1、 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法高二数学高二数学 选修选修4-5第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式复习回顾复习回顾1.绝对值的定义：绝对值的定义：|a|=a,a0a,a00,a=02.绝对值的几何意义：绝对值的几何意义：实数实数a绝对值绝对值|a|表示表示数轴上坐标为数轴上坐标为A的点的点到原点的距离到原点的距离.a0|a|Aba|ab|AB实数实数a,b之差的绝对值之差的绝对值|a-b|,表示它们在数轴上表示它们在数轴上对应的对应的A,B之间的距离之间的距离.3.3.绝对值的运算性质：绝对值的运算性质：2,aa aba b，|aabb 形如形如|x|a|x|a(a0
2、)|x|a(a0)的不等式的解集的不等式的解集:不等式不等式|x|a|x|a的解集为的解集为x|-axax|-axa|x|a的解集为的解集为x|x-ax|xa xa 0-aa0-aa解含绝对值不等式的四种常用思路：解含绝对值不等式的四种常用思路：这四种思路将有助于我们有效地解决含绝这四种思路将有助于我们有效地解决含绝对值不等式的问题。对值不等式的问题。方法一：方法一：利用绝对值的几何意义观察利用绝对值的几何意义观察方法二：方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论需要分类讨论方法三：方法三：两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号方法四：方
3、法四：利用函数图象观察利用函数图象观察探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。方法一：方法一：利用绝对值的几何意义观察利用绝对值的几何意义观察方法二：方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论号，需要分类讨论方法三：方法三：两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号方法四：方法四：利用函数图象观察利用函数图象观察这是解含绝对值不等式的四种常用思路这是解含绝对值不等式的四种常用思路不等式不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于的解集表示到原点的距离小于1的点的集合。的点的集合。0-11所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1
4、x1探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。方法一：方法一：利用绝对值的几何意义观察利用绝对值的几何意义观察探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x1当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x1，即，即x1 0 x1 1x0综合得，原不等式的解集为综合得，原不等式的解集为x|1x1方法二：方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论需要分类讨论探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。对原不等式两边平方得对原不等式两边平方得x21即即 x210即即(x+1)(x1)0即即1x1所以，
5、不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1方法三：方法三：两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号oxy111探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。从函数观点看，不等式从函数观点看，不等式|x|1的解集表示函数的解集表示函数y=|x|的图象位于函数的图象位于函数y=1的图象下方的部分对的图象下方的部分对应的应的x的取值范围。的取值范围。y=1所以，不等式所以，不等式|x|1的的解集为解集为x|-1x0)型不等式的解法型不等式的解法 只需将只需将axb看成一个整体，即化成看成一个整体，即化成|x|a，|x|a(a0)型型不等式求解不等式求解|axb|c(c0)型
6、不等式的解法：先化为型不等式的解法：先化为 ，再由不等式的性质求出原不等式的解集再由不等式的性质求出原不等式的解集 不等式不等式|axb|c(c0)的解法：先化为的解法：先化为 或或 ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集caxbcaxbcaxbcc=0?c0时，时，|axb|caxbc或或axbc，|axb|ccaxbc.当当c0时，时，|axb|c的解集为的解集为R，|axb|c的解集为的解集为.当当c0时，时，|axb|c的解集为的解集为R，|axb|c的解集为的解集为.|32|7.x解不等式例例1.1.237x原不等式解解:237237xx
7、 或25xx 或|25.x xx 原不等式的解集为或|32|1x变解不等式练习式式:(,0)(1,)答答案案:2|5|6xx解不等式例例2.2.2656xx 原不等式解解:225656xxxx 225602316560 xxxxxxx 或1236,xx 或1|34|6x解不等式变练习式式:1052,)(1,333答答案案:(1,2)(3,6).原不等式的解集为|ax+b|c(c0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别|ax+b|c-cax+b-c x|ax+bcax+bcx|ax+bc,并2|34|1.xxx解不等式例例3.3.222234 034 0341(34)1xxxxxxx
8、xxx 原不等式或解解1 1:41141351xxxxxx 或或或1,513,xxx 或，或|1,13,5.x xxx 原不等式的解集为或或2|34|1.xxx解不等式例例3.3.2234(1)341xxxxxx 原不等式 或解解2 2:22230450 xxxx或13,1,5,xxx 或或|1,13,5.x xxx 原不等式的解集为或或(1)(3)0,(1)(5)0 xxxx或 (1)(0)fxa afxafxa 或或 (2)(0)f xa aaf xa (3)()()()f xg xf xg xf xg x 或或 (4)()()()fxg xg xfxg x 22(5)fxg xfxg x
9、3.3.解不等式解不等式1|21|2x+1|3.+1|-1|x-3|.-3|.答案答案:x|x2.2.4.4.解不等式解不等式|5|5x-6|6-6|6-x.答案答案:(0,2)(0,2)练习练习2.|2x2-x|532|xxx或6.|2x-1|11-(-(x-1)+(-1)+(x+2)-5 -2+2)-5 -2x1 1-(-(x-1)-(-1)-(x+2)-5 +2)-5 x-20)型不等式型不等式的三种解法：分区间的三种解法：分区间(分类分类)讨论法、图像法和几何法讨论法、图像法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，
10、但只适用于数据较简单的情况图像法直观，但只适用于数据较简单的情况解不等式|x3|x1|x|的解集为_Rx2521，21xx 例例3已知不等式已知不等式|x2|-|x3|m.(1)若不等式有解；若不等式有解；(2)若不等式解集为若不等式解集为R；(3)若不等式解集为若不等式解集为 .分别求出分别求出m的范围的范围 思路点拨思路点拨解答本题可以先根据绝对值解答本题可以先根据绝对值|xa|的意义或的意义或绝对值不等式的性质求出绝对值不等式的性质求出|x2|x3|的最大值和最小值，的最大值和最小值，再分别写出三种情况下再分别写出三种情况下m的范围的范围解：法一：解：法一：由由|x2|x3|(x2)(x
11、3)|1，|x3|x2|(x3)(x2)|1，可得可得1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，则若不等式有解，则m(，1)(2)若不等式解集为若不等式解集为R，则，则m(，1)(3)若不等式解集为若不等式解集为，则，则m1，)例例3已知不等式已知不等式|x2|-|x3|m.(1)若不等式有解；若不等式有解；(2)若不等式解集为若不等式解集为R；(3)若不等式解集为若不等式解集为，分别求出，分别求出m的范围的范围 解解法二：法二：因因|x2|x3|的几何意义为数轴上任的几何意义为数轴上任意一点意一点P(x)与两定点与两定点A(2)，B(3)距离的差距离的差 即即|x2|x3|PA|PB|.由图像
12、知由图像知(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1.即即1|x2|x3|1.(1)若不等式有解，若不等式有解，m只要比只要比|x2|x3|的最大值小的最大值小即可，即即可，即mm.(1)若不等式有解若不等式有解,求出求出m的的范围范围 (2)若不等式的解集为若不等式的解集为R，即不等式恒成立，即不等式恒成立，m只要比只要比|x2|x3|的最小值还小，即的最小值还小，即m1，m的范围为的范围为(，1)；(3)若不等式的解集为若不等式的解集为，m只要不小于只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即的最大值即可，即m1，m的范围为的范围为1，)例例3已知不等式已知不等式|x2|-|x3|
13、m.(2)若不等式解集为若不等式解集为R；(3)若不等式解集为若不等式解集为，分别求出，分别求出m的范围的范围 1|x2|x3|1 问题问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)a恒成立恒成立f(x)maxa恒成立恒成立f(x)mina.2.2.若不等式若不等式|x-1|+|-1|+|x-3|-3|a的解集为空集的解集为空集,则则a的的取值范围是取值范围是-1.1.对任意实数对任意实数x，若不等式，若不等式|x+1|-|+1|-|x-2|-2|k 恒成立，则恒成立，则k的取值范围是的取值范围是 （）(A)(A)k3 (B)3 (B)k-3 (C)-3 (C)k3 (D)3 (D)k-3-3B B(,2练习练习不是空集？不是空集？（2，+）作业作业:习题1.2 祝您成功！
