1、不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 1 第二章 投影法与几何元素投影不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 2第一节第一节 投影法投影法物体在物体在光源的照射下光源的照射下会出现影子会出现影子。投影的方法就是从这一自然现投影的方法就是从这一自然现象抽象出来，并随着科学技术的发象抽象出来，并随着科学技术的发展而发展起来的。展而发展起来的。投影法的基本知识投影法的基本知识不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 3投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法常用的投影法有常用的投影法有两大类两大类：中心投影法
2、中心投影法和和平行投影法。平行投影法。不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 4投影面投影面H H投影线投影线B BA AC C*空间点空间点投影投影的的表示表示中心投影法中心投影法投影特性：投影特性：如如改变改变ABCABC与投影中与投影中心或投影面之间的心或投影面之间的距离距离，则，则其其投影投影abcabc的的大小大小也随之也随之改变改变，度量性较差。度量性较差。在在投影中心确定投影中心确定的情况下，的情况下，空间的一个点空间的一个点在投影面上只存在在投影面上只存在唯一一个投影。唯一一个投影。（一）中心投影法（一）中心投影法a ab bc c投影投影投影投影中心中心S S
3、不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 5 如果如果把中心投影法的投影中心移至无穷远处把中心投影法的投影中心移至无穷远处，则则各投影线各投影线成为成为相互平行的直线，相互平行的直线，这种投影法称为这种投影法称为平行投影法平行投影法。正投影法正投影法投影方向投影方向S S 垂直于垂直于投影面投影面H H（二）（二）平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法投影方向投影方向S S 倾斜于倾斜于投影面投影面H H不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 6 投影大小投影大小与物体和投影面之间与物体和投影面之间的的距离无关距离无关。度量性较好。度量性较好。工程图样大多数采用工程
4、图样大多数采用平行投影法平行投影法的正投影法的正投影法。不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 71 1、实形性、实形性2 2、定比性、定比性3 3、平行性、平行性（三）（三）平行投影的特性平行投影的特性不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 8 实形性实形性 当当线段平行于投影面线段平行于投影面H H时，其投影长度反映线时，其投影长度反映线段的实长；当平面图形平行于投影面段的实长；当平面图形平行于投影面H H时，其投影时，其投影与原平面图形全等。与原平面图形全等。不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 9一条直线上任意三个点的简单比是平行投影的
5、不变量一条直线上任意三个点的简单比是平行投影的不变量AC/BC=ac/bcAC/BC=ac/bc 定比性定比性不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 10 两平行直线的投影一般仍平行两平行直线的投影一般仍平行.AB/CD=ab/cdAB/CD=ab/cd 平行性平行性不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 11二、工程上常用的投影图二、工程上常用的投影图（一）正投影图（一）正投影图（二）轴测图（二）轴测图（三）投视图（三）投视图（四）标高投影（四）标高投影不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 12第二节第二节 几何元素的投影几何元素的投影一、点
6、的投影一、点的投影不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 13 V VB1B1B2B2 仅有点的一个投影不仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。能确定点的空间位置。需要增加投影面需要增加投影面不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 14（一）点在三投影面体系中的投影（一）点在三投影面体系中的投影三投影面体系的建立：三投影面体系的建立：用三个用三个相互相互垂直的投影面垂直的投影面构构成投影面体系成投影面体系:不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 15V VH HW W正面投影面（正面投影面（V V面面）水平投影面（水平投影面（H H面面）侧面投影
7、面（侧面投影面（W W面面）o oX XV H=V H=OXOX轴轴V W=V W=OZOZ轴轴H W=H W=OYOY轴轴Y Y两投影面相交，两投影面相交，其交线称为其交线称为投影轴投影轴z z不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 161.1.点的投影点的投影W Wo oX Xa a 点点A A的正面投影的正面投影a a 点点A A的水平投影的水平投影a a 点点A A的侧面投影的侧面投影a a a aa a A AY Y规定：规定：空间点空间点用用大写字母大写字母表示，点的三表示，点的三个个投影投影都用都用同一个小写字母同一个小写字母表示。表示。其中其中H H投影投影不加
8、撇不加撇，V V投影投影加一撇加一撇，W W投影投影加两撇。加两撇。Z ZV VH H（二）（二）点的三面投影及投影规律点的三面投影及投影规律不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 17H HV VW WaaZaa yayaXYYO azxX XY YZ ZO OV VH HW WA Aa aa a a a x xa aa az za ay y向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 18 1)V 1)V、H H两投影都反映两投影都反映横标横标，且且投影连线投影连线垂直垂直X X轴；轴；a a aOXaOX轴轴
9、2)V 2)V、W W两投影都反映两投影都反映高标高标，且且投影连线投影连线垂直垂直Z Z轴；轴；a a a a OZOZ轴轴 3)H 3)H、W W两投影都反映两投影都反映纵标纵标，投影连线是一条折线投影连线是一条折线，其中，其中W W面上的面上的一段一段垂直垂直OYOYW W，H H面上的一段面上的一段垂直垂直OYOYH H，中，中间间可用以可用以O O为圆心的圆弧联系起来为圆心的圆弧联系起来。2.2.点的投影规律点的投影规律不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 19aaaax x=a=a a az z=y=A=y=A到到V V面的距离面的距离a a a ax x=a=a
10、 a ay y=z=A=z=A到到H H面的距离面的距离AaAay y=a a a az z=x=A=x=A到到W W面的距离面的距离不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 201 1、点的投影连线垂直于相应的投影轴、点的投影连线垂直于相应的投影轴 2 2、点的投影到投影轴的距离等于空间点到投影、点的投影到投影轴的距离等于空间点到投影面的距离。面的距离。规律：规律：不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 21例：已知点的两个投影例：已知点的两个投影c c和和c c，求作其水平，求作其水平投影投影c c。c c c c c cc cx xc cz zX XZ ZY
11、 YH HY Yw wc cywywc cy yH Ho o不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 22 点的点的每个投影反映两个坐标每个投影反映两个坐标：V V投影投影反映反映高标高标和和横标横标(aa(aaX X和和aaaaZ Z)，H H投影投影反映反映纵标纵标和和横标横标(aa(aaX X和和aaaaYHYH)，W W投影投影反映反映高标高标和和纵标纵标(aa(aaYWYW和和aaaaZ Z)（三）（三）点的三面投影与直角坐标点的三面投影与直角坐标不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 231.1.投影投影面面上的点：上的点：V V面面上点（上点（X X
12、、0 0、Z Z）H H面面上点（上点（X X、Y Y、0 0）W W面面上点（上点（0 0、Y Y、Z Z）3.3.原点原点上的点上的点:（0 0、0 0、0 0）2.2.投影投影轴轴上点上点:X X 轴轴上点上点 （X X、0 0、0 0）Y Y 轴轴上点上点 （0 0、Y Y、0 0）Z Z 轴轴上点上点 （0 0、0 0、Z Z）注意注意:点的各个投影一定要写在点的各个投影一定要写在 它所属的投影面区域内。它所属的投影面区域内。（四）（四）各种位置点的投影各种位置点的投影不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 244.4.一般位置点的投影一般位置点的投影不积蹞步，无以致
13、千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 25 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法：x x 坐标大的在左坐标大的在左 y y 坐标大的在前坐标大的在前 z z 坐标大的在上坐标大的在上1.1.两点的相对位置两点的相对位置左左右右后后上上下下前前上上下下后后前前左左右右（五）（五）两点的相对位置两点的相对位置不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 26作图步骤：作图步骤：1)1)在在aa左方左方12mm12mm，上方上方8mm8mm处处确定确定bb；2)2)作作bbOXbbOX轴，且在轴，且
14、在a a前前10mm10mm处处确定确定b b；3)3)按投影关系按投影关系求得求得bb 例例1 1如图，已知点如图，已知点A A的三投影，另一点的三投影，另一点B B在在 点点A A上方上方8mm8mm，左方，左方12mm12mm，前方，前方10mm10mm处，处，求求:点点B B的三个投影。的三个投影。不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 27 当空间两点当空间两点位于位于对投影面的同一条投影线对投影面的同一条投影线上上时，这两点时，这两点在该投影面上的投影在该投影面上的投影重合重合，称这，称这两点为两点为对该投影面对该投影面的重影点的重影点2.2.重影点及其可见性重影点
15、及其可见性 点点A A、B B在在对对H H面面的同一条投射线上，它们的同一条投射线上，它们在在H H面的面的投影投影重合重合，称为，称为对对H H面面的重影点的重影点。而点。而点C C、D D则称为则称为对对V V面面的重影点。的重影点。不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 28二、直线的投影二、直线的投影（一）立体上的直线（一）立体上的直线不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 29 两点确定一条直线，两点确定一条直线，将两将两点的同面投影用直线连接，就点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。得到直线的投影。（二）直线的投影图（二）直线的投影图A AB
16、Ba ab b直线直线垂直于垂直于投影面投影面投影投影重合为一点重合为一点 积聚性积聚性直线直线平行于平行于投影面投影面投影反映线段投影反映线段实长实长 ab=ABab=AB直线直线倾斜于倾斜于投影面投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABab=AB*coscosA AB Ba ab bA AM MB BA A（b b）（m m）a aa a a a b b b b b bX XZ ZY YH HY YW Wo o不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 30（三）（三）直线相对投影面的位置直线相对投影面的位置及其投影特性及其投影特性投影面平行线投影面平行线投影面垂直线
17、投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线：一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 311.1.投影面倾斜线投影面倾斜线直线与直线与H H、V V、和和W W三投影面的三投影面的夹角分别用夹角分别用、表示表示ab =ABcosab =ABcosa a b b =ABcos=ABcosa a b b=ABcos=ABcos一
18、般位置直线一般位置直线投影特性投影特性 各投影的长度均小于各投影的长度均小于直线本身的实长直线本身的实长 直线的各投影均不平直线的各投影均不平行于各投影轴行于各投影轴不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 32且且垂直于垂直于相应的相应的投影轴投影轴。2.2.投影面垂直线投影面垂直线（2 2）另外两个投影另外两个投影,反映线段实长，反映线段实长，（1 1）在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投投 影影 特特 性性:侧垂线侧垂线e e f f e ef fe e(f f)X XZ Zo oY YH HY YW W正垂线正垂线c c(d d)c cd
19、dd d c c X XZ Zo oY YH HY YW W铅垂线铅垂线a a b b a(b)a(b)a a b b X XZ Zo o Y YW WY YH H不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 33b b a aa a b b b ba a X XZ ZY YH HY YW Wb b a a a ab ba a b b X XZ ZY YH HY YW Wb ba a a aa a b b b b X XZ ZY YW W水平线水平线Y YH H3.3.投影面平行线投影面平行线1 1）在其平行的那个投影面上的投影在其平行的那个投影面上的投影反映实长，反映实长，并反映并
20、反映直线与另两投影面的直线与另两投影面的真实倾角真实倾角。2 2）另两个投影面上的投影另两个投影面上的投影平行于相应的平行于相应的投影轴投影轴。侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H H面的夹角面的夹角:与与V V面的角面的角:与与W W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长实长实长不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 34（一）（一）平面的表示法平面的表示法不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及线直线及线外一点外一点两平行两平行直线直线两相交两相交直线直线平面平面图形图形1.1.用用几何元素几何元素表示平面表示平面三、三、平面的投影平面的投影不积蹞
21、步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 352.2.用用平面迹线平面迹线表示平面表示平面 平面和投影面的交线，称为平面和投影面的交线，称为平面的迹线平面的迹线.平面和平面和H H面的交线，称为面的交线，称为水平迹线水平迹线P PH H，和，和V V面的交线，面的交线，称为称为正面迹线正面迹线P PV V，和，和W W面的交线，称为面的交线，称为侧面迹线侧面迹线P PW W。不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 36两相交迹线两相交迹线两平行迹线两平行迹线 不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 37迹线上的点迹线上的点 根据根据迹线的迹线的投影规律投
22、影规律可知：可知：点点A A、B B位于位于平面平面P P上，上，而而点点C C、D D则则不在不在平面平面P P上。上。不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 38投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面投影面倾斜面投影面倾斜面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面（二）平面对投影面的位置及投影特性（二）平面对投影面的位
23、置及投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：平面对于三投影面的位置可分为三类：不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 391.1.投影面倾斜面投影面倾斜面 一般位置平面一般位置平面和三个投影面和三个投影面既不垂直也不平既不垂直也不平行行，与，与三个投影面都倾斜三个投影面都倾斜，所以，如用平面形，所以，如用平面形(例如三角形例如三角形)表示一般位置平面，则它的表示一般位置平面，则它的三个投三个投影均不是实形影均不是实形，但具有，但具有相仿性相仿性。不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 40 只只垂直于垂直于一个投影面一个投影面的平面，的平面，称为称为投影面垂直
24、面投影面垂直面。根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种：根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种：1)1)铅垂面铅垂面垂直于垂直于H H面面；2)2)正垂面正垂面垂直于垂直于V V面面；3)3)侧垂面侧垂面垂直于垂直于W W面面。2.2.投影面垂直面投影面垂直面不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 41abca c b c b a XZo oY YH HY YW W 投影面垂直面的投影面垂直面的投影特性投影特性是：是：1)1)在其所在其所垂直的投影面垂直的投影面上，投影为斜上，投影为斜直线直线，有有积聚性积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映该平面；该斜直线与投影轴的夹角反映该平面
25、对相应投影面的对相应投影面的倾角倾角；2)2)如用平面图形表示平面，则在另外两个投如用平面图形表示平面，则在另外两个投影面上的投影不是实形，但有影面上的投影不是实形，但有相仿性相仿性。铅垂面铅垂面相仿性相仿性相仿性相仿性积聚积聚性性不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 42名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂面铅垂面（H H）正垂面正垂面（V V）侧垂面侧垂面（W W）1)H1)H投影为斜直投影为斜直线，有积聚性，线，有积聚性，且反映且反映、大小；大小；2)V2)V、W W投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性性1)V1)V投影为斜直投影为斜直线，有积
26、聚性，线，有积聚性，且反映且反映、大小；大小；2)H2)H、W W投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性性1)W1)W投影为斜直投影为斜直线，有积聚性，线，有积聚性，且反映且反映、大大小；小；2)H2)H、V V投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性性不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 43 如下图，用迹线表示了如下图，用迹线表示了投影面平行面投影面平行面和和投影面垂直面投影面垂直面。不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 44 垂直于垂直于两个投影面两个投影面的平面，的平面，平行平行于于第三个投影面第三个投影面 。根据其所平行的投影面不同，
27、投影面平根据其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分为三种：行面也可分为三种：1)1)水平面水平面平行于平行于H H面面；2)2)正平面正平面平行于平行于V V面面；3)3)侧平面侧平面平行于平行于W W面面。2.2.投影面平行面投影面平行面不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 45a b c a b c abcXZo oY YH HY YW W 投影面平行面的投影面平行面的投影特性投影特性是：是：1)1)如平面用平面形表示，则其在如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面所平行的投影面上上的投影，反映平面形的的投影，反映平面形的实形实形；2)2)在另外两个投影面上的投影均为在
28、另外两个投影面上的投影均为直线段直线段，有，有积聚积聚性性，且，且平行于平行于相应的相应的投影轴投影轴。水平面水平面积聚性积聚性积聚性积聚性实形实形不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 46名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性水平面水平面（H H）正平面正平面（VV）侧平面侧平面（W W）1)H1)H投影反映投影反映实形；实形；2)V2)V、W W投影分投影分别为平行别为平行OXOX、OYOYW W轴的直线轴的直线段，有积聚性段，有积聚性1)V1)V投影反映投影反映实形；实形；2)H2)H、W W投影分投影分别为平行别为平行OXOX、OZOZ轴的直线段，轴的直线段，有积聚性有积聚性1)W1)W投影反映投影反映实形；实形；2)V2)V、H H投影分投影分别为平行别为平行OZOZ、OYOYH H轴的直线轴的直线段，有积聚性段，有积聚性不积蹞步，无以致千里；不积小流，无以成江海 友友情分享 47本本 章章 结结 束束
