1、2018-2022高考真题 导数与函数 解答题全集 （学生版 解析版）一解答题（共54小题）1（2022天津）已知a，bR，函数f（x）exasinx，g（x）bx（1）求函数yf（x）在（0，f（0）处的切线方程；（2）若yf（x）和yg（x）有公共点（）当a0时，求b的取值范围；（）求证：a2+b2e2（2022上海）f（x）log3（a+x）+log3（6x）（1）若将函数f（x）图像向下移m（m0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值（2）若a3且a0，求解不等式f（x）f（6x）3（2022浙江）设函数f（x）=e2x+lnx（x0）（）求f（x）的单调区间；（）已知
2、a，bR，曲线yf（x）上不同的三点（x1，f（x1），（x2，f（x2），（x3，f（x3）处的切线都经过点（a，b）证明：（）若ae，则0bf（a）12（ae-1）；（）若0ae，x1x2x3，则2e+e-a6e21x1+1x32a-e-a6e2（注：e2.71828是自然对数的底数）4（2022甲卷）已知函数f（x）x3x，g（x）x2+a，曲线yf（x）在点（x1，f（x1）处的切线也是曲线yg（x）的切线（1）若x11，求a；（2）求a的取值范围5（2022北京）已知函数f（x）exln（1+x）（）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）设g（x）f（x），讨论函数g（
3、x）在0，+）上的单调性；（）证明：对任意的s，t（0，+），有f（s+t）f（s）+f（t）6（2022甲卷）已知函数f（x）=exx-lnx+xa（1）若f（x）0，求a的取值范围；（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x217（2022乙卷）已知函数f（x）ax-1x-（a+1）lnx（1）当a0时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围8（2022新高考）已知函数f（x）exax和g（x）axlnx有相同的最小值（1）求a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线yf（x）和yg（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列9（2
4、022新高考）已知函数f（x）xeaxex（1）当a1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）1，求a的取值范围；（3）设nN*，证明：112+1+122+2+1n2+nln（n+1）10（2021全国）已知函数f（x）x26x+4lnx+m（1）求f（x）的单调区间；（2）当x（1，+）时，f（x）0，求m的取值范围11（2021新高考）已知函数f（x）（x1）exax2+b（）讨论f（x）的单调性；（）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）恰有一个零点12ae22，b2a；0a12，b2a12（2021北京）已知函数f（x）=3-2xx2+a（）若a0，求曲线yf（x）在点（1，
5、f（1）处的切线方程；（）若f（x）在x1处取得极值，求f（x）的单调区间，并求其最大值和最小值13（2021天津）已知a0，函数f（x）axxex（1）求曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若a，使得f（x）a+b对任意的xR恒成立，求实数b的取值范围14（2021浙江）设a，b为实数，且a1，函数f（x）axbx+e2（xR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若对任意b2e2，函数f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围；（）当ae时，证明：对任意be4，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，满足x2blnb2e2x1+e2b（注：e
6、2.71828是自然对数的底数）15（2021甲卷）设函数f（x）a2x2+ax3lnx+1，其中a0（1）讨论f（x）的单调性；（2）若yf（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围16（2021乙卷）已知函数f（x）ln（ax），已知x0是函数yxf （x）的极值点（1）求a；（2）设函数g（x）=x+f(x)xf(x)证明：g（x）117（2021新高考）已知函数f（x）x（1lnx）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：21a+1be18（2021乙卷）已知函数f（x）x3x2+ax+1（1）讨论f（x）的单调性；（2）求曲线yf
7、（x）过坐标原点的切线与曲线yf（x）的公共点的坐标19（2021甲卷）已知a0且a1，函数f（x）=xaax （x0）（1）当a2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线yf（x）与直线y1有且仅有两个交点，求a的取值范围20（2020新课标）已知函数f（x）exa（x+2）（1）当a1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围21（2020天津）已知函数f（x）x3+klnx（kR），f（x）为f（x）的导函数（）当k6时，（）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求函数g（x）f（x）f（x）+9x的单调区间和极值；（）当k3时，求证：对任意的x1，
8、x21，+），且x1x2，有f(x1)+f(x2)2f(x1)-f(x2)x1-x222（2020北京）已知函数f（x）12x2（）求曲线yf（x）的斜率等于2的切线方程；（）设曲线yf（x）在点（t，f（t）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S （t），求S（t）的最小值23（2020浙江）已知1a2，函数f（x）exxa，其中e2.71828为自然对数的底数（）证明：函数yf（x）在（0，+）上有唯一零点；（）记x0为函数yf（x）在（0，+）上的零点，证明：（）a-1x02(a-1)；（）x0f（ex0）（e1）（a1）a24（2020山东）已知函数f（x）aex1lnx+lna（1）
9、当ae时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围25（2020江苏）已知关于x的函数yf（x），yg（x）与h（x）kx+b（k，bR）在区间D上恒有f（x）h（x）g（x）（1）若f（x）x2+2x，g（x）x2+2x，D（，+），求h（x）的表达式；（2）若f（x）x2x+1，g（x）klnx，h（x）kxk，D（0，+），求k的取值范围；（3）若f（x）x42x2，g（x）4x28，h（x）4（t3t）x3t4+2t2（0|t|2），Dm，n-2，2，求证：nm726（2020江苏）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的
10、竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO为铅垂线（O在AB上）经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO的距离a（米）之间满足关系式h1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2（米）与F到OO的距离b（米）之间满足关系式h2=-1800b3+6b已知点B到OO的距离为40米（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）（k0），问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？27（2020新课标）设函数f（x
11、）x3+bx+c，曲线yf（x）在点（12，f（12）处的切线与y轴垂直（1）求b；（2）若f（x）有一个绝对值不大于1的零点，证明：f（x）所有零点的绝对值都不大于128（2020新课标）已知函数f（x）sin2xsin2x（1）讨论f（x）在区间（0，）的单调性；（2）证明：|f（x）|338；（3）设nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx3n4n29（2020新课标）已知函数f（x）2lnx+1（1）若f（x）2x+c，求c的取值范围；（2）设a0，讨论函数g（x）=f(x)-f(a)x-a的单调性30（2020新课标）已知函数f（x）ex+ax2x（1）当a1时
12、，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）12x3+1，求a的取值范围31（2020新课标）已知函数f（x）x3kx+k2（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围32（2019全国）已知函数f（x）=x（x2ax）（1）当a1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间0，2的最小值为-23，求a33（2019新课标）已知函数f（x）2x3ax2+b（1）讨论f（x）的单调性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间0，1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由34（2019新课标）已知函数f（x）2x3ax2+2（1）讨
13、论f（x）的单调性；（2）当0a3时，记f（x）在区间0，1的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围35（2019浙江）已知实数a0，设函数f（x）alnx+1+x，x0（）当a=-34时，求函数f（x）的单调区间；（）对任意x1e2，+）均有f（x）x2a，求a的取值范围注：e2.71828为自然对数的底数36（2019新课标）已知函数f（x）（x1）lnxx1证明：（1）f（x）存在唯一的极值点；（2）f（x）0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数37（2019江苏）设函数f（x）（xa）（xb）（xc），a，b，cR，f（x）为f（x）的导函数（1）若abc，f（4）8，求a的值；（2
14、）若ab，bc，且f（x）和f（x）的零点均在集合3，1，3中，求f（x）的极小值；（3）若a0，0b1，c1，且f（x）的极大值为M，求证：M42738（2019天津）设函数f（x）lnxa（x1）ex，其中aR（）若a0，讨论f（x）的单调性；（）若0a1e（）证明：f（x）恰有两个零点；（）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1x0，证明：3x0x1239（2019天津）设函数f（x）excosx，g（x）为f（x）的导函数（）求f（x）的单调区间；（）当x4，2时，证明f（x）+g（x）（2-x）0；（）设xn为函数u（x）f（x）1在区间（2n+4，2n+2）内的零点
15、，其中nN，证明：2n+2-xne-2nsinx0-cosx040（2019北京）已知函数f（x）=14x3x2+x（）求曲线yf（x）的斜率为1的切线方程；（）当x2，4时，求证：x6f（x）x；（）设F（x）|f（x）（x+a）|（aR），记F（x）在区间2，4上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值41（2019新课标）已知函数f（x）2sinxxcosxx，f（x）为f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围42（2019新课标）已知函数f（x）lnx-x+1x-1（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有
16、两个零点；（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线ylnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线yex的切线43（2019新课标）已知函数f（x）sinxln（1+x），f（x）为f（x）的导数证明：（1）f（x）在区间（1，2）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点44（2018北京）设函数f（x）ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；（）若f（x）在x2处取得极小值，求a的取值范围45（2018北京）设函数f（x）ax2（3a+1）x+3a+2ex（）若曲线yf（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为0，求a；（）若f
17、（x）在x1处取得极小值，求a的取值范围46（2018新课标）已知函数f（x）（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x0是f（x）的极大值点，求a47（2018新课标）已知函数f（x）aexlnx1（1）设x2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a1e时，f（x）048（2018新课标）已知函数f（x）=ax2+x-1ex（1）求曲线yf（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：当a1时，f（x）+e049（2018新课标）已知函数f（x）exax2（1）若a1，证明：当x0时，f（x）1；
18、（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a50（2018浙江）已知函数f（x）=x-lnx（）若f（x）在xx1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线ykx+a与曲线yf（x）有唯一公共点51（2018天津）已知函数f（x）ax，g（x）logax，其中a1（）求函数h（x）f（x）xlna的单调区间；（）若曲线yf（x）在点（x1，f（x1）处的切线与曲线yg（x）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明：x1+g（x2）=-2lnlnalna；（）证明当ae1e时，存在直线l，使l是曲线yf（x）的切线，也是曲
19、线yg（x）的切线52（2018江苏）记f（x），g（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数若存在x0R，满足f（x0）g（x0）且f（x0）g（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”（1）证明：函数f（x）x与g（x）x2+2x2不存在“S点”；（2）若函数f（x）ax21与g（x）lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）x2+a，g（x）=bexx对任意a0，判断是否存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”，并说明理由53（2018新课标）已知函数f（x）=13x3a（x2+x+1）（1）若a3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f
20、（x）只有一个零点54（2018新课标）已知函数f（x）=1x-x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f(x1)-f(x2)x1-x2a22018-2022高考真题 导数与函数 解答题全集 （学生版 解析版）参考答案与试题解析一解答题（共54小题）1（2022天津）已知a，bR，函数f（x）exasinx，g（x）bx（1）求函数yf（x）在（0，f（0）处的切线方程；（2）若yf（x）和yg（x）有公共点（）当a0时，求b的取值范围；（）求证：a2+b2e【解答】解：（1）f（x）exasinx，f（x）exacosx，f（0）1，f（0）1
21、a，函数yf（x）在（0，1）处的切线方程为y（1a）x+1；（2）（）a0，f（x）ex，又yf（x）和yg（x）有公共点，方程f（x）g（x）有解，即ex=bx有解，显然x0，b=exx在（0，+）上有解，设h（x）=exx，（x0），h（x）=ex(2x-1)2xx，当x（0，12）时，h（x）0；当x（12，+）时，h（x）0，h（x）在（0，12）上单调递减，在（12，+）上单调递增，h(x)min=h(12)=2e，且当x0时，h（x）+；当x+时，h（x）+，h（x）2e，+），b的范围为2e，+）；（）证明：令交点的横坐标为x0，则ex0=asinx0+bx0，由柯西不等式可得
22、e2x0=(asinx0+bx0)2（a2+b2）（sin2x0+x0）a2+b2e2x0sin2x0+x0，又易证x0时，xsinx，exex，exx+1，e2x0sin2x0+x0=ex0ex0sin2x0+x0ex0(x0+1)x02+x0=e，故a2+b2e2（2022上海）f（x）log3（a+x）+log3（6x）（1）若将函数f（x）图像向下移m（m0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值（2）若a3且a0，求解不等式f（x）f（6x）【解答】解：（1）因为函数f（x）log3（a+x）+log3（6x），将函数f（x）图像向下移m（m0）后，得yf（x）mlog
23、3（a+x）+log3（6x）m的图像，由函数图像经过点（3，0）和（5，0），所以log3(3+a)+1-m=0log3(5+a)+0-m=0，解得a2，m1（2）a3且a0时，不等式f（x）f（6x）可化为log3（a+x）+log3（6x）log3（a+6x）+log3x，等价于a+x06-x0a+6-x0x0(a+x)(6-x)x(a+6-x)，解得x-ax6xa+6x0a(x-3)0，当3a0时，0a3，3a+66，解不等式得ax3，当a0时，a0，a+66，解不等式得3x6；综上知，3a0时，不等式f（x）f（6x）的解集是（a，3，a0时，不等式f（x）f（6x）的解集是3，6）
24、3（2022浙江）设函数f（x）=e2x+lnx（x0）（）求f（x）的单调区间；（）已知a，bR，曲线yf（x）上不同的三点（x1，f（x1），（x2，f（x2），（x3，f（x3）处的切线都经过点（a，b）证明：（）若ae，则0bf（a）12（ae-1）；（）若0ae，x1x2x3，则2e+e-a6e21x1+1x32a-e-a6e2（注：e2.71828是自然对数的底数）【解答】解：（）函数f（x）=e2x+lnx（x0），f(x)=-e2x2+1x=2x-e2x2，（x0），由f(x)=2x-e2x20，得xe2，f（x）在（e2，+）上单调递增；由f(x)=2x-e2x20，得0xe
25、2，f（x）在（0，e2）上单调递减（）（i）证明：过（a，b）有三条不同的切线，设切点分别为（x1，f（x1），（x2，f（x2），（x3，f（x3），f（xi）bf（xi）（xia），（i1，2，3），方程f（x）bf（x）（xa）有3个不同的根，该方程整理为（1x-e2x2）（xa）-e2x-lnx+b=0，设g（x）（1x-e2x2）（xa）-e2x-lnx+b，则g（x）=1x-e2x2+(-1x2+ex3)(x-a)-1x+e2x2=-1x3（xe）（xa），当0xe或xa时，g（x）0；当exa时，g（x）0，g（x）在（0，e），（a，+）上为减函数，在（e，a）上为增函数，g
26、（x）有3个不同的零点，g（e）0且g（a）0，（1e-e2e2）（ea）-e2e-lne+b0，且（1a-e2a2）（aa）-e2a-lna+b0，整理得到ba2e+1且be2a+lna=f(a)，此时，ba2e+1，且be2a+lna=f(a)，此时，b-f(a)-12(ae-1)a2e+1-(e2a+lna)-e2a-lna+b0，整理得ba2e+1，且be2a+lna=f(a)，此时，bf（a）-12（ae-1）a2e+1（e2a+lna）-a2e+12=32-e2a-lna，设（a）为（e，+）上的减函数，（a）32-e2e-lne=0，0b-f(a)12(ae-1)（ii）当0ae
27、时，同（i）讨论，得：g（x）在（0，a），（e，+）上为减函数，在（a，e）上为增函数，不妨设x1x2x3，则0x1ax2ex3，g（x）有3个不同的零点，g（a）0，且g（e）0，（1e-e2e2）（ea）-e2e-lne+b0，且（1a-e2a2）（aa）-e2a-lna+b0，整理得a2e+1ba2e+lna，x1x2x3，0x1ax2ex3，g（x）1-a+ex+ea2x2-lnx+b，设t=ex，ae=m(0，1)，则方程1-a+ex+ea2x2-lnx+b=0即为：-a+eet+a2et2+lnt+b=0，即为（m+1）t+m2t2+lnt+b=0，记t1=ex1，t2=ex2，
28、t3=ex3，则t1，t2，t3为（m+1）t+m2t2+lnt+b=0有三个不同的根，设k=t1t3=x3x1ea1，m=ae1，要证：2e+e-a6e21x1+1x32a-e-a6e2，即证2+e-a6et1+t32ea-e-a6e，即证：t1+t3-2-2m(m-13)(m2-m+12)36m(t1+t3)，而（m+1）t1+m2t12+lnt1+b=0，且（m+1）t3+m2t32+lnt3+b=0，lnt1-lnt3+m2(t12-t32)-(m+1)（t1t3）0，t1+t3-2-2m=-2mlnt1-lnt3t1-t3，即证-2mlnt1-lnt3t1-t3(m-13)(m2-m
29、+12)36m(t1+t3)，即证(t1+t3)lnt1t3t1-t3+(m-13)(m2-m+12)720，即证(k+1)lnkk-1+(m-13)(m2-m+12)720，记(k)=(k+1)lnkk-1，k1，则(k)=1(k-1)2(k-1k-2lnk)0，（k）在（1，+）为增函数，（k）（m），(k+1)lnkk-1+(m-13)(m2-m+12)72(m+1)lnmm-1+(m-13)(m2-m+12)72，设（m）lnm+(m-1)(m-13)(m2-m+12)72(m+1)，0m1，则（x）=(m-1)2(3m3-20m2-49m+72)72m(+1)2(m-1)2(3m3+
30、3)72m(m+1)20，（m）在（0，1）上是增函数，（m）（1）0，lnm+(m-1)(m-13)(m2-m+12)72(m+1)0，即(m+1)lnmm-1+(m-13)(m2-m+12)720，若0ae，x1x2x3，则2e+e-a6e21x1+1x32a-e-a6e24（2022甲卷）已知函数f（x）x3x，g（x）x2+a，曲线yf（x）在点（x1，f（x1）处的切线也是曲线yg（x）的切线（1）若x11，求a；（2）求a的取值范围【解答】解：（1）由题意知，f（1）1（1）0，f（x）3x21，f（1）312，则yf（x）在点（1，0）处的切线方程为y2（x+1），即y2x+2，
31、设该切线与g（x）切于点（x2，g（x2），g（x）2x，则g（x2）2x22，解得x21，则g（1）1+a2+2，解得a3；（2）f（x）3x21，则yf（x）在点（x1，f（x1）处的切线方程为y-(x13-x1)=(3x12-1)(x-x1)，整理得y=(3x12-1)x-2x13，设该切线与g（x）切于点（x2，g（x2），g（x）2x，则g（x2）2x2，则切线方程为y-(x22+a)=2x2(x-x2)，整理得y=2x2x-x22+a，则3x12-1=2x2-2x13=-x22+a，整理得a=x22-2x13=(3x122-12)2-2x13=94x14-2x13-32x12+14
32、，令h(x)=94x4-2x3-32x2+14，则h（x）9x36x23x3x（3x+1）（x1），令h（x）0，解得-13x0或x1，令h（x）0，解得x-13或0x1，则x变化时，h（x），h（x）的变化情况如下表：x(-，-13) -13 (-13，0) 0（0，1）1（1，+）h（x）0+00+h（x）单调递减527 单调递增14 单调递减1单调递增则h（x）的值域为1，+），故a的取值范围为1，+）5（2022北京）已知函数f（x）exln（1+x）（）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）设g（x）f（x），讨论函数g（x）在0，+）上的单调性；（）证明：对任意的s，
33、t（0，+），有f（s+t）f（s）+f（t）【解答】解：（）对函数求导可得：f(x)=exln(x+1)+1x+1，将x0代入原函数可得f（0）0，将x0代入导函数可得：f（0）1，故在x0处切线斜率为1，故y01（x0），化简得：yx；（）解法一：由（）有：g（x）=f(x)=exln(x+1)+1x+1，g(x)=exln(x+1)+2x+1-1(x+1)2，令h(x)=ln(x+1)+2x+1-1(x+1)2，令x+1k（k1），设m(k)=lnk+2k-1k2，m(k)=(k-1)2+1k30恒成立，故h（x）在0，+）单调递增，又因为h（0）1，故h（x）0在0，+）恒成立，故g（
34、x）0，故g（x）在0，+）单调递增；解法二：由（）有：g（x）=f(x)=exln(x+1)+1x+1，g(x)=exln(x+1)+2x+1-1(x+1)2，设m（x）ex，n（x）ln（x+1）+1x+1，则g（x）m（x）n（x），由指数函数的性质得m（x）ex上 （0，+）上是增函数，且m（x）ex0，n（x）=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2，当x（0，+）时，n（x）0，n（x）单调递增，且当x（0，+）时，n（x）ln（x+1）+1x+10，g（x）在0，+）单调递增（）证明：由（）有g（x）在0，+）单调递增，又g（0）1，故g（x）0在0，+）恒成立，故f（x）在0
35、，+）单调递增，设w（x）f（x+t）f（x），w（x）f（x+t）f（x），由（）有g（x）在0，+）单调递增，又因为x+tx，所以f（x+t）f（x），故w（x）单调递增，又因为s0，故w（s）w（0），即：f（s+t）f（s）f（t）f（0），又因为函数f（0）0，故f（s+t）f（s）+f（t），得证6（2022甲卷）已知函数f（x）=exx-lnx+xa（1）若f（x）0，求a的取值范围；（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x21【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f(x)=ex(x-1)x2-1x+1=(ex+x)(x-1)x2，令f（x）0，解得x1，故
36、函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+）单调递增，故f（x）minf（1）e+1a，要使得f（x）0恒成立，仅需e+1a0，故ae+1，故a的取值范围是（，e+1；（2）证明：由已知有函数f（x）要有两个零点，故f（1）e+1a0，即ae+1，不妨设0x11x2，要证明x1x21，即证明x21x1，0x11，1x11，即证明：1x21x1，又因为f（x）在（1，+）单调递增，即证明：f(x2)f(1x1)f(x1)f(1x1)，构造函数h(x)=f(x)-f(1x)，0x1，h(x)=f(x)+1x2f(1x)=(x-1)(ex+x-xe1x-1)x2，构造函数m（x）=ex+x-xe1x
37、-1，m(x)=ex+1-e1x(1-1x)，因为0x1，所以1-1x0，故m（x）0在（0，1）恒成立，故m（x）在（0，1）单调递增，故m（x）m（1）0又因为x10，故h（x）0在（0，1）恒成立，故h（x）在（0，1）单调递增，又因为h（1）0，故h（x）h（1）0，故f(x1)f(1x1)，即x1x21得证7（2022乙卷）已知函数f（x）ax-1x-（a+1）lnx（1）当a0时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围【解答】解：（1）当a0时，f(x)=-1x-lnx(x0)，则f(x)=1x2-1x=1-xx2，易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，
38、在（1，+）上单调递减，f（x）在x1处取得极大值，同时也是最大值，函数f（x）的最大值为f（1）1；（2）f(x)=a+1x2-a+1x=ax2-(a+1)x+1x2=(x-1)(ax-1)x2，当a0时，由（1）可知，函数f（x）无零点；当a0时，易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，又f（1）a10，故此时函数f（x）无零点；当0a1时，易知函数f（x）在(0，1)，(1a，+)上单调递增，在(1，1a)单调递减，且f（1）a10，f(1a)=1-a+(a+1)lna0，又由（1）可得，1x+lnx1，即ln1x1-x，则lnxx，lnxx，则lnx2x，当x1
39、时，f(x)=ax-1x-(a+1)lnxax-1x-2(a+1)xax-(2a+3)x，故存在m=(3a+2)21a，使得f（m）0，此时f（x）在（0，+）上存在唯一零点；当a1时，f(x)=(x-1)2x20，函数f（x）在（0，+）上单调递增，又f（1）0，故此时函数f（x）有唯一零点；当a1时，易知函数f（x）在(0，1a)，(1，+)上单调递增，在(1a，1)上单调递减，且f（1）a10，又由（1）可得，当0x1时，lnx1-1x，则lnx1-1x，则lnx2(1-1x)，此时f(x)=ax-1x-2(a+1)(1-1x)-1x+2(a+1)x，故存在n=14(a+1)21a，使得
40、f（n）0，故函数f（x）在（0，+）上存在唯一零点；综上，实数a的取值范围为（0，+）8（2022新高考）已知函数f（x）exax和g（x）axlnx有相同的最小值（1）求a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线yf（x）和yg（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列【解答】解：（1）f（x）定义域为R，f（x）exax，f（x）exa，若a0，则f（x）0，f（x）无最小值，故a0，当f（x）0时，xlna，当g（x）0时，x=1a，当xlna时，f（x）0，函数f（x）在（，lna）上单调递减，当xlna时，f（x）0，函数f（x）在（lna，+）上单调递增，
41、故f（x）minf（lna）aalna，g（x）的定义域为（0，+），g（x）axlnx，g（x）a-1x，令g（x）0，解得x=1a，当0x1a时，g（x）0，函数g（x）在（0，1a）上单调递减，当x1a时，g（x）0，函数g（x）在（1a，+）上单调递增，故g（x）min1+lna，函数f（x）exax和g（x）axlnx有相同的最小值aalna1+lna，a0，aalna1+lna化为lna-a-1a+1=0，令h（x）lnx-x-1x+1，x0，则h（x）=1x-x+1-(x-1)(x+1)2=1x-2(x+1)2=x2+1x(x+1)2，x0，h（x）=x2+1x(x+1)20恒成立，h（x）在（0，+）上单调递增，又h（1）0，h（a）h（1），仅有此一解，a1（2）证明：由（1）知a1，函数f（x）exx在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，函数g（x）xlnx在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，设u（x）f（x）g（x）ex2x+lnx（x0），则u（x）ex2+1xex2，当x1时，u（x）e20，所以函数u（x）在（1，+）上单调递增，因为u（1）e20，所以当x1时，u（x）u（1）0恒成立，即f（x）g（x）0在x1时恒成立，所以x1时，f（x）
