1、第六专题 万有引力定律与天体运动解题知识与方法研究疑难题解答研究例题4（星球运动的阻力）例题1（天体轨道的判定）例题3（卫星“怪像”）例题5（飞船着陆问题）例题6（飞船和宇航站对接问题）例题2（利用万有引力作用下的质点 运动求椭圆曲率半径）一、对宇宙中复杂的天体受力运动的 简化二、引力问题的基本运动方程三、行星绕日运动的轨道与能量例题7（双星问题）一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：a、可将该两天体作为二体问题处理.b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这
2、时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.二、引力问题的基本动力学方程如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动.vr太阳mMrvrv行星的横向加速度 等于零.(=)rrdvardt有径向动力学方程22()rrdvMmmamrGdtr 解题知识与方法研究在太阳惯性参照系中，由牛顿运动定律和引力定律vr太阳mMrvrv211sin22rvr常量此式变化后即得开普勒第二定律：表明：开普勒第二定律不过角动量守恒定律的特殊表现.开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将 适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统的机械能守恒221()2MmmvGr 常量当然，此
3、方程也不限于行星做椭圆轨道运动！因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量守恒2sinrrmvrmvr m 常量三、天体绕日运动的轨道与能量0rrvMm 根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下的绕日运动的天体的轨道方程：2222232.,1.1cospLELrpeeGMmG M m（其中，）轨道方程为一圆锥曲线方程：（1）01Ee时，为椭圆，（即开普勒第一定律）；2GMmEa 总能量为：（2）01Ee时，为双曲线的一支，总能量为：GMmEaOxy(,0)F cMmabroabcmMrxy焦点M位于其中一个内焦点M位于01Ee时，为抛物线，（3）总能
4、量为：0E FMmxyO自行计算出上述三个能量值！（能否不用高等数学？）M位于焦点.例1（天体轨道的判定）如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛物线运动.B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同.设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上.A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体.其间的质量损失可忽略.试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.解计算新星体C的机械能.在径向：可认为在A、B靠拢过程中质心未动.所以C到太阳的距离为123ABABm Rm RRmm在切向：A、B合并过程中动量也守恒，()ABCAABBmmvm v
5、m v则有研究式中的vA、vB：1.AGMvR故因A作圆运动，CABM日()1R2R疑难题解答研究CvAvBv3R.CR3设 距日,三星速度如图12ABABmmRmm所以22BGMvR利用，C星体的机械能为111()()22ABABABABGMM mmmmGmmRRmm因此，新星体C的轨道为椭圆.题后思考 本题能不能直接判断？EAm），距离为d，在引力作用下绕不动的质心作圆周运动.设这两颗星近似为质点.在超新星爆炸中，质量为M的星体损失质量M.假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体不施加任何作用力（或作用力抵消），对另一颗星也无直接作用.试求，在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约束而不相互
6、远离.解需计算爆炸后的总机械能.如图，爆炸前两星绕质心旋转.22212.VvMmMmGrrd旋转的角速度 满足由以上诸式得到.()()GGVmvMd Mmd Mm，爆炸后的瞬间，因球对称爆炸所以（M-M）位置、速度均不变.无作用，故m的位置、速度也不变.因爆炸对星体m也CMmr12rVv12rrd12,.mMrdrdMmMm旋转半径满足新系统的质心C还在两星连线上的原处吗？新系统的质心C还会静止吗？Cr2r1CMmr2r1()MMmVvVvCv新系统的势能为()PMM mEGd 新系统在新质心参照系中的动能为2211()()()22KCCEMM Vvm vv 由系统动量的质心表达可知新系统质心
7、速度为()().()()CmvMM VmvMVMVvMMmMMm注意到式中的()0.mvMV.()CMVvMMm所以进而得到系统在新质心系中的动能为221()()2()1()2()KMVEMMvMMmMVm VMMm 新系统仍被约束的条件是0.PKEEPKEE将、的表达式代入，整理得1().2MMm 题后思考以后两星还绕新质心作圆运动吗?(严格证明你的结论！)Cr2r1CMmr2r1()MMmVvVvCv()PMM mEGd ()GVmd Mm，.()GvMd Mm另解 用二体问题折合质量法爆炸前：两星折合质量().()MM mMMm.MmMm两星折合质量等效的运动如图（a）.22vMmGdd
8、旋转的速度v 满足得到()G Mmvd爆炸后：等效的运动如图（b）.新系统的势能().PMM mEGd 新系统的动能212KEv代入系统约束的条件0.PKEE解得1().2MMm（b）()MMvdMvd（a）题后思考计算两体的引力势能时为何不用折合质量？()().()MM mG MmMMmd12()()()()MM mG MmMMmd212两体问题 仅有两个质点组成的孤立系统，两个质点的质量为m1、m1，相互作用力大小为f，从m1至m2的矢径为 .R对m2，由牛顿第二定律有2222d rfmdt（）将（1）代入（2）：212212.m md Rfmmdt121212()m mmmmm令称为与的
9、折合质量，则有223d Rfdt（）（3）式表明，若取m1为参照系（一般不是惯性系，在此系中牛顿第二定律不成立），则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为 的质点在中心力 的作用下按牛顿第二定律所形成的运动，而无须考虑惯性力的作用.f取二者的质心C为参照系（惯性系）.设C到m1的矢径为 .rr1121mrRmm（）有Cr1m2mRff“卫星怪象”问题 卫星（质量为m）与地球（质量为M）系统的总能量为.2MmEGr 21().22MmMmmvGGrr 即于是可知2122MmmvGr1.2KPEEE 对两端的变化量有即1.2KPEEE (G).2Mmr ()KE()E1()2PE 怪哉！在总机械能减少（）时，动能增加而势能却减少！？该如何解释？0E
