1、2.5 对数与对数函数,考点对数与对数函数1.对数的概念一般地,如果ax=N(a0且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.积、商、幂的对数(M、N都是正数,a0且a1)(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga?=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(nR).3.对数的换底公式及对数恒等式(N是正数,a0且a1)(1)?=N(对数恒等式);(2)logaan=n(nR);,知识清单,(3)logaN=?(b0且b1);(4)logab=?(b0且b1);(5)logaN=lo?Nn(nR,n0).
2、4.对数函数的定义、图象及性质,5.两种重要的对数(1)常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,N的常用对数记作lg N.(2)自然对数:以无理数e=2.718 28为底的对数叫做自然对数,N的自然对数记作ln N.6.对数函数的性质在比较对数值大小中的应用(1)比较两个同底数的对数值的大小,例如比较loga f(x)与logag(x)的大小,其中a0且a1.(i)若a1,f(x)0,g(x)0,则loga f(x)logag(x)?f(x)g(x)0.(ii)若00,g(x)0,则loga f(x)logag(x)?0b0,且a1,b1.,(i)若ab1,如图1,则当f(x)1时,logb
3、f(x)loga f(x);当0logb f(x).? 图1,图2(ii)若1ab0,如图2,则当f(x)1时,logb f(x)loga f(x);当0logb f(x).(iii)若a1b0,如图3,则当f(x)1时,loga f(x)0logb f(x);当0f(x)1时,loga f(x)01时,loga f(x)logag(x)?f(x)g(x)0;当0logag(x)?00且a1).5.f(x)=?(f(x)0,a0且a1).例1(2017浙江宁波期末,11)若实数ab1,且logab+logba=?,则logab=,?=.,方法技巧,解题导引利用对数的性质判断logab的范围利用
4、换底公式把已知等式转化为关于logab的二次方程解方程得结论,解析ab1,0logab1,且a2,则u=a+3-ax在区间(0,3)上是减函数,且u(3-2a,a+3).而函数f(x)=log(a-1)(a+3-ax)在(0,3)上单调递增,故函数y=log(a-1)u在区间(3-2a,a+3)上是减函数,故0a-11且3-2a0,得1a?.,答案1a,例4(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,15)定义区间x1,x2(x11)的定义域为m,n(mn),值域为0,1.若区间m,n的长度的最小值为?,则实数a的值为.,解题导引作出函数y=|logax|的图象利用图象分类讨论求解即可,解析作出函数y=|logax|的图象(图略),要使定义域区间m,n的长度最小,则m,n=?或m,n=1,a.若1-?=?,则a=4,此时a-1=3,符合题意.若a-1=?,则a=?,此时1-?=?,不符合题意,所以a=4.,答案4,
