1、第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集 合 高考数学 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性 : 确定性、互异性、无序性 . (2)常用数集及其表示符号 知识清单 名称 非负整数集 (自然数集 ) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或 N+ Z Q R 2.集合间的基本关系 定义 记法 集合 间的 基本 关系 相等 集合 A与集合 B中的所有元素都 相同 A=B 子集 集合 A中任意一个元素均为集合 B中的元素 A?B或 B?A 真子集 如果 A?B且 A B ,那么集 合 A称为集合 B的真子集 A?B或 B?A 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A B A
2、 B 若全集为 U,则集合 A的补集为 ?UA Venn 图 表示 意义 x|x A,或 x B x|x A,且 x B x|x U,且 x?A 性质 A ?=A; A A=A; A B=B A; A B=A? B?A A ?=?; A A=A; A B=B A; A B=A? A?B A (?UA)=U; A (?UA)=? 3.集合的基本运算 集合中的参数问题 含有参数的集合问题一般需要就参数的不同取值决定问题的不同走向 , 在解题中要进行分类讨论 ,确定分类讨论的标准是解决问题的关键 ,这 类题的难点就是分类讨论的标准 ,这要根据问题的实际情况进行分析解 决 .含参数的集合问题一般涉及方
3、程的解、不等式的解集、函数的定义 域和值域等知识 ,要结合有关的知识根据具体情况确定分类讨论的标准 . 例 1 已知集合 M=x|mx2+2x+1=0,a R. (1)若 M中只有一个元素 ,求 m的值 ; (2)若 M中至多有一个元素 ,求 m的取值范围 . 方法技巧 方法 1 解析 (1) m=0时 ,M= ,符合题意 ; m 0时 ,若 M中只有一个元素 ,则 =4-4m=0,即 m=1. m=0或 m=1. (2)M中至多有一个元素 ,包括两种情形 : M中有一个元素 ,由 (1)知 m=0或 m=1; M中没有元素 ,此时应有 解得 m1, 所以 m的取值范围是 m 1或 m=0.
4、12?0,4 4 0 ,m m? ? ?评析 本题要先搞清楚集合 M中的元素是方程的根 .其次找到分类的标 准 .解分类讨论问题实质上就是把整体化为局部来解决 ,从而增加条件 , 把难点分散 ,但分类讨论要做到不重复 ,不遗漏 . 集合的基本关系及应用 判断集合与集合的关系可转化为判断元素与集合的关系 .对于用描述法 表示的集合 ,要紧紧抓住代表元素及其属性 ,可将元素列举出来直观发 现 ,或通过元素特征定性分析 .应做到意义化 (分清集合的种类 )、具体化 (具体求出相关的集合并化简 )、直观化 (借助数轴、 Venn图、函数图象 等 ). 例 2 已知集合 A=x|1 x5,C=x|-ax
5、 a+3.若 C A=C,则 a的取值 范围为 . 方法 2 解题导引 C A=C C?A 分情况讨论 : C=?和 C ? 求出 a的范围 解析 因为 C A=C,所以 C?A. 当 C=?时 ,满足 C?A,此时 -a a+3,解得 a - ; 当 C ?时 ,要使 C?A, 则有 解得 - a -1. 由 ,得 a -1. 323,1,3 5,aaaa? ? ? ?32答案 a -1 评析 (1)要注意“ ?是任何集合的子集 ,是任何非空集合的真子集” 在解题中的应用 .在解决含有参数的方程或不等式的问题时 ,经常容易 漏掉对空集的讨论 . (2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件 ,一定要把端 点值代入进行验证 ,否则易出现增解或漏解的现象 . 集合中综合性运算问题 集合的综合性运算问题多与函数、方程、解析几何等问题相联系 ,解决 此类问题多利用数形结合的方法 ,即借助函数的图象以及解析几何中的 相关图形 ,根据函数图象的特点以及平面图形的直观性进行求解 . 例 3 设平面点集 A= (x,y) (y-x) 0 ,B=(x,y)|(x-1)2+(y-1)2 1,则 A B所表示的平面图形的面积为 . 1yx?方法 3
