1、第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题,总纲目录,教材研读,1.二元一次不等式表示的平面区域,考点突破,2.线性规划的有关概念,考点二目标函数的最值与范围问题,考点一二元一次不等式（组）表示的平面区域,考点三线性规划的实际应用,1.二元一次不等式表示的平面区域一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把其坐标(x,y)代入Ax+By
2、+C,所得,教材研读,到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0(或0,对于A,当x=-3,y=4时,-9+8+50,故满足题意.同理,B、C、D均不满足题意,故选A.,A,2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为?()A.-1B.3C.7D.8,C,3.(2017北京东城二模)在平面直角坐标系中,不等式组?所表示的平面区域的面积为?()A.1B.2C.4D.8,A,答案A作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分.?由?得A(1,1).故所求
3、面积S=?21=1.故选A.,4.(2016北京海淀一模)若x,y满足?则z=?x+y的最大值为( )A.?B.3C.?D.4,C,答案C画出不等式组表示的平面区域如图所示.将目标函数z=?x+y变形为y=-?x+z.先画出l0:y=-?x.将l0向上平移至经过点A时z有最大值,联立?得A(1,3).故zmax=?1+3=?.,5.(2016北京海淀期末)若点(2,-3)不在不等式组?表示的平面区域内,则实数a的取值范围是?()A.(-,0)B.(-1,+)C.(0,+)D.(-,-1),B,答案B画出不等式组表示的平面区域如图所示.因为点(2,-3)不在不等式组?表示的平面区域内,则点(2,
4、-3)在直线ax-y-1=0的下方,故-3-1.,考点突破,答案(1)B(2)(-,-20,1),解析(1)作出可行域,如图所示.?易知B(-2,0),由?得?故A(1,?).SAOB=?2?=?.,故选B.(2)不等式组?所表示的平面区域为图中AOB及其内部.2x-y=k可化为y=2x-k.当k=0时,区域D为三角形,符合题意.,当k0时,将y=2x向下平移,直到经过点B(1,1)时,区域D由三角形缩为一个点B,将B(1,1)代入y=2x-k得k=1.若要满足题意,则0k1.当k或时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.,1-1(2016北京顺义一模)在平面直角坐标系中,若不等式组?(a为常数)
5、表示的区域面积为3,则a的值为?()A.-5B.-2C.2D.5,D,答案D不等式组?(a为常数)表示的区域如图所示.由题意知阴影部分的面积等于3,AC=6.点C的坐标为(1,6).代入ax-y+1=0得a-6+1=0,解得a=5.故选D.,1-2(2018北京西城高三期末)已知点M(x,y)的坐标满足条件?设O为原点,则|OM|的最小值是.,典例2(1)(2016北京西城二模)设x,y满足约束条件?则z=x+3y的最大值是?()A.?B.?C.-?D.1(2)(2015北京丰台一模)若变量x,y满足约束条件?则z=x+2y的最大值是.,考点二目标函数的最值与范围问题命题角度一转化为截距,答案
6、(1)B(2)6,解析(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.?画出l0:x+3y=0.将l0向上平移至经过点A时z最大.,由?解得?A?.zmax=?+3?=?.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域(图略),易知当z=x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z取得最大值,即zmax=2+22=6.,答案,解析作出可行域,如图中阴影部分所示.?表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的连线的斜率,易得直线AO斜率最大,由?解得A?.?=?.,答案5;,解析作出可行域,如图中阴影部分所示.x2+y2的几何意义是可行域内的点(x,y)到原点距离的平方.连接OC.易得线
7、段CO最长,C(1,2),CO=?,(x2+y2)max=5.过点O作直线2x+y-2=0的垂线,垂足为D,易得线段OD最短,由SOAB=?12=?OD?OD=?.(x2+y2)min=?=?.,答案C,C,2-1(2015北京西城二模)已知x,y满足?若z=x+my的最大值为?,则实数m=.,答案2,2,解析在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域,可知该区域是以点(0,0),?,?为顶点的三角形区域(包含边界),显然m0,1,当-?1,不符合题意;当-11时,目标函数z=x+my在点?处取得最大值,则有?=?+?m,解得m=2,符合题意;当-?1,即-1m0,不符合题意;当0-?1,即
8、m-1时,目标函数z=x+my在点(0,0)处取得最大值,且zmax=0,不符合题意.综上所述,实数m的值为2.,典例6(2016北京西城一模)在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于?,且获得一等奖的人数不能少于2人,那么下列说法中错误的是?()A.最多可以购买4份一等奖奖品B.最多可以购买16份二等奖奖品C.购买奖品至少要花费100元D.共有20种不同的购买奖品方案,考点三线性规划的实际应用,D,答案D解析设一等奖人数为x,二等奖人数为y,由题意有?即?如
9、图,阴影部分中的整数点即为可行解.,易得A(4,12),B(2,6),C(2,16),由平面区域知2x4,6y16.故最多可以购买4份一等奖奖品,最多可以购买16份二等奖奖品.设目标函数为z=20x+10y,经过点B(2,6)时z有最小值,zmin=202+610=100,故购买奖品至少花费100元.综上A,B,C正确.而该平面区域内有整数点18个:(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,10),(2,11),(2,12),(2,13),(2,14),(2,15),(2,16),(3,9),(3,10),(3,11),(3,12),(3,13),(3,14),(4,12),故共有
10、18种不同的购买奖品方案.D错误.,方法技巧解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答.,3-1(2015北京西城一模)某赛事组委会要为获奖者订购某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品3件,二等奖奖品6件,制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价格有所差异,现有甲、乙两个工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作4件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,甲、乙两厂的具体收费情况如下表:,则组委会定购该工艺品的费用总和最低为元.,4 900,解析设向甲厂订购一等奖奖品x件,二等奖奖品y件,其中x,yN,则向乙厂订购一等奖奖品(3-x)件,二等奖奖品(6-y)件,则x,y满足?设费用总和为z元,则z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y),即z=-300x-200y+6 000,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由图可知直线z=-300x-200y+6 000过点A时,z取最小值.由?得?即A(3,1),答案4 900,所以zmin=-3003-2001+6 000=4 900,所以组委会订购该工艺品的费用总和最低为4 900元.,
