1、一、复习一、复习用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意成相应的几何意义。义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（
2、进行向量运算）（回到图形）（回到图形）例题例题 例例1：如图如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图图1解：解：如图如图1，设，设 BADADAAAB，11 6011DAABAA化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，11AAADABAC 进行向量运算进行向量运算2121)(AAADABAC
3、)(2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。1AC6思考：思考：（1）本题中四棱柱的对角线）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？（2 2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ,那么那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1AB
4、CD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其中其中分析分析:分析分析:1111 DAABAABADxAAADABaAC，设设11 AAADABAC 则由则由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即ax cos631 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3 3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设设AB=1 AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的
5、距离）A1B1C1D1ABCDH分析：分析：面面距离面面距离点面距离点面距离.11HACHAA于点于点平面平面点作点作过过 解：解：.1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由.上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC.160cos60cos)(1111 BCAAABAABCABAAACAA31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是。36问题：如何求直线问题：如何求直线A1B1到平面到平面ABCD的距离？的距离？向量法求
6、点到平面的距离向量法求点到平面的距离：PA n如图，已知点如图，已知点P（x0,y0,z0）,在平面在平面 内任意取一点内任意取一点A（x1,y1,z1），），一个法向量一个法向量n cosAPnAPn AP,n 其中其中,APcosAPnn 的距离。的距离。到平面到平面就是点就是点绝对值绝对值的的 PcosAP|AP|ndn 也就是也就是AP在法向量在法向量n上的投影的绝对值上的投影的绝对值例例2、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，的中点，求点求点B B到平面到平面GEFGEF
7、的距离。的距离。DABCGFExyz:,CD CB CGxyz 分析以的方向为轴轴轴的正方向建立空间坐标系,则(0,2,0),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(2,4,0),(4,2,0).(2,2,0),(2,4,2),B(2,0,0)GBADEFEFEGE (,1),:EFGnx y 设平面的法向量为则有2-20-2-4201 1(,1)3 3nEF nEGxyxyn ，|BE|2 1111ndn :,|AOO eAdAOe评注若平面的斜线交于点是单位法向量,则 到平面的距离为问题：问题：请小结如何用向量的方法求空间中两点请小结如何用向量的方法求空间中两点的距离？的距离？点
8、到直线的距离？点到直线的距离？点面之间的距离？点面之间的距离？直线到直线的距离？直线到直线的距离？nabCDAB已知已知a,b是异面直线，是异面直线，n为为 的法向量的法向量CD为为a,b的公垂线的公垂线则则|nABnCD A，B分别在直线分别在直线a,b上上练习练习:如图，空间四边形如图，空间四边形OABC各边以及各边以及AC，BO的长的长都是都是1，点，点D，E分别是边分别是边OA，BC的中点，连结的中点，连结DE，计算，计算DE的长。的长。OABCDE图图2空间空间“距离距离”问题问题1.空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，根据两向量数量积的性质和坐标
9、运算，利用公式利用公式 或或 (其中其中 )，可将两点距离问题，可将两点距离问题转化为求向量模长问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),(zyxa2.点到面的距离点到面的距离 设设n为平面为平面 的一个法向量，的一个法向量，AB是面是面 的一条的一条斜线，斜线，A为斜足。根据向量在轴上射影的概念为斜足。根据向量在轴上射影的概念，点点B到面到面 的距离等于向量的距离等于向量在在n上的射影的长度，上的射影的长度，所以所以AB A AB B n nd dn nBAn 3.异面直线间的距离异面直线间的距离 n1l2l1lCDC、D分别是分别是 上任一点，则上任一点，则 间的距离间的距离可转化为
10、向量可转化为向量 在在n上的射影长，上的射影长，故故设设 为两异面直线，其公共法向量为为两异面直线，其公共法向量为 n,21,ll21,ll21,llCD C C D Dn nd dn n例例2 如图，如图，ABCD是矩形，是矩形，面面ABCD，PD=DC=,AD=，M、N分别是分别是 AD,PB的中点，求点的中点，求点A到面到面MNC的距离的距离 PDaa2APDCBMN解：如图，以解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系Dxyz 则则D(0,0,0)，A(,0,0)，B(,0)，C(0,0)，P(0,0,)a2a2aaaDMPNAxCBzy由于由于M,N分别是分别是A
11、D,PD的中点的中点所以所以M(,0,0)，N(,a22)21,21aaa22 ，)21,21,0(aaMN)0,22(aaMC)0,0,22(aMA设 为面MNC的一个法向量，故),(zyxm MCmMNm,解得 ，zyx22所以 022zayaMNm022ayaxMCm且故可取)1,1,2(m所以，在 上的射影长MAm2ammMAd即点A到面MNC的距离为 2a1.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1）求证：求证：直线直线 面面MAC （2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值1111DCBAABCD1DDOB1CMAB1巩
12、固练习巩固练习 B1A1 C1D1DCBAOM2如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD的边长为的边长为4，E,F分别是分别是AB,AD中点，中点，GC 面面ABCD,且且GC2，求点求点B到面到面EFG的距离的距离DCAFBGE 本节课我们主要介绍了空间本节课我们主要介绍了空间“角角”与与“距离距离”的向量解法。我们发现，引入的向量解法。我们发现，引入“空间向量空间向量”这一这一工具，能避免较为复杂的空间想象，为立体几何工具，能避免较为复杂的空间想象，为立体几何代数化带来很大的方便。而且，我们还发现，在代数化带来很大的方便。而且，我们还发现，在立几图形中合理建立空间直角坐标系，使立几图形中合
13、理建立空间直角坐标系，使“空间空间向量向量”坐标化，是解题的关键。事实上，它是完坐标化，是解题的关键。事实上，它是完成从几何问题向代数问题转化的基础。成从几何问题向代数问题转化的基础。小结小结 例例2 2：如图如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝处，乙站在水坝斜面上的点斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 （库底与水坝的交线）（库底与水坝的交线）的距离的距离ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD,CD的长为的长为 ,AB,AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：解：如图，如
14、图，.dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法则DBCDACAB 进行向量运算进行向量运算ABCD 图图3222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA 设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ，就是库底与水坝所成的就是库底与水坝所成的二面角。二面角。CADB 因此因此.cos22222dcbaab 所以所以.2cos2222abdcba 回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为.22
15、222abdcba 思考：思考：（1）本题中如果夹角）本题中如果夹角 可以测出，而可以测出，而AB未知，未知，其他条件不变，可以计算出其他条件不变，可以计算出AB的长吗？的长吗？22)(DBCDACAB 由由)(2222DBCDDBACCDACBDCDAB 分析：分析：cos2222abbca 可算出可算出 AB 的长。的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？夹角的余弦值吗？分析：分析：如图，设
16、以顶点如图，设以顶点 为端点的对角线长为为端点的对角线长为 ，三，三条棱长分别为条棱长分别为 各棱间夹角为各棱间夹角为 。A1B1C1D1ABCDAd，cba 21212)(CCACABCAd 则则 cos)(2222acbcabbca )(2cos 2222acbcabcbad （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？两个夹角的余弦值吗？a A1B1C1D1ABCD分析：分析：二面角二面角平面角平面
17、角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形 解：解：如图，在平面如图，在平面 AB1 内过内过 A1 作作A1EAB 于点于点 E，在平面在平面 AC 内作内作 CFAB 于于 F。EF cos sin 1aBFAEaCFEA ，则则 CFEAFCEA cos coscos 11，|11CFEACFEA 221sin)()(aBFCBAEAA 2222222sincos)cos(cos)cos(coscosaaaaa cos1cos 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。例例3 正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的的中点，当中点，当 时，求二面角时，求二
18、面角 的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCABCBCD1yxzCADBC1B1A1EF 解法一：如图，以解法一：如图，以C为原点建立空间为原点建立空间直角坐标系直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边。设底面三角形的边长为长为 ，侧棱长为，侧棱长为ba)0,21,23(aaA)0,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC),0(1baB则则 C(0,0,0)yxzCADBC1B1A1EF故故),21,23(1baaAB),0(1baBC由于由于 ，所以，所以 11BCAB 0212211baBCAB ab22yxzCADBC1B1A1EF则可设则可设 =1，则则B(0,1,
19、0)a22b)0,41,43(D)22,0,0(1C作作 于于E,于于F，则则 即为二面角即为二面角 的大小的大小1BCCE 1BCDF FDEC,CBCD1在在 中，中，即即E分有向线段分有向线段 的比为的比为BCCRt121222211abBCCCEBECBC121)32,31,0(E)32,31,0(EC 由于由于 且且 ，所以，所以 ACBDABCCC面1DCBD1在在 中，同理可求中，同理可求 BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FDcos =FDEC,22463341FDECFDEC即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 CBCD122解法二解法二：同法一，以：同法
20、一，以C为原点建立空间直角坐标为原点建立空间直角坐标系系 C-xyzyxzCADBC1B1A1 在坐标平面在坐标平面yoz中中 BCC1 设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1),(zyxm 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)0,41,43(D)22,0,0(1C)0,43,43(DB)22,41,43(1DC可取可取 （1，0，0）为面为面 的法向量的法向量 BCC1n由由 得得，mDBmDC,102241431zyxmDC04343yxmDB解得解得 zyx263 所以，可取所以，可取)6,3,3(m二面角二面角 的大小等于的大小等于 CBCD1nm,方向朝面外，方向朝面
21、内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角nm练习：练习：（1 1）如图）如图4 4，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，直线两点，直线ACAC、BDBD分别在这个二面角的两个半平面内，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求求CDCD的长。的长。B图图4ACD即二面角即二面角 的余弦值为的余弦值为 CBCD122 cos =nm,22233nmnm （2）三棱柱）三棱柱ABC-A1B1C1中，底中，底面是边长为面是边长为2的正三角形，的正三角形，A1AB45，A1AC60，求二面角，求
22、二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。ABCA1B1C1图图5 如图如图6，在棱长为，在棱长为 的正方体的正方体 中，中，分别是棱分别是棱 上的动点，上的动点，且且 。（1）求证：）求证：；（2）当三棱锥）当三棱锥 的体积取最大值的体积取最大值时，求二面角时，求二面角 的正切值。的正切值。aCBAOOABC FE、BCAB、BFAE ECFA BEFB BEFB OCBAOAB CEF图图6小结：小结：用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离向量的模向量的模二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形
