1、二体问题二体问题 两物体仅在内力作用下运动，称为二体问题。二体问题又两物体仅在内力作用下运动，称为二体问题。二体问题又分为分为束缚问题束缚问题与与散射问题散射问题两大类。这里先介绍两大类。这里先介绍二体散射问题二体散射问题，包括碰撞、合并和分裂问题。包括碰撞、合并和分裂问题。在这些问题中，我们仅限于讨论直线运动。在这些问题中，我们仅限于讨论直线运动。弹性碰撞非弹性碰撞合并非弹性碰撞分裂处理这类问题的思路如下：1.1.在碰撞、合并和分裂问题中，内力起作用的时间很短：不在碰撞、合并和分裂问题中，内力起作用的时间很短：不外是瞬间碰撞、瞬间爆炸分裂或瞬间碰撞后合并。在所考外是瞬间碰撞、瞬间爆炸分裂或瞬
2、间碰撞后合并。在所考虑的短暂瞬间内，即使有外力（如重力），其作用也可忽虑的短暂瞬间内，即使有外力（如重力），其作用也可忽略，因而略，因而系统动量守恒。系统动量守恒。即即系统质心的速度、动量和动能系统质心的速度、动量和动能守恒；守恒；2.2.机械能是否守恒问题，应作如下考虑：机械能是否守恒问题，应作如下考虑：（1 1）作用力是瞬间起作用的，不是保守力，没有势。机）作用力是瞬间起作用的，不是保守力，没有势。机械能就是动能。械能就是动能。（2 2）按科尼希定理，系统动能）按科尼希定理，系统动能E Ek k=系统质心动能系统质心动能E EC C+系统系统相对于其质心的动能。相对于其质心的动能。由于由于
3、EC是守恒量，是守恒量，问题化为系统问题化为系统在质心系内动能是否守恒在质心系内动能是否守恒的问题的问题。二体直线运动系统在C系中的动能表示式在在C系中，系中，C点的坐标恒为零：点的坐标恒为零：L系C系m1,m2 在两个坐标在两个坐标系中的坐标：系中的坐标：L系：系：x1,x2C系：系：1 ，2 m2相对于相对于m1的坐标：的坐标：m2相对于相对于m1的速度：的速度：1212xxr(1)1212xxrvr(2)0212211mmmmC(3)C210 xm2x1x2xCrm1即即(3(3）式的分子为零：）式的分子为零：02211mm（4）其时间导数也为零：其时间导数也为零：02211mm（5）C
4、21L系C系0 xm2x1x2xCrm1在在L L系中，质心坐标为：系中，质心坐标为：质心速度为：质心速度为：212211mmxmxmxC（6）212211mmxmxmxvCC（7）由（由（2 2）式）式 和和(5)式联立解出两物体在式联立解出两物体在C系中的系中的速度：速度：12 rv引入折合质量引入折合质量:rvm22（10）rrvmmmmmvmmm221212112)()(rrvmmmmmvmmmmm121212122121)(2121mmmm（8）rvm11（9）两物体在两物体在C系中的速度简化为：系中的速度简化为：系统在系统在C C系中的动能便是：系中的动能便是：2221222222
5、122212112rrr2r121C,kvvmmvm2mvm2m2m2mE系（1111）重要结论：二体系统在二体系统在C C系中的动能，等于一个等价质点的动系中的动能，等于一个等价质点的动能能该质点质量为折合质量该质点质量为折合质量，速率为二体相对速度，速率为二体相对速度 。(11)(11)在二体问题中应用甚广在二体问题中应用甚广。rv将（将（1111）代入柯尼希定理，即得二体系统动能的一般表示式：）代入柯尼希定理，即得二体系统动能的一般表示式：1.1.相对运动速率相对运动速率 不变者，机械能守恒。此称不变者，机械能守恒。此称完全弹性碰撞；完全弹性碰撞；2.2.变小但尚未减为零者，机械能减小。
6、此称变小但尚未减为零者，机械能减小。此称非弹性碰撞；非弹性碰撞；3.3.在合并问题中，在合并问题中，减为零，机械能损失最大。此称减为零，机械能损失最大。此称完全非完全非弹性碰撞；弹性碰撞；4.4.在分裂问题中，机械能增加。其增量即质心动能；在分裂问题中，机械能增加。其增量即质心动能；rvrvrv质心在L系中的动能,守恒部分系统在C系中的动能,可变部分系统在L系中的动能（12）222122rCC,kCL,kvvmmEEE系系例题例题2.0vmM质量为质量为m的子弹以速度的子弹以速度 沿水平方向射入静止悬沿水平方向射入静止悬挂的沙袋，并与沙袋一起运动。沙袋质量为挂的沙袋，并与沙袋一起运动。沙袋质量
7、为M.求求系统的机械能变量系统的机械能变量 E.0vvm+M解解.这是合并问题。子弹钻这是合并问题。子弹钻入沙袋前瞬间，系统动能为入沙袋前瞬间，系统动能为20222vvMmECL,k系子弹钻入沙袋后瞬间，系统子弹钻入沙袋后瞬间，系统动能为动能为22CL,kvMmE系机械能变量机械能变量202vE在合并过程中，系统机械能变小。损失部分转化为非机械能。在合并过程中，系统机械能变小。损失部分转化为非机械能。0vmMvm+M机械能变量机械能变量20202020202221222vMmMmvMmmmvmvMmvmEEE初碰后验证：系统初始动能：验证：系统初始动能：202vmE初子弹钻入后系统速度：子弹钻
8、入后系统速度：Mmmvv0系统碰后动能：系统碰后动能：MmvmMmmvMmvMmE222202202碰后证毕证毕李长江：p23，1.3.5由动量守恒知：由动量守恒知：0人车vNmvM（1）已知人对车相对速度已知人对车相对速度车人vvvr（2）（2 2）代入（）代入（1 1）：）：0(）车车vvNmvMr解得：解得：rvNmMNmv车（3）Mm0 xmm解解(1).若若N个人同时跳下个人同时跳下 v人人相对于地面的速度v车车相对于地面的速度已知人对车的跳下速度 沿铁轨向左。rv第第k k个人跳车时他对地面速度为个人跳车时他对地面速度为 解(2).若N个人逐个跳下M0 x(N-k+1)人krvvv
9、人1kv设第设第k-1个人跳车后车速为个人跳车后车速为kv第第k个人跳车后车速为个人跳车后车速为1kv第 k-1 个人跳车后的车速第k个人跳车后的瞬间第k个人跳 车 后的车速M0 x(N-k)人kv人vrkkkrkvmvmkNMvmkNMvvmvmkNM)1()()()1(1由动量守恒知：由动量守恒知：（k=1,2,3N）mkNMmvvvrkk)1(1设定设定 的正方向都是由左向右（的正方向都是由左向右（的投影应为负的投影应为负值：值：）,由上式解出递推关系：由上式解出递推关系：rkkvvv，1,rv0rv递推关系使我们得以从前一个递推关系使我们得以从前一个vk-1值推得后一个值推得后一个vk
10、值。现在值。现在我们来用它推得所求结果：我们来用它推得所求结果：第第k个人跳车前的动量个人跳车前的动量第第k个人跳车后的动量个人跳车后的动量k=1:NmMmvvr 01k=2:mNMmvvvr)1(12k=3:mNMmvvvr)2(23k=4:mNMmvvvr)3(34k=N:mMmvvvrNN1k=N-1:mMmvvvrNN221将以上将以上N个等式相加，个等式相加，左边给出左边给出vN，即第，即第N个个人跳车后的车速；右边人跳车后的车速；右边是一个有限项级数和：是一个有限项级数和：NprNpmMmvvv1车负号表示负号表示v车车与与vr反向。反向。本题结束关键：设所有关键：设所有速度沿速度
11、沿x正向为正向为正正mkNMmvvvrkk)1(1第第20届：一、届：一、2（填空）（填空）三体完全弹性碰撞问题三体完全弹性碰撞问题过程：过程：1球撞击球撞击2球后静止，球后静止，2球以速度球以速度v0 向右行进，向右行进，然后撞击然后撞击3，4球球0v123423410v23410v问题：问题：撞击完撞击完3，4球后，球后，2球是否回弹？球是否回弹？2342v3v4v3030 xy解：解：在在xoy平面上，碰撞前后动平面上，碰撞前后动量守恒量守恒xxmvmvmvmv4320 x方向方向y方向方向yymvmv430碰撞为完全弹性，前后机械能守恒碰撞为完全弹性，前后机械能守恒2423222021
12、212121mvmvmvmv3323vvx几何关系几何关系7个方程，个方程，7个未知数，问题可解个未知数，问题可解4423vvx3321vvy4421vvy结果：结果：5/02vv方向向左。方向向左。本题结束则则2球与球与1球再次碰撞，最后停下。球再次碰撞，最后停下。1球获得球获得5/0v速度后，向左飞去。速度后，向左飞去。李长江：p6，1.1.131.1.解解:取小球取小球a,ba,b和地球组成的系统。绳中张力不作功，系和地球组成的系统。绳中张力不作功，系统机械能守恒。取统机械能守恒。取O O点为势能零点点为势能零点 ，则有：，则有：mmL1L2abO初态mmL1L2abTmgO瞬态v02c
13、os021EmvmgLE初始能量运动瞬态机械能(1)由（由（1 1）解出速度与位置的关系：）解出速度与位置的关系：随着随着 变小，变小，v和和T将变大，当将变大，当T=mg时，时，a球开始离地。球开始离地。b球的绳张力满足：球的绳张力满足：12cosLmvmgT将将(2)和和T=mg代入上式，解出：代入上式，解出：31arccos本题结束cos21gLv（2）mmL1L2abTmgO瞬态水平Tmgb球的向心力第第29届：届：15题题解解轨道无摩擦，绳拉直前两小球均轨道无摩擦，绳拉直前两小球均不损耗机械能，保持匀速沿轨道不损耗机械能，保持匀速沿轨道运动。绳拉直的瞬间两小球运动。绳拉直的瞬间两小球
14、绕圆绕圆心的角动量守恒心的角动量守恒RmvRvmRmvRvm120022v0v0m2mR绳拉直瞬间（1）v1,v2为绳作用力消失后两球的切向速度。为绳作用力消失后两球的切向速度。另一方面，另一方面，机械能不受损失机械能不受损失，则有：，则有：212220202122121221mvvmmvvm（2）解解（1），（），（2）联立求出两套解）联立求出两套解01vv 绳作用后02vv 0135vv0231vv舍去第一套解（初态），第二套舍去第一套解（初态），第二套解代表解代表两球速度都改变了方向两球速度都改变了方向m2m035v031vR解解绳提供的冲量为前后动量差，绳绳提供的冲量为前后动量差，绳给
15、给1的冲量的切向分量为：的冲量的切向分量为：00013835mvmvvmI切绳给绳给2的冲量的切向分量为：的冲量的切向分量为：（3）0002382312mvvmvmI切（4）两冲量分别以所对应球的初始切向速度分量为参考正向两冲量分别以所对应球的初始切向速度分量为参考正向绳作用后m2m035v031vR解解30cos/11切II绳给绳给2的冲量的切向分量为：的冲量的切向分量为：30cos/22切II这两个量只是两个冲量的切向分这两个量只是两个冲量的切向分量，它们对应的总冲量分别为量，它们对应的总冲量分别为03316mv03316mv绳作用后m2m035v031vR（1）答案）答案解解绳改成弹性绳
16、后，绳可伸长，两球的运动状态改变并不在一瞬间完成。因绳改成弹性绳后，绳可伸长，两球的运动状态改变并不在一瞬间完成。因此，此，绳拉直后，在球继续沿圆轨道运动时，绳保持对两球的拉力。绳拉直后，在球继续沿圆轨道运动时，绳保持对两球的拉力。v0v0m2mR绳拉直瞬间v2v1=0m2mR球1停止时解解绳拉伸过程中，机械能守恒绳拉伸过程中，机械能守恒2020202212223212212121221mvmvvmRlkmvvm（5）绳拉伸过程中，角动量也守恒绳拉伸过程中，角动量也守恒RmvRmvRvmRmvRvm0001222（6）（5）、（）、（6）两式消去）两式消去v2，再令，再令01vRl2得得220
17、25Rmvk（2.1）答案）答案v2v1=0m2m球1停止时解解两球在距离两球在距离2R以后，以后，球球1停止后开始加速，球停止后开始加速，球2沿轨道继续向沿轨道继续向前运动。两球碰撞发生在轨道的下半部前运动。两球碰撞发生在轨道的下半部v2v1=0m2m球1停止时m2m两球碰撞解解v2v1=0m2m球1停止时Rdtvdtvtttt32212112从题图开始到绳长为从题图开始到绳长为R所经过的时间为所经过的时间为001623vRvRt（7）从绳长为从绳长为R到到2R的过程中两球走过路程为的过程中两球走过路程为RRR323，设这过程结束时时刻为，设这过程结束时时刻为t2，它满足，它满足（8）由题意
18、，上式可写成由题意，上式可写成Rdtvtt321212（9）解解v2v1=0m2m球1停止时1202319221ttvRdtvtt（10）v1、v2必须满足角动量守恒方程（必须满足角动量守恒方程（6），把（），把（6）代入（代入（8）式，又得到：）式，又得到：RmvRmvRvm0122（6）由（由（9）、（）、（10）消去）消去212ttdtv得得0121324vRtt（11）解解v2v1=0m2m球1停止时由绳长为由绳长为2R到两球碰撞的过程中，整个过程到两球碰撞的过程中，整个过程为绳长由为绳长由0到到2R过程的逆过程，经历时间与正过程的逆过程，经历时间与正过程相同，因此，利用（过程相同，因
19、此，利用（7）和（）和（11）式得：）式得：碰撞时刻为碰撞时刻为1212tttte（11）013vR016vRt（7）0121324vRtt（2.2）答案）答案非惯性系非惯性系惯性力惯性力惯性系：惯性系：牛顿运动定律成立的参考系牛顿运动定律成立的参考系0amFi非惯性系相非惯性系相对惯性系的对惯性系的加速度加速度非惯性系：非惯性系：牛顿运动定律不成立的参考系牛顿运动定律不成立的参考系凡是牛顿定律成立的参照系称为凡是牛顿定律成立的参照系称为惯性系惯性系,相对惯相对惯性系作匀速直线运动的参照系性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系也是惯性系 牛顿定律不成立的参照系称为牛顿定律不成立的参照系称为非惯性
20、系非惯性系,相对于惯相对于惯性系作加速运动的参照系性系作加速运动的参照系是非惯性系是非惯性系惯性力：惯性力：在牛顿定律中加入附加项，使之仍可以求解在牛顿定律中加入附加项，使之仍可以求解非惯性系问题非惯性系问题质量为质量为m的物体在非惯性的物体在非惯性系中受到的惯性力系中受到的惯性力amFFi物体实际受物体实际受到的力到的力非惯性系中牛顿运动定律写成：非惯性系中牛顿运动定律写成：这时物体相对参考系向参考系加速度的反方向加速，例这时物体相对参考系向参考系加速度的反方向加速，例如加速的汽车中的乘客。如加速的汽车中的乘客。物体相对非惯物体相对非惯性系的加速度性系的加速度惯性力惯性力0amFi1.当物体
21、不受任何力时：当物体不受任何力时：0F上式成为：上式成为：amFi0aaamFFi2.当物体受力恰好为：当物体受力恰好为：0amFFi上式成为：上式成为：0a表明物体如果保持相对参考系不动，需要一个力表明物体如果保持相对参考系不动，需要一个力 ，例如乘客要站稳需要一个指向汽车加速方向的力。例如乘客要站稳需要一个指向汽车加速方向的力。0am第25届，3解解(1).系统处处无摩擦，车厢加速度竖直向上系统处处无摩擦，车厢加速度竖直向上 此时车厢加速度只对此时车厢加速度只对B有影响有影响ATBTgmBx对对A滑块有：滑块有：amTA对对B滑块有：滑块有：amamTgmBBB0设设B运动的正方向沿运动的
22、正方向沿+x，则，则i gg重力加速度重力加速度车厢加速度车厢加速度iaa00绳对绳对A的拉力的拉力iTT惯性力惯性力两滑块加速度相等x绳对绳对B的拉力的拉力iTT对对A滑块有：滑块有：amTA对对B滑块有：滑块有：amamTgmBBB0的表达式带入方程得的表达式带入方程得g把把0aTTBTgmBxATx消去消去T 得：得：BABBmmamgma0（1）答案）答案结论：当车厢向上加速结论：当车厢向上加速时，时，B相对车厢的加速相对车厢的加速度比车厢静止时要大度比车厢静止时要大解解(2).B与桌的侧面有摩擦，车厢加速度水平向右与桌的侧面有摩擦，车厢加速度水平向右 此时车厢加速度对此时车厢加速度对
23、A和和B都有影响都有影响ATBTgmB对对A滑块有：滑块有：00amTA惯性力，其中惯性力，其中x其中其中iTT由上面各式得由上面各式得A滑块满足：滑块满足：00amTA（1）两物静止：两物静止：0BAaaiaa00 xyBTgmB对对B滑块有：滑块有：00amfNTgmBB惯性力，其中惯性力，其中ATx桌侧面对桌侧面对B的推力的推力桌侧面对桌侧面对B的摩擦力的摩擦力其中其中iTTi ggjNN由上面各由上面各式得式得B滑滑块满足：块满足：0fTgmBx方向：方向：（2）00amNBy方向：方向：（3）jaa00 xyATBTgmBx由（由（1）、（）、（2）可得：）可得：0amgmfAB（4
24、）由（由（3）可得：）可得：0amNB（5）（4）式中）式中f 是使是使B与桌面侧面不发生滑动所需的静摩擦力，与桌面侧面不发生滑动所需的静摩擦力，对于正压力对于正压力N，f 的上限为的上限为 N，当所需的摩擦力超过，当所需的摩擦力超过 N时，时，B与桌面侧面将发生滑动。即：与桌面侧面将发生滑动。即：Nf把（把（4）、（）、（5）代入上式解得：）代入上式解得：BABmmgma0本题结束火箭问题火箭问题变质量变质量+动量守恒动量守恒1.喷射燃料使质量不断减少喷射燃料使质量不断减少-质量不守恒质量不守恒火箭：火箭：v2.燃料相对火箭以恒速率喷出燃料相对火箭以恒速率喷出设火箭在某时刻：设火箭在某时刻：
25、M下一时刻：下一时刻：vvmMmu（相对火箭）前一时刻动量：前一时刻动量：vmvvmmmu（相对火箭）Mvp 后一时刻动量：后一时刻动量：uvmvvmMp前后动量增量：前后动量增量：pppmuvM牛顿定律：牛顿定律：tpFtmutvMdtdmudtdvMdtdmudtdvMFF是火箭飞行时受到的总外力。例如是火箭飞行时受到的总外力。例如地球引力。如果地球引力。如果F可忽略，方程变为可忽略，方程变为0dtdmudtdvM火箭单位时间内喷出的燃料vmvvmmmu（相对火箭）dtdMudtdvMF燃料喷射时，火箭质量减少，因此燃料喷射时，火箭质量减少，因此0dtdMudtdvM方程变为方程变为dMd
26、m有外力时有外力时无外力时无外力时火箭方程火箭方程第26届：15题意：题意：vmvvmmmu（相对火箭）RtMMm00uu 无外力：无外力：0mdtdm0dtdmudtdvM解解uMmdtdva0uMMmaR00minuMma00max飞船启动时飞船启动时燃料用尽时燃料用尽时（1）飞船加速度的最小和最大值）飞船加速度的最小和最大值由火箭方程：由火箭方程：0dtdMudtdvM两边积分两边积分（2）飞船末速度）飞船末速度MdMudv000MMMvReMdMudv00lnMMMuvRe（3）初始时刻发动机提供的功率，和整个过程的平均功率）初始时刻发动机提供的功率，和整个过程的平均功率t时刻时刻 2
27、21MvtEk20202121uvdtmdvvdtmMdttEkt+dt时刻时刻发动机在发动机在dt时间内使时间内使火箭火箭+喷出的燃料喷出的燃料的动能带来的变化的动能带来的变化发动机提供的能量转化为发动机提供的能量转化为飞船的动能飞船的动能+燃料的动能！燃料的动能！二者相减二者相减 tEdttEdEkkkdtumudtmMdvv20021dtdEPk功率功率20021umumdtdvMv0火箭方程火箭方程2021um（4）发射效率）发射效率两边积分两边积分由由（2），飞船的末飞船的末动能动能20,21eekvME20021umdMdEmdtdMdMdEdtdEPdMudE2212221210
28、0uMdMuERMMMR此为燃料全部耗此为燃料全部耗尽所做的总功尽所做的总功20020ln21MMMuMR发射效率发射效率2000,lnMMMMMEERRek由前面的结果由前面的结果发动机提供的功率只有一部分由火箭获得，另一部分由喷出发动机提供的功率只有一部分由火箭获得，另一部分由喷出的燃料获得。的燃料获得。（5）=MR/M0为何值时，为何值时，最大最大求导数求导数21ln11ln121ln122dd令导数为零令导数为零得得 满足满足121ln1ln12465%本题结束连续体引力问题：连续体引力问题：万有引力为平方反比力，与静电力极其类似，在很多方面满足同样规律。引力势引力势：万有引力的势能表
29、达：万有引力的势能表达式为：式为：若讨论若讨论m在在M势场中的运动，势场中的运动，可定义引力势：可定义引力势：则则m在在M引力势场中所具有的引力势场中所具有的势能为：势能为：rMmGrEP)(（1）rMGrV)(（2）mV(r)EP该式立即变回（该式立即变回（1）。）。类似地，可定义引力场强度：类似地，可定义引力场强度：)(r该式立即变回万有引力定律的该式立即变回万有引力定律的原始形式：原始形式：（3）rerMG2mF（4）rerMmG2式中式中 是由是由M指向指向m方向的单方向的单位矢量。则位矢量。则m在该势场中受力在该势场中受力为：为：re与静电场中的高斯定理类似，与静电场中的高斯定理类似
30、，把（把（3）对同心球面）对同心球面S作积分：作积分：MRSM为高斯面中的总质量。该公式完全可推广到多为高斯面中的总质量。该公式完全可推广到多个质量个质量M1、M2、和任意曲面以及连续体情形和任意曲面以及连续体情形GMSdS4（5）例：例：质量为质量为M的气体均匀分布于半的气体均匀分布于半径为径为R的球形空间中的球形空间中。求质点求质点m在球在球体内部和外部的受力和势能。体内部和外部的受力和势能。m在球体内部，在球体内部，rR时：时：mRS3RrGM右边右边=右边，有：右边，有：MmRrGmF3m受力为：受力为：该力指向圆心该力指向圆心2rMmGmF与把所有质量与把所有质量M集中于球集中于球心
31、时等价：心时等价：rF 21rF R第24届：5第24届：5PR/2v0RyxmRRrG3334P在气体内部，所受引力指向圆心，在气体内部，所受引力指向圆心，其值为：其值为：MmRrGF3Gmr342R/Pr.dFE初始时初始时，P所具有的势能为：所具有的势能为：RRR/r.dFr.dF2RR/PRErr.dGm234P在在R处的势能处的势能PREGmR 221第24届：5PR/2v0yx忽略阻力，忽略阻力，P的机械能守恒，设在的机械能守恒，设在气体边缘处气体边缘处P的速度为的速度为v，则有：，则有：P不逸出气体外要求不逸出气体外要求P在气体边缘时在气体边缘时Rv 由于由于P只受有心力作用，对
32、力心的角动量守恒：只受有心力作用，对力心的角动量守恒：20RmvmvR2/0vv 即即，代入（，代入（1）解得：）解得：（1）PRPREGmRmvEmv2202212121GRv340第一空PR/2v0yxP在在x和和y方向上作简谐振动，方向上作简谐振动，振动方程写为：振动方程写为：j yi xGmF34xtAxcosytBycos初始条件为：初始条件为：20R/x 00y00 xv00vvy0 x2/y2R/ARB 角频率为：角频率为：G34tR/xcos2tR/tRysin2cos（2）PR/2v0yx两方程消去两方程消去t得：得：2224Ryx第二空李萨茹图：李萨茹图：P点轨迹点轨迹第23届：15伯努利关系：对不可压缩流体伯努利关系：对不可压缩流体constant212gyvP压强压强密度密度重力加重力加速度速度高度高度坐标坐标对本题：在水面处对本题：在水面处0y0,v0，PP02021PgyvP因此，在深度因此，在深度h处处012211PghvPh水喷射到水桶外部时，压强为空气中水喷射到水桶外部时，压强为空气中压强，与水面处一样压强，与水面处一样01PPh上式变为上式变为02112 ghv122ghv 后面自行推导后面自行推导本题结束
