1、振动：振动：一个弹性系统在平衡位置上，受到一个冲击（突然施加一个外力或突一个弹性系统在平衡位置上，受到一个冲击（突然施加一个外力或突然除去一个外力）使这个弹性系统脱离原来的平衡位置，在新的位置上系统然除去一个外力）使这个弹性系统脱离原来的平衡位置，在新的位置上系统的弹性力不能与载荷相平衡了，于是就发生了振动。的弹性力不能与载荷相平衡了，于是就发生了振动。自由振动：自由振动：只靠弹簧的弹性力所维持的振动称为自由振动。只靠弹簧的弹性力所维持的振动称为自由振动。单自由度系统：单自由度系统：只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，这种系统称只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，这种系统称 为单自
2、由系统为单自由系统.stmgk()stmxmgkx0mxkx0stgxx2nstgkm20nxx(1)1cosnxCt2sinnxCt或1C2C为两个任意常数，则通解可写为：12cossinnnxCtCtcosntsinnt均为周期函数，故有：(2)()2nntTt0lxstkm22nstTgst(3)11212stgfTkm1C2C0t 00,x x 10Cx02nxC00cossinnnnxxxtt(5)(4)描述简谐振动的三个特征量描述简谐振动的三个特征量1.振幅振幅 A2.周期周期 T 和频率和频率 f3.相位相位 是是 t 时刻的相位时刻的相位简谐振动简谐振动定义定义:特点特点:(1
3、)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动(1)是是 t=0 时刻的相位即初相时刻的相位即初相(2)()sin()nx tA t()()x tx tT22nTf n t简谐振动的表示简谐振动的表示1.1.以旋转矢量表示的简谐振动以旋转矢量表示的简谐振动sin()nxAt2200nxAx00arctannxx(6)2.2.以复数表示的简谐振动以复数表示的简谐振动模为模为A A的矢量的矢量OPOP旋转，其复数表示为旋转，其复数表示为cos()sin()nnZAtit根据欧拉公式根据欧拉公式cossiniei()itZAe式（式（6 6）可表示为：）可表示为：(7)(8)比较式（比较式（6 6）（）
4、（7 7）简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影）简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影.()sin()ImitxAtAe在以后的叙述中，对复数表达式不做特殊说明时，即表示取其在以后的叙述中，对复数表达式不做特殊说明时，即表示取其虚部虚部.(9)3.3.物体运动的速度和加速度为物体运动的速度和加速度为sin()2nnvxAt2sin()nnaxAt(10)(11)由式（由式（6 6）（）（1010）（）（1111）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速度与加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速度的相位超前度与加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速
5、度的相位超前位移位移2，加速度的相位超前位移加速度的相位超前位移sin()nxAt(6)30Wlbf50lin20.0001Ain6230 10/Elbf in00.01xin01/xin s630 500.0530 100.001stWWlinkEA11138614220.05stgfs228 /nfrad s2220010.010.01513214nxAxinlc22()3stWc lclEI223()lEIkc lc12stgfl0v10000Wlbf62lft22.5Ain6215 10/Elbf in03/vft sstWlEA64386 15 102.544.8/1 1060 12
6、nstgrad s0t 00 x 00 xv0nvA461 1060 12360.99515 102.544.8dstAin421 100.99520750/2.50.192dstWlbf inA00cossinnnnxxxttTVC(1)()0dTVdt动能为零时势能达到最大值，而势能为零时动能达到最大值，则有：动能为零时势能达到最大值，而势能为零时动能达到最大值，则有：maxmaxTV22max12nTmAsin()nxAtcos()nnvAt2max12VkAnkm(2)工程实际中通常振幅不大的振动，差不多都是简谐振动，都可用式（工程实际中通常振幅不大的振动，差不多都是简谐振动，都可用式
7、（1 1）计算振动的固有频率。计算振动的固有频率。kmx能量法计算固有频率能量法计算固有频率k klakkall()a()b()c()a2 22WlTg2(1 cos)2WlVWl0sinntmaxmaxTV22 220022nWlWlg ngl()b2 22WlTg2222()2(2)222Wlk aVWlka()0dTVdt2 222(2)022dWlWlkadtg22(2)nWlkagWl()c为了计及这部分质量对系统振动固有频率的影响，利用能量法为了计及这部分质量对系统振动固有频率的影响，利用能量法可对分布质量系统作近似计算，方法是先对具有分布质量的弹可对分布质量系统作近似计算，方法是
8、先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律性元件假定一种振动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律代入，即得到等效质量和固有频率，这种近似计算方法称为瑞代入，即得到等效质量和固有频率，这种近似计算方法称为瑞利法（为利法（为Lord RayleighLord Rayleigh所创）所创）设弹簧的长度为设弹簧的长度为 ,单位长度的质量为单位长度的质量为 ，假定弹簧的变形，假定弹簧的变形与离固定点的距离与离固定点的距离 成正比，弹筑端点的位移设为成正比，弹筑端点的位移设为 。将。将微元长度微元长度 的动能在整个弹簧范围内积分，以计算弹簧的的动能在整个弹簧范围内积分，以计
9、算弹簧的动能动能 ，得到，得到22011 122 3lttxTdmxltml为弹簧质量为弹簧质量13etmm考虑弹簧质量系统的总动能考虑弹簧质量系统的总动能21123tTmmx13ntkmm等效质量等效质量lxdtTlEI 23332lfxl223223013133222 140llllTx dmxllml33140elmm33140nlkmm假定振动中梁的变位曲线和梁外端加一静载荷时梁的变位曲线的形状相假定振动中梁的变位曲线和梁外端加一静载荷时梁的变位曲线的形状相同。同。设悬臂梁的长度为设悬臂梁的长度为 ,单位长度的质量为单位长度的质量为 ，抗弯刚度为，抗弯刚度为 ，其，其中中 和和 分别为
10、梁的弹性模量和截面二次矩。分别为梁的弹性模量和截面二次矩。EI为梁的质量为梁的质量等效质量等效质量系统的固有频率为：系统的固有频率为：33EIkl在实际的单自由度振动系统中通常包含有多个弹性元件和惯性元件，为方便在实际的单自由度振动系统中通常包含有多个弹性元件和惯性元件，为方便振动分析，可将该系统等效为一个由等效刚度和等效质量组成的单自由度振振动分析，可将该系统等效为一个由等效刚度和等效质量组成的单自由度振动系统。等效的方法有两种：动系统。等效的方法有两种：1)1)能量法能量法 2)2)定义法。定义法。平行串联、并联弹簧的等效刚度平行串联、并联弹簧的等效刚度平行串联、并联弹簧的等效刚度平行串联
11、、并联弹簧的等效刚度例例1 1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement.Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of 9280 10/GN mand has five effective turns,mean coil diameter 20Dcmand wire diameter 2dcm44933(0.02)(80 10)40,
12、000.0/88(0.2)(5)d GkN mD n33(40,000.0)120,000.0/eqkkN m例例2 2 A hoisting drum,carrying a steel wire ripe,is mounted at the end of a cantilever beam.Determine the equivalent spring constant of the system when the suspended length of the wire rope is lAssume that the net cross-sectional diameter of the
13、 wire rope is dand the Youngs modulus of the beam and the wire rope is E33333331()124bEIEEatkatbbb24rAEd Ekll33211144beqrblkkEatd Ek322334eqEat dkd blat斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度cosxFFFk 为弹簧的伸长量为弹簧的伸长量cosx exxkx方向的力方向的位移2ecosxxFkkx例例1 1 To calculate equivalent stiffness in xyand directio
14、ns112ekkk34234ek kkkk222112253sinsinsinexeekkkk222112253coscoscoseyeekkkk例例1 1.The boom AB of the crane shown in Fig.1.27(a)is a uniform steel bar of length 10m and area of cross section 25002mm.A weight W is suspended while the crane is stationary.The cable CDEBF is made of steel and has a cross-se
15、ctional area of 1002mm.Neglecting the effect of the cable CDEB.Find the equivalent spring constant of the system in the vertical direction.2k2cos45xx1k1cos(90)xxA vertical displacement x of point B will cause the spring(boom)to deform by an amount(cable)to deform by an amount.222113102(3)(10)cos1351
16、51.426.12.3055llm2221132()(3)cos10,cos0.8184.35.0736ll221211(cos45)cos(90)22Uk xk xand the spring Since the equivalent spring in the vertical direction undergoes a deformation 6961111(100 10)(207 10)1.6822 10/12.3055AEkN ml6972222(2500 10)(207 10)5.1750 10/10A EkN ml212eqeqUk xeqUU626.4304 10/eqkN m
17、x()eqU,the potential energy of the equivalent spring is given by Example 1.The equivalent mass can be assumed to be located at point A.The linear coordinate xspecifies the displacement of point A.The static equilibrium position of the system is zero position.The kinetic energy of the original system
18、 is 22211124222ababxTm xmlmmxlThe kinetic energy of the equivalent system is 2ee12Tm xBy eTT4eabmmmCombination of MassesIn many practical applications,several masses appear in combination.For a simple analysis,we can replace these masses by a single equivalent mass,as indicated below.Case 1:Translat
19、ional Masses Connected by a Rigid Bar32213111,llxx xxll1eqxx22221 1223311112222eqeqm xm xm xm x223212311eqllmmmmllCase 2:Translational and Rotational Masses Coupled Together.eqmeqJ(1)a single equivalent translational mass (2)a single equivalent rotational mass 1.Equivalent translational mass.2201122
20、TmxJ212eqeqeqTm xeqxxxR2220111222eqxm xmxJR02eqJmmR2.Equivalent rotational mass.eqxR2220111()222eqJmRJ20eqJJmRExample 2 Cam-Follower Mechanism Find:Equivalent mass of the cam-follower system(i)at point A,(ii)at point CApproach:Equivalence of kinetic energy.1rxl221/vrxlxll331/rrxlxll222211112222ppvvr
21、rrrTm xm xJm x212eqeqeqTm x3211,pvrxlxlxxxxll1rxl2232222111reqpvrlJlmmmmlll Similarly,if the equivalent mass is located at point C,eqvxx221122eqeqeqeqvTm xm x22312222reqvprlJlmmmmlll1.1.等直径轴的扭转振动等直径轴的扭转振动ptGIkl0Jk20n 2nJk00cossinnnntt12kfJ432pdI2.2.阶梯轴的扭转振动阶梯轴的扭转振动1 12 2等效成具有轴等效成具有轴1 1直径的当量轴直径的当量轴12
22、144414211242323232tttM lM lMldd Gd Gldd G4132tM Ld G原则：等效前后扭转刚度不变原则：等效前后扭转刚度不变推广：推广：44nndlld3.3.两端各带一转动体轴的扭振周期两端各带一转动体轴的扭振周期mnlabJ1J2由动量矩守恒两端的物体永远做相反方向的由动量矩守恒两端的物体永远做相反方向的转动，则必有截面转动，则必有截面mnmn是不动的，称节截面是不动的，称节截面.截面左右两部分振动周期相等截面左右两部分振动周期相等.2JTk1212JJkk1212JJkk2211kJkJpGIkl1122klaklb21JaJbabl212J laJJ11
23、2J lbJJ4132G dka1112kfJ4.4.传动系统的扭振周期及等效轴的长度传动系统的扭振周期及等效轴的长度AJAJDBCD1l2l1d2d1r2r略去轴及齿轮的转动惯量略去轴及齿轮的转动惯量两齿轮外啮合，运动方向两齿轮外啮合，运动方向始终相反，故等效轴的节始终相反，故等效轴的节截面为截面为 BC截面截面4111112232AAkG dfJJ l2 222M lGI2 221rr 2212MMrr 242122 222 222121211122212 111222121GIrrr rlIrdrlGIGIllMrM rrr GIIrdr 4212121221drLlllldr2l5.5
24、.驱动系统的刚度等效问题驱动系统的刚度等效问题21i222t2221 t222t211 t2121kikkkU22et1e2t22/2/2UkkeUU2t1et1/kki6.6.驱动系统的惯性等效问题驱动系统的惯性等效问题222221122122211112222TJJJJi22e1e2221122TJJeTT21e1/JJi阻尼阻尼:使振动衰减的作用使振动衰减的作用.阻尼产生原因：材料的内摩擦阻尼产生原因：材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外连接点、支承面等处的外 摩擦及介质阻力等摩擦及介质阻力等.阻尼力：阻尼力：在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。在振动分析当中用于代替阻尼作用的
25、阻碍振动的力。粘滞阻尼理论假定阻尼力大小与速度成正比粘滞阻尼理论假定阻尼力大小与速度成正比,方向与速度相反。方向与速度相反。()()R tcx t 1te2te欠阻尼欠阻尼1(2)ncm21dn21,2 1nni 12222sin2ntttdCxeeC eti12111cos2ntttdCxeeCet欠阻尼欠阻尼1(2)ncm12222sin2ntttdCxeeC eti12111cos2ntttdCxeeCet12cossinntddxeCtCt欠阻尼欠阻尼12cossinntddxeCtCt00(0),(0)xx xx00102,ndxxCx C000()cossinntndddxxx t
26、extt1(2)ncm欠阻尼欠阻尼12cossinntddxeCtCt12sin,cosCACAsinntdxAet22000ndxxAx1000tandnxxx1(2)ncm欠阻尼欠阻尼1(2)ncmsinntdxAet欠阻尼欠阻尼1(2)ncmsinntdxAetntAe欠阻尼欠阻尼1(2)ncmsinntdxAet临界阻尼情况临界阻尼情况000()()ntnx txxx t e10200,nCx Cxx00(0),(0)xx xx12()ntx tCC t e12n 1 (2)cncm000()()ntnx txxx t e临界阻尼情况临界阻尼情况ccc/2 ncm2cncm2 mk2k
27、mm1 (2)cncm过阻尼情况过阻尼情况21cn1212()ttx tCeC e221n 211n 1 (2)cm000()()ntcccxxx teshtx cht00(0),(0)xx xx过阻尼情况过阻尼情况1 (2)cm000()()ntcccxxx teshtx cht欠阻尼对自由振动有以下两方面影响：欠阻尼对自由振动有以下两方面影响：it1itdTt()x tiA1iA221dnT()sin()ntdx tAet22000()ndxxAx()1n in dniDtTitTiAAeeAAe000tan/()dnxxx阻尼测量阻尼测量(3)(3)2ncm 1lnii nAnA2224
28、212211lnindiATAkN4.163516.4 108.2 10(/)0.02kN m12ln0.0276241210.4998sdTT2/40.5sdT 50.86(kN)Wmg2/5190(kg)nmk212.57(1/s)nT23601(N s/m)ncm/20.0257ncm2/0.537(s)nT 11.70(1/s)n5228.2 10136.89(1/s)5190 800nkN4.162sdT 200mkg0 x 250mm1.5114AA0,k c x 1.51/4AA21.51/4/16AAA1222lnln(16)2.77261AA0.403722221ddnT22
29、3.4338/2 1 0.4037nrad s22 200 3.43381373.54cncm N.s/m 0.4037 1373.54554.4981ccc22200 3.43382358.2652nkm N.s/m N/m()sin()ntdx tAet00 x 02()sin(1)ntnx tAet 222()sin(1)1cos(1)0nntnntnnx tAetAet 1tt()0 x t 211sin()1cos()ddtt1t21sin()1dt20.4037 3.4338 0.36780.2510.4037 Ae0.455Am()sin()ntdx tAet()sincosnt
30、ndddx tAett2(0)1dnxAA20.4553.433810.40371.4494/ms2/ddT1t11sin(0.9149)txmaxx112max1sin()1nnttdxAetAe500mkg1000/kNmmax0.4xm0 x 100004.4721/500nkradsm225004.47214472.1/cncmNsm12()ntx tCC t e212()nnttnx tC eCC t e()0 x t 1121nCtC10200,nCxCxx00,0txmax0.4xm500mkg1000/kNm0 x 2()ntx tC te2tt0.1xm2224.4722 20 220.14.8626nntttC t ex t et e20.8258ts11nt110max2 1ntnxxC t ee0max0.44.47212.71834.8626/nxxem smax0.4xm500mkg1000/kNm0 x 0.15stm24509.8160000/0.15stmgkNm1600008.08/2450nkradsm11lnln101.1512iinAnA22110.18328.087.94/dnrads 223.140.797.94ddTs2224508.0839600/cncmNsm1.1510.1832223.140.15stm
