1、三维向量空间中向量的内积来源于物理和三维向量空间中向量的内积来源于物理和几何背景。考虑物理问题：几何背景。考虑物理问题：f1例例1.1解解:所做功 W=f1 sSsF1=|F|S|cos(F,S)=F S.F 8.2 数量积 向量积一、两向量的数量积 ,设，为 两个向量，记与的夹角为，称数，cos|为向量，的数量积，记为，即|cos,.(1.1)或记为).,(1、数量积定义(i);(ii);(iii);(iv)0,且 =0 当且仅当=0.交换律分配律非负性 ；coscos;2、性质数量积符合下列运算规律：（1）交换律：;abba （2）分配律：;)(cbcacba （3）若 为数),()()(
2、bababa 若 、为数：).()()(baba 证明（1）、（3）由定义可证余下证明（2）3,3,36q 例：设=,=1,=,求向量p=2的夹角p qp q解：由数量积的定义知，cos(p,q)22(23)(3)6733516 373322p q 而 2222323412934 3 1239392p 239 36 31192q 515151cos,arccos2 39 192 7412 741p qp q所以,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 ikkjji,1|kji.1 kkjjiizzyyxxbababab
3、a 数量积的坐标表达式3.数量积得坐标表示 =(x1,y1,z1)R3,|=x1 x1 y1 y1 z1 z1，222111|.xyz =(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)R3，垂直于 的充要条件为cos=0.也即 =x1 x2 y1 y2 z1 z2=0.若 /,则有 0，使 =.=()()=2 ()cos(,)|=()=2|2.=1 0,1 0.=|2.1,1,4,1,2,2,1;2;3.例：已 知求求与的 夹 角求在上 的 投 影 11112429 2222114182221223 91cos,3 182 34 3cosPr j Pr3j 解：定理(Chauchy-Schwar
4、z不等式）向量的数量积满足|,其中等号成立当且仅当向量 和 线性相关.22|),(,|),(422|),(),(|),(),(2),(222|),(|.0。所以|),(|二、两个向量的向量积二、两个向量的向量积在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现，不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个向量，构造的准则之一:有实际应用.MBl|=,称为角速度向量.=|r|sin =|r|sin考察一个刚体绕一轴 l 作旋转，刚体上任意一点就产生线速度 v，它的大小等于点 M 到旋转轴的距离乘旋转角速度.方
5、向垂直于过 l 及 M 的平面.vrv 的方向与,r 都垂直.=|r|sin(,r)./l 轴，满足A|v|=|MB|则定义定义1：设 ,R3，定义 =R3 满足ii)的指向按右手法则从 转到 确定且与,所在平面垂直.由此知上例中称 为向量 和 的向量积.v =r.i)|=|sin(,)，性质性质i)ij=k,j k=i,k i=j,ii)=0,特别有ii=j j=k k=0,iii),R3 为非零向量，则 /=0.运算规律运算规律，设,R3,则i)=;ii)(+)=+;iii)()=()=().向量积的坐标表示：设 =(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)=(x1i+y1j+z1k)(
6、x2i+y2 j+z2 k)=x1y2 ij+x1z2 ik+y1x2 j i+y1z2 j k+z1x2 ki+z1y2 kj=x1y2 k+x1z2(j)+y1x2(k)+y1z2 i+z1x2 j+z1y2(i)=(y1z2 z1y2)i+(z1x2 x1z2)j+(x1y2 y1x2)kkyyxxjzzxxizzyy212121212121 .zz 212121kyyjxxi例例1求以 =(2,1,1),=(1,1,2)为两边的平行四边形的面积.解：解：S=|.S=|sin(,)而S=|21 11 12k jikji11 1221 1221 11=i5j 3k=(1,5,3),.35)
7、3()5(1222两非零向量 与 线性相关(共线)的充要条件是存在不为零的实数 ，使=.设=(ax,ay,az),=(ax,ay,az),则 与 共线的充要条件是.zzyyxxbababa有了向量积概念后，我们又得：两非零向量共线的充要条件是 0.例例 已知向量(2,3,1),(3,9,6,),求 ，2。2解解693132kji,27927kji 2.541854kji 2例例 求同时垂直于向量(2,3,1);=(1,2,3,)且模等于 的向量。3解解设(cx,cy,cz),321132kji.57kji由向量积的定义知所求向量 与 共线，因此有7xc又因5yc1zc).,0(Rttt2222
8、549ttt,3222zyxccc,3752t为所求。故51,1,57得得.51t即定义定义 设有三个向量,称 与 的向量积 再与向量 的数量积(内积)为向量,的混合积，记作(,),(,)()(3.1)即即设向量(ax,ay,az),zyxzyxbbbaaakjiibbaazyzy则有=(cx,cy,cz),(bx,by,bz),jbbaazxzx,kbbaayxyx)(由行列式的性质有xzyzycbbaa)(.zyxzyxzyxcccbbbaaa(3.2)式(3.2)称为混合积(,)的坐标表示。yzxzxcbbaa.zyxyxcbbaa给定三个向量、，它们的混合积有不同的组合形式，如(),(
9、),(),()等等，除了它们都是实数这一特点外，还有其它联系吗？下面我们从几何上寻找它们的另一共性。不妨设,不在同一平面上.令 ，由矢量积的几何意义|表示以,为相邻两条边的平行四边形的面积，由数量积定义有)(,cos其中,cos是 在上的投影.以空间一点O为始点，作三个向量、始于O点，以这三个向量为棱作一平行六面体，如图33所示。o=图图3-3当,20，即,成右手系时，cos就是，所在底面上的高。即为平行六面体的体积。)(因此V.)(若,共面，则由 垂直 所在的平面，得 垂直于，故()=0;反之，若()=0;则 垂直于，而 垂直于 和，故,共面，因此有定理定理 三向量,共面的充要条件是()=0。运算性质：运算性质：.例例3 求由不在一个平面上的空间四点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),为顶点的四面体的体积。V.)(61ADACAB，由立体几何知，四面体ABCD的体积等于以AB，AC，AD 为棱的平行六面体体积的1/6，解解即即故故V.61141414131313121212yzyyxxyzyyxxyzyyxx,121212zzyyxxAB,131313zzyyxxAC.,141414zzyyxxAD
