1、追及、相遇问题追及、相遇问题作者：易思夏亮第1页，共22页。在同一直线上的追及相遇问题在同一直线上的追及相遇问题【模型概述】【模型概述】追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。可见，相的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。若同地出发，相遇的初始位置之间存在一定的位移关系。若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的运动时间也存在时位移相等为空
2、间条件。二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙一定的关系。若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发早出发t，则运动时间关系为，则运动时间关系为 。要使物体。要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。ttt乙甲第2页，共22页。【模型讲解】【模型讲解】1.1.利用不等式求解利用不等式求解例例1：甲、乙两物体相距甲、乙两物体相距s，在同一直线上同方，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为动。甲物体在前，初速度为v1 1，加速
3、度大小为，加速度大小为a1 1。乙物体在后，初速度为乙物体在后，初速度为v2 2，加速度大小为，加速度大小为a2 2且知且知v1 1vv2 2，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运，但两物体一直没有相遇，求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为多少？动过程中相距的最小距离为多少？第3页，共22页。22212122avavss2211avavtavtavv2211共解析：解析：若是若是 ，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在运动过程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最运动过程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有两物
4、体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为近，可得最近距离为若是 说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻，此时两物体相距最近，根据 求得 1212aavvt在t时间内甲的位移tvvs211共乙的位移tvvs222共代入表达式21ssss求得)(2)(1212aavvss第4页，共22页。评点：评点：本题是一个比较特殊的追及问本题是一个比较特殊的追及问题（减速追减速）。求解时要对各种可题（减速追减速）。求解时要对各种可能的情况进行全面分析，先要建立清晰能的情况进行全面分析，先要建立清晰的物理图景。本题的特殊点在于巧妙地的物理图景。本题的特殊点在于巧妙地通过比较两物体运动时
5、间的长短寻找两通过比较两物体运动时间的长短寻找两物体相距最近的临界条件。物体相距最近的临界条件。第5页，共22页。2.2.巧用图象法求解巧用图象法求解例2：如图1所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为和空气中声音传播的速率为，设空气相对于地面没有流动。图图1第6页，共22页。（1 1）若声源相继发出两个声信号。时间间隔为）若声源相继发出两个声信号。时间间隔为 ，请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程。确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔程。确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔 。（2 2）请利用（）请利用（1
6、 1）的结果，推导此情形下观察者接）的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。t t第7页，共22页。PASvvv、解析：作声源解析：作声源S、观察者、观察者A、声信号、声信号P（P1 1为首发声信号，为首发声信号，P2 2为为再发声信号）的位移再发声信号）的位移时间图象如图时间图象如图2所示图线的斜率即为它们的所示图线的斜率即为它们的速度速度 则有则有两式相减可得：解得第8页，共22页。（2）设声源发出声波的振动周期为）设声源发出声波的振动周期为T，这样，这样，由以上结论，观察者接收到的声波振动的周期由以上结论，观察
7、者接收到的声波振动的周期为为由此可得，观察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为第9页，共22页。评点：图象分速度图象和位移图象，位移图线的斜率为速度，速度图线的斜率为加速度，速度图线与时间轴所围的“面积”值，等于该段时间内的位移大小。第10页，共22页。3.3.妙取参照物求解妙取参照物求解例例3：火车甲正以速度火车甲正以速度v1 1向前行驶，司机突然向前行驶，司机突然发现前方距甲发现前方距甲d处有火车乙正以较小速度处有火车乙正以较小速度v2 2同向同向匀速行驶，于是他立即刹车，使火车做匀减速运匀速行驶，于是他立即刹车，使火车做匀减速运动而停下。为了使两车不相撞，加速度动而停下。为了使
8、两车不相撞，加速度a应满足应满足什么条件？什么条件？第11页，共22页。解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初速为解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初速为 、加速度为、加速度为a a的匀减速运动。若甲相对乙的速度为的匀减速运动。若甲相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲车减速到与乙车车速相同时，撞的临界条件是：甲车减速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为甲相对乙的位移为d d。)(21vv 即:故不相撞的条件为:第12页，共22页。【模型要点】【模型要点】追及、相遇问题特点：讨论追及、相遇的追及、相遇问题特
9、点：讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。一定要间内能否到达相同的空间位置问题。一定要抓住两个关系：即时间关系和位移关系。一抓住两个关系：即时间关系和位移关系。一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。小的临界条件，也是分析判断的切入点。第13页，共22页。【特别说明】【特别说明】1.1.匀减速运动的物体追同向匀速运动物体匀减速运动的物体追同向匀速运动物体若二者速
10、度相等时，追赶者仍没有追上被追赶若二者速度相等时，追赶者仍没有追上被追赶者，则追赶者永远追不上被追赶者，此时二者有者，则追赶者永远追不上被追赶者，此时二者有最小距离；若二者相遇时，追赶者的速度等于被最小距离；若二者相遇时，追赶者的速度等于被追赶者的速度，则刚好追上，也是二者避免碰撞追赶者的速度，则刚好追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时，追赶者的速度仍大的临界条件；若二者相遇时，追赶者的速度仍大于被追赶者的速度，则还有一次被被追赶者追上于被追赶者的速度，则还有一次被被追赶者追上追赶者的机会，其间速度相等时二者的距离有一追赶者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个最大值。个最大值。第1
11、4页，共22页。2.初速度为零的匀加速运动的物体追同向匀速运动的物体只要时间足够长，追赶者一定能追上被追赶者发生碰撞。当二者速度相等时有最大距离。若位移相等即追上（同一地点出发）。在相遇问题中，同向运动的两物体追到即相遇，解决方法同上；相向运动的物体，各自发生的位移绝对值之和为开始时两物体间的距离时即相遇。第15页，共22页。【模型演练】【模型演练】（2005年徐州模考）在一条平直的公路上，乙年徐州模考）在一条平直的公路上，乙车以车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为初速度为15m/s，加速度大小为，加速度大小为0.5m/s2 2的匀减速运动
12、的匀减速运动，则两车初始距离，则两车初始距离L满足什么条件时可以使满足什么条件时可以使（1）两车不相遇；）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。各自的运动）。第16页，共22页。答案：设两车速度相等经历的时间为答案：设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能，则甲车恰能追及乙车时，应有追及乙车时，应有其中，解得若，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，及两车不相遇。，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相
13、遇两次。若若第17页，共22页。不在同一直线上的追及相遇问题不在同一直线上的追及相遇问题【模型概述】【模型概述】不在一条直线上的相遇问题在近年高考中也不在一条直线上的相遇问题在近年高考中也较为常见，如较为常见，如2000年的上海高考中的年的上海高考中的“估算出估算出飞机速度飞机速度”，2004年广西高考年广西高考“观察者看卫观察者看卫星星”等，该类问题其实是两种不在一条直线等，该类问题其实是两种不在一条直线上的运动或不同运动的组合体，在空间上在上的运动或不同运动的组合体，在空间上在某一时刻到达同一位置。某一时刻到达同一位置。第18页，共22页。【模型讲解】【模型讲解】例例.有一个很大的湖，岸边
14、（可视湖岸为直线有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成跑，其方向与湖岸成15角，速度为角，速度为2.5km/h。同时岸上一人从停放点起追赶小船，已知他在岸同时岸上一人从停放点起追赶小船，已知他在岸上跑的速度为上跑的速度为4.0km/h，在水中游的速度为，在水中游的速度为2.0km/h，问此人能否追及小船？，问此人能否追及小船？第19页，共22页。解析：解析：费马原理指出：光总是沿着光程为极小费马原理指出：光总是沿着光程为极小值的路径传播。据此就将一个运动问题通过类比值的路径传播。据此就将一个运动
15、问题通过类比法可转化为光的折射问题。法可转化为光的折射问题。如图所示，船沿如图所示，船沿OP方向被刮跑，设人从方向被刮跑，设人从O点出发点出发先沿湖岸跑，在先沿湖岸跑，在A点入水游到点入水游到OP方向的方向的B点，如果符点，如果符合光的折射定律，则所用时间最短。合光的折射定律，则所用时间最短。根据折射定律：解得第20页，共22页。在这最短时间内，若船还未到达在这最短时间内，若船还未到达B点，则人能追上小船，若船点，则人能追上小船，若船已经通过了已经通过了B点，则人不能追上小船，所以船刚好能到达点，则人不能追上小船，所以船刚好能到达B点所对点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速应的船速就是小船
16、能被追及的最大船速mv根据正弦定理又由以上两式可解得：此即小船能被人追上的最大速度，而小船实际速度只有2.5km/h，小于，所以人能追上小船。第21页，共22页。)210(2|21、nnn2|21【特别说明】【特别说明】圆周运动中的相遇、追及：同一圆、同方向追圆周运动中的相遇、追及：同一圆、同方向追击的物体转过的角度击的物体转过的角度 时表明两物体相遇或相距最近；反方向转动时表明两物体相遇或相距最近；反方向转动的物体转过的角度的物体转过的角度 （n=0n=0、1 1、2 2、）时表时表明两物体相遇或相距最近。不同一圆、同方明两物体相遇或相距最近。不同一圆、同方向追击的物体转过的角度向追击的物体转过的角度 （n=0n=0、1 1、2 2、）时表明两物体相距最近。时表明两物体相距最近。n2|21第22页，共22页。
