C.51cos4+=D.D.对任意R，coscos(2)cos(4)cos(6)cos(8)0+=12.已知sin21()sincos2xf xxx+=+，则（）.A.()f x的图像关于直线4x=对称 B.B.()f x在上递增 C.C.()f x的值域是0,22+D.D.若方程8()3f x=在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为1x，2x，nx，则12322xxx+12115nnxx+=三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分
8、，共分，共 2020 分分 13.已知函数()sin()cos(0)6f xxx=+，将()f x图象上的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数()g x的图象()g x的部分图象如图所示(,D C分别为函数的最高点和最低点)，其中2|2ADCA CB=，则的值为 .14.已知a,b为正实数，直线yxa=与曲线ln()yxb=+相切于点00(,)xy，则11ab+最小值是 .15.已知定义在 R 上的函数()sin()(0)f xAx=+振幅为 2，满足212xx=，且21()()3f xf x=，则在(0,102)上()f x零点个数最少为 .16.已知函数12()lnxf xe
9、xxxax=+满足()0f x恒成立，则实数 a 的取值范围是 .四、解答题：本题共四、解答题：本题共6 6小题，共小题，共7070分分.请在请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说，解答时应写出文字说明、证明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知(2cos(),cos),(cos,2sin()22mxx nxx=+=+，且函数()1f xm n=+，（1）设方程()10f x =在(0,)内有两个零点1x，2x，求12()f xx+的值；（2）若把函数()yf x=的图象向左平移3个单位，再向上平移 2 个单位，得函数()g x图象
10、，求函数()g x的对称中心.18.（本小题满分 12 分）已 知 数 列 na满 足123aa+23(21)32nnnna+=，*nN，记12nSaa=+.na+（1）求na和nS；（2）证明：11(123+1)ln1.nSnn+19.（本小题满分 12 分）已知na是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为nS，12a=，且2a，4a，8a成等比数列.（1）求na和nS；（2）若，前 n 项和为nT，且1nmTn+对*nN恒成立，求实数 m 取值范围.20.（本小题满分 12 分）已知函数()(2)ln().xf xxeaxax aR=+（1）当1a=时，求函数()f x的单调区间;（2
11、）讨论()f x的零点个数.21.（本小题满分 12 分）已知A是锐角ABC的内角，函数()sin()sin()2f xxxA=+的最大值为1.4（1）求A的大小;（2）若1()2()2g xf x=+，关于 x 的方程22()()10g xm g x+=在(,)12 2内有两个不同的解，求实数 m 的取值范围.22.（本小题满分 12 分）已知函数，.aR（1）讨论()f x的单调性；（2）若12a，求证：2022-2023 学年度高三年级第一学期暑期质量监测（四）学年度高三年级第一学期暑期质量监测（四）数学数学 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 审核：23.(2020 全国 同步练习)
12、设 M，P 是两个非空集合，定义 M 与 P 的差集为：|,MPx xM=且xP，则()MMP等于()A.P B.MP C.MP D.M【答案】B 【知识点】集合的新定义问题【解析】【分析】本题考查了集合的新定义问题 分MP=与MP 进行讨论即可【解答】解：当MP=时，任意xM都有xP，MPM=，()MMPMP=；当MP 时，MP表示了在 M 中但不在 P 中的元素，()MMP表示了在 M 中但不在MP中的元素，MP中的元素都不在 P 中，所以()MMP中的元素都在 P 中，()MMP中的元素都在MP中，().MMPMP=故选：.B 24.(2022 安徽省合肥市 期中考试)拉格朗日中值定理是
13、微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数()f x在闭区间,a b上的图象连续不间断，在开区间(,)a b内的导数为()fx，那么在区间(,)a b内至少存在一点 c，使得()()()()f bf af c ba=成立，其中c 叫做()f x在,a b上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数3()3f xxx=在 2,2上的“拉格朗日中值点”的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B 【知识点】导数的加、减法运算、导数的新定义问题【解析】【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键是弄懂题意，将问题转化为熟悉的知识进行求解，考查了运算能力，属于中档题 根据题中给出的“拉格朗日中
14、值点”的定义分析求解即可【解答】解：函数3()3f xxx=，则有(2)2f=，(2)2f=，2()33fxx=，由(2)(2)()(22)fff c=+，可得()1f c=，即2331c=，解得2 3 2,23c=，()f x在 2,2上的“拉格朗日中值点”的个数为2.故选：.B 25.(2022 体验省 单元测试)在平面直角坐标系中，角，R，且以 Ox 为始边，则“”是“角，以 Ox 为终边”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【知识点】诱导公式+2k 型、充分、必要、充要条件的判断【解析】【分析】本题考查了充分条件和必要
15、条件的定义，正余弦函数值的性质及诱导公式，属于中档题.根据充分条件和必要条件的定义，结合正余弦函数值的性质及诱导公式，分析即可得出结论.【解答】解：若，推不出角，以 Ox 为终边，如：2=，则，故充分性不成立，若角，以 Ox 为终边，则，则，故角，以 Ox 为终边能推出，故必要性成立，所以“”是“角，以 Ox 为终边”的必要而不充分条件.故选：.B 26.(2021 北京市 月考试卷)下列图象可以作为函数2()xf xxa=+的图象的有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】C 【知识点】奇偶函数图象特征的应用、函数图象的识别【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，考查分类
16、讨论思想的应用，函数的奇偶性的判断，是中档题 通过 a 与 0 的大小，分类讨论，通过函数的奇偶性判断求解即可【解答】解：当0a 时，如取4a=，则2()4xf xx=，其定义域为：|2x x ，它是奇函数，图象是，所以是正确的；当0a 时，如取1a=，2()1xf xx=+，其定义域为 R，它是奇函数，当0 x，1()1f xxx=+，当1xx=即1x=，()f x取得最大值12 图象符合要求所以是正确的；当0a=时，则1()f xx=，其定义域为：|0 x x，它是奇函数，图象是，所以是正确的 故选：.C 27.(2021 江苏省 模拟题)如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一
17、个顶点的概率均为13，刚开始时，棋子在上底面点 A处，若移了 n 次后，棋子落在上底面顶点的概率记为.np则5p=()A.5111()432+B.611()32+C.611()32 D.5111()232+【答案】D 【知识点】根据数列的递推公式求通项公式、等比数列的判定或证明、等比数列的通项公式、相互独立事件的概率乘法公式、概率的基本性质的综合应用【解析】【分析】本题考查了概率问题的求解，解题的关键是得到1np+与np之间的关系，考查了等比数列定义以及通项公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于拔高题 根据题意，表示出移了1n+次后棋子落在上底面顶点的概率1np+与移了 n 次后棋
18、子落在上底面顶点的概率np之间的关系，由此构造新数列12np 是等比数列，求出通项公式，即 可得到答案【解答】解：由题意可知，123p=，222125(1)33339p=+=，移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率记为np，故落在下底面顶点的概率为1np，于是移了1n+次后棋子落在上底面顶点的概率为12111(1)3333nnnnpppp+=+=+，1111()232nnpp+=，12np是等比数列，首项为16，公比为13，则1111()263nnp=，111223nnp=+，55111.223p=+故选：.D 28.(2021 全国 月考试卷)某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平
19、直线 l 上取长度为 2 的线段 AB，并作等边三角形 ABC，第一次画线：以点 B 为圆心、BA 为半径逆时针画圆弧，交线段 CB 的延长线于点 D；第二次画线：以点 C 为圆心、CD 为半径逆时针画圆弧，交线段 AC 的延长线于点 E；以此类推，得到的螺线如图所示，则()29.A.第二次画线的圆弧长度为43 B.前三次画线的圆弧总长度为4 C.在螺线与直线 l 恰有 4 个交点(不含 A 点)时停止画线，此时螺线的总长度为30 D.在螺线与直线 l 恰有 6 个交点(不含 A 点)时停止画线，此时螺线的总长度为60【答案】D 【知识点】弧长及扇形面积 【解析】【分析】本题考查了扇形的弧长公
20、式，考查了逻辑推理能力与计算能力，属于拔高题 根据题意，找到螺线画法的规律，由此对选项逐一分析，从而得到答案【解答】解：第 1 次画线：以点 B 为圆心，2r=，旋转23，划过的圆弧长为24233=；第 2 次画线：以点 C 为圆心，4r=，旋转23，划过的圆弧长为28433=，故选项 A错误，交 l 累计 1 次；第 3 次画线：以点 A 为圆心，6r=，旋转23，划过的圆弧长为2126433=，故选项 B 错误，交 l 累计 2 次；第 4 次画线：以点 B 为圆心，8r=，旋转23，划过的圆弧长为216833=；第 5 次画线：以点 C 为圆心，10r=，旋转23，划过的圆弧长为2201
21、033=，交 l 累计 3 次；前 5 次累计画线481216202033333+=，第 6 次画线：以点 A 为圆心，12r=，旋转23，划过的圆弧长为22412833=，交 l 累计 4 次，累计画线20828+=，故选项 C 错误；第 7 次画线：以点 B 为圆心，14r=，旋转23，划过的圆弧长为2281433=；第 8 次画线：以点 C 为圆心，16r=，旋转23，划过的圆弧长为2321633=，交 l 累计 5 次；第 7 次画线：以点 A 为圆心，18r=，旋转23，划过的圆弧长为236181233=，交 l 累计 6 次，累计画线283228126033+=，故选项 D 正确
22、故选：.D 30.(2022 全国 月考试卷)已知实数 a，b，(0,1)c，e 为自然对数的底数，且22aaee=，33bbee=，2ln 2cce=，则 31.()A.bac B.abc C.bca D.cab【答案】A 【知识点】利用导数比较大小【解析】【分析】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题 根据题意可得22aeea=，33beeb=，24ln2ln4cec=，令()xef xx=，(0)x，求导分析单调性，即可得出答案【解答】解：由22aaee=，33bbee=，2ln2cce=得22aeea=，33beeb=，24ln2ln4cec=，构造函数()(0)xef
23、 xxx=，求导得2(1)()xexfxx=令()0fx=，得1.x=当(0,1)x时，()0fx，()f x单调递减;当(1,)x+时，()0fx，()f x单调递增.因为1ln423，所以(ln4)(2)(3)fff，即()()()f cf af b，又因为 a，b，(0,1)c，()f x在(0,1)上单调递减，所以.bac 32.(2021 安徽省亳州市 单元测试)将方程23sincos3sin3xxx+=的所有正数解从小到大组成数列 nx，记1cos()nnnaxx+=，则12aa+2021a+=()A.34 B.24 C.36 D.26【答案】C 【知识点】降幂公式、三角恒等变换的
24、综合应用、求数列的通项公式、由一个三角函数值求其他三角函数值、二倍角余弦公式、逆用两角和与差的余弦公式、逆用两角和与差的正弦公式、二倍角正弦公式、正弦（型）函数的周期性【解析】【分析】本题考查三角恒等变换，数列的函数特征.化 简 得，则314220212019xxxxxx=，所 以122021202121cos()aaaaxx+=，再由三角恒等变换求解即可.【解答】解：23sin cos3sin3xxx+=，得，得1333sin2cos22223xx+=，则，令，则()f x的周期T=，由()f x的周期性，对称性知，314220212019xxxxxx=，即32214332202120202
25、0202019()()()()()()xxxxxxxxxxxx+=+=+=，则1234201920202132cos()cos()0aaaaaaxxxx+=+=+=+=，所以1220212021aaaa+=，因为20212022202121cos()cos()axxxx=，而，由题意，易得12250,x6 36x，则12033x，242x33 得，则，即，得，又(0)sin()03f=，则212xx，则 则2021213cos().6axx=故选.C 33.(2021 江苏省南通市 单元测试)下列命题正确的有()A.若均为 R 上的增函数，则()()yf xg x=+也是 R 上的增函数 B.
26、若函数2()21f xaxx=+的定义域为 R，值域为0,),+则1a=C.命题“0 x，使得2+3 0axax”的否定是“0 x，使得2+30axax”D.已知()f x是定义在 R 上的奇函数，当(,0)x 时，2()2f xxx=+，则(0,)x+时，函数解析式为2()2f xxx=【答案】ABC 【知识点】幂函数的定义域与值域、已知函数的值域求参或定义域、一元二次函数的图象与性质、利用函数的奇偶性求解析式、全称量词命题与存在量词命题的否定、判断或证明函数的单调性、命题的概念与真假【解析】【分析】本题考查命题的真假，涉及函数的单调性、不等式的性质、命题的否定和奇偶性，属于拔高题.利用函数
27、的单调性的定义、不等式的性质、命题的否定和奇偶性的性质对选项逐个判断即可.【解答】解：对于 A、任取1212,x xR xx，则1211221212()()()()()()()()yyf xg xf xg xf xf xg xg x=+=+，因为()yf x=，()yg x=均为 R 上的增函数，则1212()()0,()()0f xf xg xg x，故120yy，即12yy，故()()yf xg x=+也是 R 上的增函数，故 A 正确；对于 B、函数2()21f xaxx=+的定义域为 R，值域为0,),+所以，正确；对于 C、由含有量词的命题否定的定义可知正确；对于 D、(0,)x+时
28、，(,0)x ，则22()()()2()2f xfxxxxx=+=+，故 D 错误，故选.ABC 34.在ABC中，已知tansin()2CAB=+，则以下四个结论正确的是()A.coscosAB最大值12 B.sinsinAB+最小值 1 C.tantanAB+的取值范围是2,)+D.222sinsinsinABC+为定值【答案】ACD 【知识点】利用同角三角函数基本关系化简、由基本不等式求最值或取值范围、三角恒等变换的综合应用、求正弦型函数的值域或最值、逆用两角和与差的正弦公式、利用诱导公式化简【解析】【分析】本题考查诱导公式，两角和与差的正弦函数，三角函数中的恒等变形，基本不等式等，属于
29、中档题.由ABC中三个内角和为，结合tansin()2CAB=+，可得.2CAB=+=对于 A，由题意 化 简 得1coscossin22ABA=，进 而 可 判 断；对 于B，化 简 得，进而可判断;对于 C，化简得sincostantancossinAAABAA+=+，进而由基本不等式可判断;对于 D，化简得222222sinsinsinsincossinABCAAC+=+，进而可判断.【解答】解：ABC+=，sin()sin.ABC+=又2sin2sincossinsin()222tansin()21cos1coscos2cos22CCCCCABABCCCC+=+，cos0C=，即2C=
30、，.2AB+=对于 A，因为，所以，所以 当且仅当4A=时，coscosAB最大值12，故 A 正确；对于 B，因为，所以，所以 故sinsinAB+取不到最小值 1，故 B 错误；对于 C，sinsintantancoscosABABAB+=+sincossincos22cossincossinAAAAAAAA=+=，当且仅当sincoscossinAAAA=，即4A=时等号成立，故tantanAB+的取值范围是2,),+故 C 正确；对于 D，222222sinsinsinsincossin2ABCAAC+=+=，故 D 正确.35.(2021 全国 模拟题)红星照耀中国，五角星有着丰富的
31、数学内涵与文化.如图所示，正五边形 ABCDE 的边长为1a，正五边形11111ABC D E的边长为2a，正五边形22222A B C D E的边长为3a，依次下去，正五边形11111nnnnnABCDE的边长为na，记ACE=，则下列结论中正确的是()36.A.na是公比为352的等比数列 B.na是公比为512的等比数列 C.51cos4+=D.对任意R，coscos(2)cos(4)cos(6)cos(8)0+=【答案】ACD 【知识点】等比数列的判定或证明、三角恒等变换的综合应用【解析】【分析】本题考查三角函数的综合运用与等比数列的性质，属于难题.本题关键在于求 cos36的值以及其
32、满足的代数方程，先利用36的特性，列出方程sin(3 36)sin(2 36)=，解得cos36的值以及方程24cos 362cos3610=，利用结论以及正五边形的几何特性，结合三角恒等变换公式，逐一判断选项即可.【解答】解：根据题意，先求cos36.设36t=，则5180t=，即31802.tt=从而sin3sin2tt=，展开得22sin(cossin)cos(2sin cos)2sin costttttttt+=，化简得24cos2cos10tt=，解方程得15cos(4t+=负值舍去)，即15cos36.4+=如图，11152cos362nnnnBEaa+=，而11112nnnnnB
33、EBDa+=+，又1111nnnnnnADaACa+=，从而11nnnnBDAD=1111111(15)2nnnnnnnnnaaaACBEaa+=，将代入得11(15)15222nnnaaa+=+，化简得到1235nnaa+=，所以135(22nnana=，且*)nN，从而 A 正确，B 错误；由正五边形性质，2.ACEBCDDCE=而118018010836.22CADDCEBDC=从而1082 3636ACE=，故51coscos364+=，C 正确；由于36=，故5180.=从而coscos(2)cos(4)cos(6)cos(8)+coscos(3)cos()cos()cos(3)=+
34、coscos3 cossin3 sincoscossinsincoscossinsin=+cos3 cossin3 sin+cos2cos3 cos2coscos=cos2cos2 cos2coscos=+cos(12cos22cos)=+2cos 12(2cos1)2cos=+2cos(4cos2cos1).=又由知36t=时 24cos2cos10tt=，从而coscos(2)cos(4)cos(6)cos(8)+2cos(4cos2cos1)0=，故 D 正确.故选.ACD 37.(2021 湖北省黄冈市 模拟题)已知sin21()sincos2xf xxx+=+，则()A.()f x的
35、图像关于直线4x=对称 B.()f x在上递增 C.()f x的值域是0,22+D.若方程8()3f x=在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为1x，2x，nx，则12322xxx+12115nnxx+=【答案】ACD 【知识点】利用导数判断或证明已知函数的单调性、函数的对称性、求正弦（型）函数的对称轴、对称中心、利用导数求函数的最值（不含参）、正弦(型)函数的零点、正弦（型）函数的周期性、利用诱导公式化简【解析】【分析】本题考查辅助角公式的应用，函数的对称性、单调性的分析以及函数的值域和零点问题，属于难题.首先将函数化简，分析()4fx+和()4fx是否相等判断 A；令sin()4tx=+，
36、利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 和 极 值 判 断;BC由，解得2 2sin()43x+=，再根据方程8()3f x=在上的相邻实根关于对称轴对称进行分析.D【解答】解：，()()44fxfx=+，所以选项 A 正确；令sin()4tx=+，则(,0)2x 时，易知 t 随 x 单调递增，且22(,)22t，设22()2th tt=+，则 当2(,0)2t 时，()0h t，()h t单调递减，则此时()f x在(,0)2x 时单调递减，不符合题意，故 B 错误；当xR时，1,1t，由以上可知，当 1,0)t 时，()0h t，()h t单调递减，当(0,1t时，()0h t，
37、()h t单调递增，所以min()(0)0h th=，而2(1)2212h=+，2(1)2212h=+，所以()0,22h t+，从而得到()f x值域是0,22.+故 C 正确;由，解得2 2sin()(43x+=或2 2舍弃)令42xk+=+得4xk=+，kZ，即()f x的对称轴方程为4xk=+，.kZ()f x的最小正周期为2T=，4504x，12524xx+=，23924xx+=，341324xx+=，14124nnxx+=，将以上各式相加得：12322xxx+1591322(444nnxx+=+5414144)210115.42+=故选.ACD 38.已知函数()sin()cos(
38、0)6f xxx=+，将()f x图象上的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x的图象()g x的部分图象如图所示(,D C分别为函 数的最高点和最低点)，其中2|2ADCA CB=，则的值为_ 【答案】【知识点】正弦型函数的图象变换、由部分图象求三角函数解析式、向量的数量积的概念及其运算、两角和与差的正弦公式、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)【解析】【分析】本题考查函数sin()yAx=+的解析式的确定，考查向量的数量积的运算及其应用，三角函数的图象平移变换，属于拔高题.由题意知1()3sin()23g xx=+，再利用2|2ADCA CB=，得到1cos2AC
39、B=，求得 T的值，进而求得.【解答】解：33sincos22xx=+，将()f x图象上的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变时)，得到()g x的图象，D、C 分别为函数的最高点和最低点，DAACCB=，由2|2ADCA CB=，得 1cos2ACB=，ACB为正三角形，又ACB的高为3，2 24T=，24412=，.=故答案为：.39.(2021 安徽省芜湖市 单元测试)已知 a，b 为正实数，直线yxa=与曲线ln()yxb=+相切于点00(,)xy，则11ab+的最小值是_.【答案】4 【知识点】由基本不等式求最值或取值范围、简单复合函数的导数、已知切线（斜率、倾斜角）求参数【解析
40、】【分析】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力.由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得01xb=、00y=，进而可得1ba+=，再利用1111()()ababab+=+，结合基本不等式即可得解.【解答】解：对ln()yxb=+求导得1yxb=+，因为直线yxa=与曲线ln()yxb=+相切于点00(,)xy，所以011xb=+即01xb=，所以00ln()ln(1)0yxbbb=+=+=，所以切点为(1,0)b，由切点(1,0)b在切线yxa=上，可得10ba=，即1ba+=，所以1111()()ababab+=+2224bab aaba b=
41、+=，当且仅当12ba=时，等号成立.所以11ab+的最小值是4.故答案为4.40.(2021 全国 联考题)已知定义在 R 上的函数()sin()(0)f xAx=+振幅为 2，满足212xx=，且21()()3f xf x=，则在(0,102)上()f x零点个数最少为_.【答案】16 【知识点】正弦(型)函数的零点、振幅、周期、频率、相位、初相【解析】【分析】本题主要考查了函数零点的个数，以及三角函数的周期，同时考查了分析问题的能力、推理能力和运算求解的能力，属于较难题 要使零点个数最少，周期就要尽可能地大，所以2x，1x应为两个相邻的满足()3f x=的实数，从而求出周期，为了使区间内
42、零点最少，将第 1 个零点放在原点，从而可求出所求 【解答】解：因为振幅为 2，所以2A=，因为212xx=，且21()()3f xf x=，要使零点个数最少，周期就要尽可能地大，所以2x，1x应为两个相邻的满足()3f x=的实数，即123sin()23sin()2xx+=+=，所以212()333xx=，即6=，周期212T=，为了使区间内零点最少，将第 1 个零点放在原点，因为102 128.5=，所以，最后 1 个零点恰好在102x=处，不在区间(0,102)中，只计区间内的零点个数，所以零点个数为2 816.=故答案为：16.41.(2022 山西省 自主招生题)已知函数12()ln
43、xf xexxxax=+满足()0f x恒成立，则实数 a 的取值范围是_.【答案】(,0 【知识点】利用导数研究恒成立与存在性问题【解析】【分析】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性与最值，考查常见函数的放缩，构造法的应用，考查转化思想，属于中档题 根据题意，分离参数，构造函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，可得判断最值及成立条件，即可求得 a 的取值范围【解答】解：由()0f x，得12lnxax exxx+，得1lnxeaxxx+恒成立，设1()lnxeg xxxx=+，则1 ln()lnxxg xexx=+，对于()1xh xex=，()1xh xe=，则当0 x 时，(
44、)0h x，当0 x 时，()0h x，所以()h x在(,0)上单调递减，在(0,)+上单调递增，所以()(0)0h xh=，即1xex+，所以1 ln1ln1xxexx +，所以1 ln()ln(1ln1)ln0 xxg xexxxxxx=+=，当且仅当1ln0 xx=，即1lnxx=+，1x=时，取“=”号，故0a，a 的取值范围是(,0,故答案为：(,0.42.(2019 安徽省合肥市 单元测试)已知(2cos(),cos),(cos,2sin()22mxx nxx=+=+，且函数()1f xm n=+，(1)设方程()10f x =在(0,)内有两个零点1x，2x，求12()f xx
45、+的值；(2)若把函数()yf x=的图象向左平移3个单位，再向上平移 2 个单位，得函数()g x图象，求函数()g x的对称中心.【答案】解：(1)()2cos()cos2cos sin()122f xxxxx=+2sin cos2cos cos1xxxx=+sin21cos212cos(2)24xxx=+=+，而()10f x =，得：2cos(2)42x+=，而(0,)x，92(,)444x+，得：或，所以123()()4f xxf+=32cos()23.24=+=(2)()2cos(2)24f xx=+左移3，可得112cos(2)212yx=+，上移 2 个单位可得11()2cos
46、(2)412g xx=+，令，解得，则()g x的对称中心为5(,4)224k，【知识点】向量数量积的坐标运算、求余弦（型）函数的对称轴、对称中心、余弦型、正切型函数的图象变换、三角恒等变换的综合应用、由余弦（型）函数的对称性求参数、正弦(型)函数的零点【解析】本题主要考查了辅助角公式，三角函数图象与性质，三角恒等变换，属于较综合的中档题(1)先通过向量坐标运算结合辅助角公式可得()2cos(2)24f xx=+，故可解得两个零点12,x x，代入即可求解.(2)根据三角函数图象的平移变换法则，求出平移后函数的解析式，通过余弦函数的性质可得函数()g x的对称中心.43.(2020 浙江省 单
47、元测试)已知数列 na满足123aa+23(21)32nnnna+=，*nN，记12nSaa=+.na+44.()求na和nS；45.()证明：11(123+1)ln1.nSnn+【答案】解：()I数列 na满足123aa+23(21)32nnnna+=，*nN，2n时，123aa+1121(23)32nnnna+=，*nN，21(21)2nnnna=，解得1.2nna=1n=时，151322a=，对于上式也成立 1.2nna=12nSaa=+21122na+=+11(1)11221.12212nnn+=()证明：先证明ln1(01).xxx 令()ln1f xxx=+，11()1xfxxx=
48、，当01x时，()0fx，即函数()f x在区间(0,1)上单调递增，()(1)0f xf=，即ln1(01).xxx 令1nxn=+，则ln111nnnn+，化为：1ln(1)ln.1nnn+分别令1n=，2，1n，则：1ln2ln12，1ln3ln23，1lnln(1)nnn，11ln23n+1.n+111ln123n+1.n+11(123+111)(123nSn+=+1111)(1)1223nn+1ln1.nn+【知识点】裂项相消法求和、对数式的化简求值与证明、等比数列的前 n 项和公式、利用导数解（证明）不等式、数列与不等式、数列的前 n 项和及 Sn 与 an 的关系【解析】本题考查
49、了利用导数研究函数的单调性、构造法、数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题()I数 列 na满 足123aa+23(21)32nnnna+=，*nN，2n时，123aa+1121(23)32nnnna+=，*nN，相减可得：21(21)2nnnna=，解得1.12nnan=时也成立利用等比数列的求和公式可得.nS()先证明ln1(01).xxx令()ln1f xxx=+，利用导数研究函数的单调性即可证明 结论令1nxn=+，可得ln111nnnn+，即可：1ln(1)ln.1nnn+利用累加求和方法可得：111ln123n+1.n+进而证明结论 46.(2
50、022 北京市 月考试卷)已知na是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为nS，12a=，且2a，4a，8a成等比数列.(1)求na和nS；(2)若，数列nb的前 n 项和为nT，且1nmTn+对任意的*nN恒成立，求实数 m 的取值范围.【答案】解：(1)设数列 na的公差为0d，由2a，4a，8a成等比数列，可得2428aaa=，2(23)(2)(27)ddd+=+，化为：220dd=，又0d，解得2.d=22(1)2.nann=+=2(22).2nnnSnn+=+(2)由题意可得：2111(2)2(1)1nnnbn nnn=+=+，数列 nb的前 n 项和为2(21)11112122
