1、第第4讲讲 日照东方日照东方古代与中世纪的东方数学一、中国传统数学一、中国传统数学二、印度数学二、印度数学三、阿拉伯数学三、阿拉伯数学四、中国与印度、阿拉伯的数学交流四、中国与印度、阿拉伯的数学交流中世纪数学的主角：中世纪数学的主角：中国、印度与阿拉伯地区的数学。中国、印度与阿拉伯地区的数学。东方数学特色：东方数学特色：强烈的算法精神强烈的算法精神 所谓所谓“算法算法”并不是单纯的计算，而是为了解并不是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性计算方法。性计算方法。注：注：东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到东方数学在文
2、艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。的诞生。一、一、中国传统数学中国传统数学1.1 中国传统数学的奠基中国传统数学的奠基 萌芽（石器时代、青铜时代）原始社会、夏商周萌芽（石器时代、青铜时代）原始社会、夏商周 积累与奠基（春秋战国时代、秦、西汉）积累与奠基（春秋战国时代、秦、西汉）1.2 周髀算经周髀算经与数理天文学与数理天文学1.3 九章算术九章算术与中国传统数学的体系与中国传统数学的体系盖天说盖天说勾股定理勾股定理宋版书影宋版书影日高术日高术 周髀算经周髀算经:数学著作数学著作,天文学著作天文学著作.“盖
3、天说盖天说”的代表的代表.约成书于西汉时期约成书于西汉时期(公元前公元前2 2世纪世纪).).数学内容数学内容:学习数学的方法学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等比较复杂的分数计算等.“勾广三勾广三,股修四股修四,径径隅五隅五”商高定理商高定理-勾股定理勾股定理返回“以日下为勾以日下为勾,日日高为股高为股,勾股各自乘勾股各自乘,并而开方除之并而开方除之,得邪得邪至日至日.”勾股定理的证明勾股定理的证明弦弦 图图abcaa2b2heSOchhd=+=+表表高高表表距距日日高高表表高高表表高高影影差差影差影差d=后影长后影长BD 前影长前影长A
4、C=b a表距表距AB=e日日前表前表后表后表前影前影后影后影南戴日下南戴日下日远日远日高日高A BO A a C B b DSOhhhc日高公式（重差术）日高公式（重差术）返回（1 1）汉简）汉简算数书算数书算数书算数书:1983年年12月在湖北江陵张家山出月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的竹简土一本西汉初年的竹简,收有许多应用的数学问收有许多应用的数学问题题.现已整理出版现已整理出版(包括包括竹简照片和释文竹简照片和释文).九章算术九章算术共收有共收有 246246个数个数学问题，分为九章。分别是：方学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、田、栗米、衰分、少广、商功、均输
5、、盈不足、方程、勾股。均输、盈不足、方程、勾股。九章算术九章算术是世界上最早系是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；的创造；“方程方程”章还在世界数章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。运算法则。（2 2）九章算术九章算术 1.1.方田方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界 上最早对分数进行系统叙述的著作。上最早对分数进行系统叙述的著作。2.2.粟米粟米：组好事粮食交易的计算方法，其中涉及许多比组好事粮食交易的计
6、算方法，其中涉及许多比 例问题。例问题。3.3.衰衰（读作（读作“翠翠”）分分：主要内容为分配比例的算法。：主要内容为分配比例的算法。4.4.少广少广：主要讲开平方和开立方的方法。：主要讲开平方和开立方的方法。5.5.商功商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体 积的计算为主。积的计算为主。6.6.均输均输：计算税收等更加复杂的比例问题。：计算税收等更加复杂的比例问题。7.7.盈不足盈不足：双设法的问题。：双设法的问题。8.8.方程方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减 法，在世界数学史上是第一次
7、出现。法，在世界数学史上是第一次出现。9.9.勾股勾股：勾股定理的应用。：勾股定理的应用。九章算术九章算术的内容的内容九章算术九章算术的数学成就的数学成就（1）算术方面算术方面 （i）分数四则运算法则分数四则运算法则 （ii）比例算法比例算法:“今有术今有术”：a:b=c:x x=b c/a （iii）盈不足盈不足:是以盈亏类问题为原型是以盈亏类问题为原型,通过两次假设来通过两次假设来 求繁琐、困难的算术问题的解的方法求繁琐、困难的算术问题的解的方法.如如:今有共买物今有共买物,人出八盈三人出八盈三,人出七不足四人出七不足四,问人数、物价问人数、物价 各几何？各几何？设人数为设人数为x,物价为
8、物价为y,每人出钱每人出钱a1盈盈b1,出钱出钱a2不足不足b2.则的则的“盈不足术盈不足术”相当于给出如下解法：相当于给出如下解法：1212211221121212,bba ba ba ba byxyaaaaxbb(ii)(ii)正负术正负术:正、负数的加减运算法则正、负数的加减运算法则 同名相除同名相除,异名相益异名相益,正无入负之正无入负之,负无入正之负无入正之.其异名相除其异名相除,同名相益同名相益,正无入正之正无入正之,负无入负之负无入负之.（2 2）代数方面）代数方面 (i)(i)方程术方程术:线性方程组的解法线性方程组的解法 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；今有上禾
9、三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？问题相当于解一个三元一次线性方程组：问题相当于解一个三元一次线性方程组：3239,2334,2326.xyzxyzxyz注：注：关键算法关键算法:遍乘直除遍乘直除,即即Gauss消元法消元法.(iii)(iii)开方术开方术:开平方和开立方的算法开平方和开立方的算法 本质本质:减根变换减根变换 过程过程:开方术相当于解方程开方术相当于解
10、方程:x2=A.设解设解 x 是一个是一个 k 位数位数,令令x=10k 1x1,方程变为方程变为:102k 2x12=A,仪得仪得x1的整数部分的整数部分,记记为为 ,令令 ,则方程变为则方程变为:,其中其中1x111210 xxx212121a xb xA222221222111111010;10102;10kkkabxAAx再议得再议得x2的整数部分的整数部分,记为记为 ,令令 ,则方程变则方程变为为:,其中其中上述过程一直下去上述过程一直下去.2x122310 xxx223232a xb xA2121212121121210;(2)10;()aaba xbAAa xbx二次方程的数值求
11、解算法称为二次方程的数值求解算法称为“开带从平方法开带从平方法”.“开方术开方术”指出了开方有指出了开方有开不尽开不尽的情形：的情形：“若开之不尽者，为不可开若开之不尽者，为不可开”。不尽根数专门的名字不尽根数专门的名字面面（3 3）几何方面）几何方面 几何问题具有很明显的实际背景几何问题具有很明显的实际背景.所有直线形的面积、所有直线形的面积、体积公式都是准确的体积公式都是准确的.如如:正方形、矩形、三角形、梯正方形、矩形、三角形、梯形、长方体、正方体、底面为长方形而有一棱与底面形、长方体、正方体、底面为长方形而有一棱与底面垂直的锥体、上下底面都是长方形的棱台等垂直的锥体、上下底面都是长方形
12、的棱台等.刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：(2)(2)6hVbd adb cabcd羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：1()6Vabc hl圆面积公式：圆面积公式：2AR这里圆周率这里圆周率 取取3.abhl学术界思辨之风再起学术界思辨之风再起在数学上也兴起了论证的趋势在数学上也兴起了论证的趋势最杰出代表最杰出代表:刘徽、祖冲之父子刘徽、祖冲之父子最主要成就：最主要成就：割圆术割圆术 面积、体积理论面积、体积理论生卒不详生卒不详公元公元263年撰年撰九章算术注九章算术注（一）刘徽的割圆术（
13、一）刘徽的割圆术-极限方法极限方法割圆术的割圆术的要旨要旨是用圆内接正多边是用圆内接正多边形逼近圆。形逼近圆。指出指出:割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少,割之割之又割又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆合体而则与圆合体而无所失矣无所失矣.ECFAGBOrrr设圆面积为设圆面积为 Sn,半径为半径为r,圆内接正圆内接正 n 边形的边长为边形的边长为 ln,周长为周长为 Ln,面积为面积为Sn,将边数加倍后将边数加倍后,得到圆内接正得到圆内接正 2n 边形边形,其边长其边长,周长周长,面积分别记为面积分别记为 l2n,L2n,S2n.刘徽注意到当刘徽注意到当 ln 已知已知,由勾股由勾股定理可
14、以求出定理可以求出 l2n.即：即：22222 211222()()nnnlACAGCGlrrl 化为分数即为化为分数即为:157/50,这就是著名的这就是著名的“徽率徽率”.1221()22nnnl rSnAB ODnLr在内接在内接 n 边形的每边上作一高为边形的每边上作一高为 CG 的矩形的矩形,则则2022()nnnnSSSSS刘徽取半径为一尺的圆刘徽取半径为一尺的圆,计算到计算到192边形边形,得出精确到两位小得出精确到两位小数的圆周率的近似值数的圆周率的近似值3.14（二）刘徽的面积理论（二）刘徽的面积理论极限方法极限方法出入相补原理：出入相补原理：一个几何图形（平面的或立体的）被
15、分割一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后成若干部分后,面积或体积的总和保持不变。面积或体积的总和保持不变。勾股定理的证明勾股定理的证明（三）刘徽的体积理论（三）刘徽的体积理论-阳马术阳马术不易之率：不易之率：阳马体积阳马体积Y与鳖臑体积与鳖臑体积 B 之比为之比为2:1对每个小阳马和每个小鳖臑作同样的剖分对每个小阳马和每个小鳖臑作同样的剖分,则则n次剖分后有次剖分后有:阳马中除去两个小阳马部分的体积阳马中除去两个小阳马部分的体积(记为记为 )为鳖为鳖臑臑中除去两中除去两个小鳖个小鳖臑臑部分的体积部分的体积(记为记为 )的的2倍倍,他们合在一起的体积应他们合在一起的体积应占原壍堵体积
16、的占原壍堵体积的3/4(刘徽称为刘徽称为“已知已知”部分部分),因而剩余部分因而剩余部分(即两个小阳马和两个小鳖臑即两个小阳马和两个小鳖臑)的体积应占原壍堵体积的的体积应占原壍堵体积的1/4(称称为为“未知未知”部分部分).若分别用若分别用 记每个小阳马和小鳖臑的记每个小阳马和小鳖臑的体积体积,则则1Y1B11,YB11112,2YYYBBB111122,22nnininininiiYYYBBB已知部分属阳马的体积为已知部分属阳马的体积为 ,属鳖臑的体积为属鳖臑的体积为 ,两者之比恒为两者之比恒为2:1.112niiiY112niiiB未知部分的体积未知部分的体积,若记为若记为 ,并不妨设原壍
17、堵体积为并不妨设原壍堵体积为1,则则nu1111112()22()20484nnnnnnnnnnuYBYB刘徽认为无限剖分下去刘徽认为无限剖分下去,则得则得不易之率：不易之率：Y:B=2:1（四）球体积公式证明的尝试（四）球体积公式证明的尝试外切立方体积外切立方体积牟合方盖体积牟合方盖体积=？4内切球体积内切球体积牟合方盖体积牟合方盖体积=DDDD刘徽结论刘徽结论刘徽刘徽:敢不阙疑敢不阙疑,以俟能言者！以俟能言者！问题关键：如何求外三棋体积和问题关键：如何求外三棋体积和 与小立方体积关系与小立方体积关系最初是附于他所注的最初是附于他所注的九章算术九章算术(263)之后之后,唐唐初开始单行初开始
18、单行,体例亦是以应体例亦是以应用问题集的形式用问题集的形式.全书共全书共9题题,全是利用测全是利用测量来计算高深广远的问题量来计算高深广远的问题,首题测算海岛的高、远首题测算海岛的高、远,故故得名得名.海岛算经海岛算经是中国最是中国最早的一部测量数学著作早的一部测量数学著作,亦亦为地图学提供了数学基础为地图学提供了数学基础.（五）（五）刘徽著刘徽著海岛算经海岛算经祖冲之祖冲之与与祖暅祖暅主要数学成就：主要数学成就：(1)(1)圆周率圆周率 (2)(2)祖氏原理与球体积祖氏原理与球体积（一）祖冲之（一）祖冲之-缀术缀术与圆周率与圆周率割圆术割圆术:正六边形出发正六边形出发,连续算到正连续算到正2
19、4576边形边形,恰好可以得恰好可以得到祖冲之的结果到祖冲之的结果.3.1415926(朒朒(nv)数数)3.1415927(盈数盈数)圆周率分数形式的近似值：圆周率分数形式的近似值：约率：约率：密率：密率：227355113现代数论中现代数论中,如果将圆周率表示成连分数如果将圆周率表示成连分数,其渐近分数为其渐近分数为:3 22 333 355 103993 104348,.17106 1133310233215（二）祖暅（二）祖暅-球体积公式与祖暅原理球体积公式与祖暅原理祖暅原理：祖暅原理：幂势既同幂势既同,则积不容异则积不容异 意即意即:位于两平行平面之间的两个立体位于两平行平面之间的两个立体,被任一平行于这被任一平行于这两平面的平面所截两平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等如果两个截面的面积恒相等,则这两个立则这两个立体的体积相等体的体积相等.A BD CE FH GI P JL KM NOQSR TV UW XZ Yhaaaaaaahahhh因为因为 IJ2 MN2=AB2 IP2=AP2(AP2AI2)=AI2=h2SSIPNMSSWXYZQNOKPJQN=+故故38谢谢！谢谢！
