1、多媒体辅助教学课件*第1页，共30页。等差数列与等比数列基本公式 等差数列 an-an-1=d(常数)an=a1+(n-1)d a,A,b等差,则A=等比数列 an/an-1=q(常数)an=a1qn-1 a,G,b等比,则G2=ab Sn=2ba2)1(2)n(a11dnnnaanna1 (q=1)1q(,q1qaaq1)q1(an1n1 Sn=第2页，共30页。等差数列an,bn的性质:m+n=k+l,则am+an=ak+al;nk等差,则kna等差;kan+b等差;k1an+k2bn等差;a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+.+a3n,.等差.a
2、n等差Sn=cn2+bn (c0).1212nnnnbaSS)2(,)1(,11nSSnSannn第3页，共30页。等比数列an,bn的性质:m+n=k+l(m,n,k,lN),则aman=akal;nk等差,则 kan等比;k1ank2bn等比;a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+.+a3n,.等比.公比qn;an等比Sn=c(qn-1)(c0)an等比且an0,则lgan等差;kna等比;)2(,)1(,11nSSnSannn第4页，共30页。例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.解法1:如图:a1
3、,a2,a3,a4等比(a2)2=a1a3等差2a3=a2+a4已知:a1+a2+a3=19已知:a2+a3+a4=12a1+a2+a3=19(a2)2=a1a3a2+a3+a4=122a3=a2+a4a1=9a2=6a3=4a4=2a1=25a2=-10a3=4a4=18或第5页，共30页。例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.如图:a1,a2,a3,a4解法2:a-d,a,a+d等差等比a1,a-d,aadaa21已知和为12=a-d+a+a+d=12已知三数和为19=24da144da或四数为:9,6,4,2或25,-10,4,18.ad
4、aada219第6页，共30页。为了便于解方程，应该充分分析条件的特征,尽量减少未知数的个数,用最少的未知数表达出数列的有关项的数量关系，促使复杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的解决方法。归 纳第7页，共30页。练习11.已知等比数列an中,an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=()(A)5 (B)10 (C)15 (D)202.数列an是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)88(B)-90 (C)110 (D)-1103.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为 ()(A)0 (B)150 (C)300 (D)450
5、AAA第8页，共30页。1.已知等比数列an中,an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=a2a4=(a3)2a4a6=(a5)2原式=(a3+a5)2=25=a3+a5=5(an0)提示:第9页，共30页。2.数列an是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)88(B)-90 (C)110 (D)-110S10,S20-S10,S30-S20,.,S110-S100成等差数列,公差10d.)92(52)(10.(1101102110daaaaaaS)192(52)(10.120112012111020daaaaaaSS解:(S20-S10)-S1
6、0=10d)S110-S100=S10+(11-1)10d=100+10(-11/5)=78 S110=78+S100=88990905029101010299100100101110100ddadaSS=10d=-11/5S110-S100=S10+(11-1)10d第10页，共30页。3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为()解:A+B+C=18002B=A+C,b2=ac B=600,A+C=1200由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC)cos(2121)cos(C)Acos(2143CACACACA1)cos(故 A=B=C,公差 d=0.第11页
7、，共30页。例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+knnkkkkaaaa,.,321即得出新数列的公比:q=3 再由dkaqaannkn)1(111可解出kn,进而求出nkkkk.321根据数列an是等差数列,通项可写作:an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,a5=a1+4d,a17=a1+16d,再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17,于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17,分析:第12页，共30页。例2:已知数列an为等差数列,公差d0,a
8、n的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kndaaaaakk4,15121nkkkkaaaa,.,321解:an为等比数列,设其首项为a1,则an=a1+(n-1)d,16a1k3da 又312k2akkaa故(a1+4d)2=a1(a1+16d)121ad(a1)2+8a1d+16d2=(a1)2+16a1d324111111512aaaadaaaaaqkk第13页，共30页。例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+knnkkkkaaaa,.,32
9、11kk1naanq故dkan)1(a1kndkaqann*)1(1111321nnk13.321nkkkknn又q=3,d=(1/2)a1111121)1(3akaann第14页，共30页。归 纳1.本题是一个综合型的等差、等比数列问题，在解题过程中，分清那一步是用等差数列条件，那一步是用等比数列条件是正确解题的前提。2。仔细观察，找到两个数列序号间的联系，是使问题得解的关键。第15页，共30页。练习21.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=_2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,.,前100项之和为0,则的值为 _ 1:1:1或4:1:(-2
10、)2k(2/3)(kZ)第16页，共30页。1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=_a,b,c等差2b=a+cb=(a+c)/2a.c.b等比c2=ab代入,得:c2=a(a+c)/2解得:a=c或 a=-2ccbcacbca212或1:1:1或4:1:(-2)解:第17页，共30页。2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,.,前100项之和为0,则的值为 _解:经观察知,该数列是等比数列,首项为1,公比为2cos,它的前100项和:0cos21cos211100nS0cos210cos21100Cos=-1/2=2k(2/3),kZ.第18页，
11、共30页。例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必须根据公式 求出 a1,an.)1(,)2(,11nSnSSannn因为条件中有a1a2,又可推测知:本题需同时求a1,a2,才可利用a1a2排除增根.故第一问的解答从计算a 1,a2开始:第19页，共30页。例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列（1）令n=1，s1=pa1，因为S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1若p=1，则由
12、n=2时，S2=2a2，即a2+a2=2a2所以a1=a2，这与a1a2矛盾故p1所以a1=0，则由n=2，得a2=2pa2因为a10，a20，p=1/2解:第20页，共30页。例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列(2)根据已求得的p=1/2Sn=(1/2)nan,由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数)的数列是等差数列所以第一步求通项,第二步“作差”.证明:n2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1解得:(2-n)an=(1-n)an-1211nnaann第21页，
13、共30页。例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列233432211.aaaaaaaaaannnnnn1223.433221nnnnnn)(1a,12n2Nnannaan，）（即（常数）22211aannaaann成等差数列。na 由(1)可得a1=0a2-a1=a2第22页，共30页。练习31.数列 则 是该数列的第_项.2.数列an对任意自然数n都满足 且a3=2,a7=4,则a15=_,.,11,22,5,2422nnnaaa241116第23页，共30页。教学目的1。系统掌握等差、等比数列定义与性质，灵
14、活应用等差、等比数列的定义与性质。2。通过对问题的讨论，提高分析解决问题的能力。第24页，共30页。小 结对等差等比综合问题1。要正确分清题目究竟是等差还是等比，不能混淆。2。掌握设元的技巧；3。要掌握分析数列问题的基本思想方法：抓两头，凑中间。第25页，共30页。习题分析:6.三数成等比数列,若将第三数减去32,则成等差数列,若再将等差数列的第二个数减去4,又成等比数列,原来三个是:_.第26页，共30页。习题分析:7.数列an各项均为正数,前n项和为An,数列bn的前n项和为Bn,且满足Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.第27页，共30页。习题分析:8.已知等差数列an的首
15、项a1=1,前n项和为145,求a2+a4+a8+.+na2第28页，共30页。习题分析:9.设Sn是等差数列an的前n项和,已知(1/3)S3与(1/4)S4的等比中项为(1/5)S5,而(1/3)S3与(1/4)S5的等差中项为1,求等差数列an的通项.第29页，共30页。85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在
16、他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 9
17、3.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.
18、过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中
19、听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实
20、际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根
21、皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的
22、路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124
23、.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金 第30页，共30页。
