1、5 空间余弦定理的妙用秒杀知识点如图，在空间四边形中， ,设，所成的夹角为，则，故.此公式可称为空间形式的余弦定理，简称为空间余弦定理.【记忆方法】看四个字母，两边的与中间的，是平方之后为加号，相连的，平方之后为减号，分母与平面余弦定理相似.也可用另一种形式记忆：求“对角线”与的夹角的余弦等于两组对边平方和的差的绝对值除以两对角线乘积的2倍.【推论】在空间四边形中（由上面证明可得出）.秒杀思路分析利用空间余弦定理，关键是构造出空间四边形，并且空间四边形边长及对角线长可求.为快速求出空间四边形边长，一般把几何体放置在长方体或直棱柱中.【示例1】（2015年浙江卷理13）如图，三棱锥中,，点，分别
2、为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 .【示例2】（2017年全国卷II理10）已知直三棱柱中，则异面直线与所成角得余弦值为（ ）A. B. C. D.【示例3】 如图，在三棱锥中，已知，.设，则的最小值为 .【示例4】（2017年天津卷文17）如图，在四棱锥中，平面，.(1) 求异面直线与所成角的余弦值.(2)(3)略.方法对比【例1】 （2014年全国大纲卷文4）已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.常规方法秒杀方法【例2】（2017年江苏卷数学II附加题22）如图，在平行六面体中，平面，且，.（1） 求异面直线与所成角的余弦值.（2） 略.
3、常规方法秒杀方法【例3】（数学奥林匹克高中训练题（224）在四面体中，则与所成角的大小为 .常规方法秒杀方法秒杀训练【试题1】 如图，正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【试题2】如图，已知正三棱锥的侧棱与底面的边长相等，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【试题3】如图，在三棱锥中，平面，则异面直线与所成角的余弦值为 .【试题4】 如图,三棱柱中，平面平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 .【试题5】 如图,四边形中，现将沿折起，当二面角处于过程中，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（ ）A. B. C. D. 真题回放【试题1】
4、（2015年陕西预赛）在三棱锥中，已知，则直线与所成角的大小为 .【试题2】（2014年新课标全国卷II理11）直三棱柱中，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.【试题3】(2016年浙江卷文14）如图，已知平面四边形，沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦值的最大值为 .【试题4】(2015年辽宁预赛）在正方体中，点，分别在线段，上（不包括线段的端点），且，则与所成角的取值范围是 .【试题5】(2016年中国数学奥林匹亚克希望联盟夏令营（三）在四面体中，为等边三角形，分别为，的中点，则直线与所成角的余弦值为 .【试题6】(数学奥林匹亚克高中训练题（223）已知正四棱锥的各棱长均相等，以为一个面，在正四棱锥的另一侧作一个正方体，则异面直线与所成角的余弦值为 .
