1、08解答题提升题-江苏省无锡市五年（2018-2022）中考数学真题分层分类汇编一二次函数综合题（共4小题）1（2021无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数yax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数yax2+2x+c的图象于点E（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标2（2020无锡）已知二次函数yax24ax+1的图象与x轴
2、仅有一个公共点A（1）求a的值；（2）设该二次函数图象与y轴交于点B，点C为直线AB下方抛物线上的一个动点，点C运动到何处时，ABC面积最大？请求出此时C点的坐标（3）过点（0，1）作直线l平行于x轴，在抛物线上任取一点D（A点除外），过点D向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PDE始终为等腰三角形请你猜测点P的坐标，并给出证明过程猜测：点P的坐标为 证明：3（2019无锡）已知二次函数yax24ax+c（a0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，2），其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD，求这个
3、二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值4（2020无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数yx2的图象于点A，AOB90，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN（1）若点A的横坐标为8用含m的代数式表示M的坐标；点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由（2）当m2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式二四边形综合题（共2小题）5（
4、2020无锡）已知菱形ABCD中，BDcm，tanADB，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，同时点Q从点A出发，以cm/s的速度沿ABCD运动，当P、Q两点中有一个点到达终点时，P、Q两点同时停止运动（1）求菱形的周长；（2）当t1时，求PQ的长；（3）若APQ的面积为S，写出S（cm2）与t（s）的函数表达式6（2021无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，AEF90，设BEm（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，当m时，求线段CF的长；在PQE中，设边
5、QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式三相似形综合题（共1小题）7（2019无锡）如图，在RtABC中，ACBC4，ACB90，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD（1）请找出图中与ABE相似的三角形，并说明理由；（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围参考答案与试题解析一二次函数综合题（共4小题）1（2021无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+3与x轴交于点B
6、，与y轴交于点C，二次函数yax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数yax2+2x+c的图象于点E（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标【解答】解：（1）在yx+3中，令x0得y3，令y0得x3，B（3，0），C（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入yax2+2x+c得：，解得，二次函数的表达式为yx2+2x+3；（2）如图：在yx2+2x+3中，令y0得x3或x1，A（1
7、，0），B（3，0），C（0，3），OBOC，AB4，BC3，ABCMFBCFE45，以C、E、F为顶点的三角形与ABC相似，B和F为对应点，设E（m，m2+2m+3），则F（m，m+3），EF（m2+2m+3）（m+3）m2+3m，CFm，ABCCFE时，解得m或m0（舍去），EF，ABCEFC时，解得m0（舍去）或m，EF，综上所述，EF或（3）连接NE，如图：点N、F关于直线EC对称，NCEFCE，CFCN，EFy轴，NCECEF，FCECEF，CFEFCN，由（2）知：设E（m，m2+2m+3），则F（m，m+3），EF（m2+2m+3）（m+3）m2+3m，CFm，m2+3mm，解得
8、m0（舍去）或m3，CNCFm32，N（0，3+1）2（2020无锡）已知二次函数yax24ax+1的图象与x轴仅有一个公共点A（1）求a的值；（2）设该二次函数图象与y轴交于点B，点C为直线AB下方抛物线上的一个动点，点C运动到何处时，ABC面积最大？请求出此时C点的坐标（3）过点（0，1）作直线l平行于x轴，在抛物线上任取一点D（A点除外），过点D向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PDE始终为等腰三角形请你猜测点P的坐标，并给出证明过程猜测：点P的坐标为 （2，1）证明：【解答】解：（1）函数图象与x轴只有一个公共点，所以O，即（4a）24a0，16a24a0
9、，4a（4a1）0，a10，a2，当a0时，y1不是二次函数（舍去），当a时，yx2x+1符合，a；（2）C在抛物线yx2x+1上，设C（m，m2m+1）（0m2），SABCSAOBSBOCSAOC（由图可知），令y0，x2x+10，x2，A（2，0），令x0，y1，B（0，1），SAOB211SBOC1mm，SAOC2（m2m+1）m2m+1，SABCSAOBSBOCSAOC1m（m2m+1）1mm2+m1m2+m（m22m）（m1）2+当m1时，SABC最大，y1+1，此时C坐标为（1，）；（3）猜测：点P坐标（2，1），2，抛物线对称轴为直线x2，设点P（2，e），点D在抛物线yx2x+
10、1上，设D（g，g2g+1）（g2），故E（g，1），PD，DE，g2g+2，PE，PDE为等腰三角形，PDDE时，即g2g+2，两边平方得（g2）2+（g2g+1e）2（g2g+2）2，（g2）2+（g2g+1）22（g2g+1）e+e2（g2g+1）2+1+2（g2g+1）（将g2g+1看成一个整体），（e）g2+（2e2）g+（e22e+1）0，（e）g2+（2e2）g+（e1）20，当e1时，无论g取何值时，该式均成立，此时P坐标为（2，1），PDPE时，即，两边平方得（g2）2+（g2g+1e）2（g2）2+（1e）2，（g2g+1e）2（1+e）2，（1e）2（1+e）2，（g2g
11、+1e）2（1+e）20，（g2g+1e+1+e）（g2g+1e1e）0，（g2g+2）（g2g2e）0，故无论e取什么值，都不能满足，无论g取何值时，该式均成立，故此种情况舍去，PEDE时，即g2g+2，两边平方得，（g2）2+（1e）2（g2g+2）2，（1+e）2（g2g+2）2（g2）（g2g+2+g2）（g2g+2g+2）g2（g22g+4），（1+e）2g2（g22g+4），故无论e取什么值，都不能满足，无论g取何值时，该式均成立，故此种情况舍去，综上所述，当PDDE时满足题意，此时P坐标为（2，1）3（2019无锡）已知二次函数yax24ax+c（a0）的图象与它的对称轴相交于点
12、A，与y轴相交于点C（0，2），其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD，求这个二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值【解答】解：（1）过点D作DHx轴于点H，如图1，二次函数yax24ax+c，对称轴为x，B（2，0），C（0，2），OBOC2，OBCDBH45，BH，BHDH1，OHOB+BH2+13，D（3，1），把C（0，2），D（3，1）代入yax24ax+c中得，二次函数的解析式为yx2+4x2；（2）yax24ax+c过C（0，2），c2，yax24ax+ca（x
13、2）24a2，A（2，4a2），P在y轴上，且POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，当抛物线的顶点A在x轴上时，POA90，则OPOA，这样的P点只有2个，正、负半轴各一个，如图2，此时A（2，0），4a20，解得a；当抛物线的顶点A不在x轴上时，AOB30时，则OPA为等边三角形或AOP120的等腰三角形，这样的P点也只有两个，如图3，ABOBtan302，|4a2|，或综上，a或或4（2020无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数yx2的图象于点A，AOB90，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB
14、于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN（1）若点A的横坐标为8用含m的代数式表示M的坐标；点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由（2）当m2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式【解答】解：（1）点A在yx2的图象上，横坐标为8，A（8，16），直线OA的解析式为y2x，点M的纵坐标为m，M（m，m）假设能在抛物线上，连接OPAOB90，直线OB的解析式为yx，点N在直线OB上，纵坐标为m，N（2m，m），MN的中点的坐标为（m，m），P（m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m（2）当点A在y轴的右侧时
15、，设A（a，a2），直线OA的解析式为yax，M（，2），OBOA，直线OB的解析式为yx，可得N（，2），P（，4），代入抛物线的解析式得到，4，解得，a44，直线OA的解析式为y（1）x当点A在y轴的左侧时，即为中点B的位置，直线OA 的解析式为yx（1）x，综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y（1）x或y（1）x二四边形综合题（共2小题）5（2020无锡）已知菱形ABCD中，BDcm，tanADB，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，同时点Q从点A出发，以cm/s的速度沿ABCD运动，当P、Q两点中有一个点到达终点时，P、Q两点同时停止运动（1）求菱形的周长；（2）当t1时
16、，求PQ的长；（3）若APQ的面积为S，写出S（cm2）与t（s）的函数表达式【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，ODOBBD，ACBD，tanADB，OAOD，AD10，菱形的周长为4AD40；（2）当t1时，AP1，AQ，过点B作BEAD于E，过点Q作QFAD于点F，SABDADBEBDOA，BE，QFBE，AQFABE，QF，AF，PFAFAP，PQ；（3）当0t时，点Q在AB上，由（2）知，QFt，SAPQAPQFt；当t时，点Q在BC上，ADBC，QFBE，SAPQAPQFtt当t10，点Q在CD上，过点B作BMAD于点M，过点Q作QFAD，交AD的延长线于点F，QFBM，FDQ
17、MAB，sinFDQsinMAB，QF30t10t，SAPQAPQF+5tS6（2021无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，AEF90，设BEm（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，当m时，求线段CF的长；在PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式【解答】解：（1）过F作FGBC于G，连接CF，如图：四边形ABCD是正方形，AEF90，
18、BAE90AEBFEG，BG90，等腰直角三角形AEF，AEEF，在ABE和EGF中，ABEEGF（AAS），FGBE，EGABBC，EGECBCEC，即CGBE，在RtCGF中，CF；ABE绕A逆时针旋转90，得ADE，过P作PHEQ于H，如图：ABE绕A逆时针旋转90，得ADE，ABEADE，BADE90，BAEDAE，AEBE，AEAE，BEDE，ADC+ADE180，C、D、E共线，BAE+EAD90，DAE+EAD90，EAF45，EAFEAF45，在EAQ和EAQ中，EAQEAQ（SAS），EAEQ，EQEQ，AEBAEQ，EQDQ+DEDQ+BE，QEP90AEQ90AEBCEP
19、，即EF是QEC的平分线，又C90，PHEQ，PHPC，BAECEP，BC90，ABEECP，即，CPm（1m），PHhm2+m（m）2+，m时，h最大值是；（2）当0m时，如图：BAE90AEBHEG，BHGE90，ABEEGH，即，HGm2+m，MGCD，G为BC中点，MN为ADQ的中位线，MNDQ，由（1）知：EQDQ+BE，设DQx，则EQx+m，CQ1x，RtEQC中，EC2+CQ2EQ2，（1m）2+（1x）2（x+m）2，解得x，MN，yNHMGHGMN1（m2+m）1m+m2，当m时，如图：MGAB，即，HG，同可得MNDQ，HNMGHGMN1，y，综上所述，y三相似形综合题（
20、共1小题）7（2019无锡）如图，在RtABC中，ACBC4，ACB90，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD（1）请找出图中与ABE相似的三角形，并说明理由；（2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围【解答】解：（1）ABECBD，在RtABC中，ACBC4，ACB90，ABCEBD45，ABECBD，ABECBD；（2）ABECBD，CDAE，ACBC4，ACB90，ABBC4，当A、E、F三点在一直线上时，AFB90，AF2，如图1，当AE在AB左上方时，AEAFEF22，CD；如图2，当AE在AB右下方时，同理，AEAF+EF2+2，CD+；综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为或+；（3）如图3，延长EF到G使FGEF，连接AG，BG，则BFG是等腰直角三角形，BGBF2，设M为AE的中点，连接MF，MF是AGE的中位线，AG2FM，在ABG中，ABBGAGAB+BG，2AG6，FM3
