1、第第5章离散信号与系统分析章离散信号与系统分析引言引言离散时间信号离散时间信号离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的零输入响应离散系统的零输入响应离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应5.1 引言引言除连续系统外，还有一类用于传输和处理离除连续系统外，还有一类用于传输和处理离散时间信号的系统，称之为离散时间系统。散时间信号的系统，称之为离散时间系统。离散系统有时域、频域和离散系统有时域、频域和z域分析法，本章域分析法，本章主要讨论离散系统的时域分析法。对于离散信号主要讨论离散系统的时域分析法。对于离散信号和系统的分析，在许多方面都与连续信号与系统和系统的分析，在许多方面都与连续信号与
2、系统的分析类似。我们在讨论离散时间系统的分析时，的分析类似。我们在讨论离散时间系统的分析时，可以把它与我们熟悉的连续时间系统相对比以便可以把它与我们熟悉的连续时间系统相对比以便与理解，但也要注意两者之间的差别。与理解，但也要注意两者之间的差别。5.2 离散时间信号离散时间信号5.2.1 5.2.1 离散信号的时域描述离散信号的时域描述离散信号：离散信号：只在某些互相分离的时间上才有定义只在某些互相分离的时间上才有定义的信号，这种信号是离散的时间的信号，这种信号是离散的时间 的函数，可的函数，可表示成表示成 。()kf tkt离散信号常由连续时间信号进行抽样得到的。离散信号常由连续时间信号进行抽
3、样得到的。连续信号的抽样连续信号的抽样抽样时间：抽样时间：抽样序号：抽样序号：抽样值：抽样值：离散时间信号：一组序列值的集合离散时间信号：一组序列值的集合 表示为表示为 简记为简记为5.2.2 5.2.2 常用离散信号常用离散信号1.1.单位序列单位序列定义：定义：抽样性：抽样性：信号时域分解公式：信号时域分解公式：单位序列和单位冲击信号的区别：单位序列和单位冲击信号的区别：单位冲击信号单位冲击信号宽度无穷小、幅度无穷大、面积为宽度无穷小、幅度无穷大、面积为1 1的窄脉冲，工程实际中不存在。的窄脉冲，工程实际中不存在。单位序列单位序列取有限值取有限值1 1，工程实际中存在。，工程实际中存在。2
4、.2.单位阶跃序列单位阶跃序列 定义：定义：截取特性截取特性:单位阶跃序列和单位阶跃函数的区别：单位阶跃序列和单位阶跃函数的区别：单位阶跃函数单位阶跃函数跃变，为奇异信号跃变，为奇异信号单位阶跃序列单位阶跃序列定义为定义为1 1，非奇异信号。，非奇异信号。单位阶跃序列和单位序列的关系：单位阶跃序列和单位序列的关系：3.3.单位矩形序列（门序列）单位矩形序列（门序列）定义：定义：门序列和单位阶跃序列的关系：门序列和单位阶跃序列的关系：4 4斜变序列斜变序列5 5单边实指数序列单边实指数序列实数实数a的取值情况：的取值情况：发散序列发散序列定义：定义：收敛序列收敛序列6 6正弦序列正弦序列定义：定
5、义：数字角频率数字角频率振幅振幅初相位初相位数字角频率与模拟信号角频率的关系：数字角频率与模拟信号角频率的关系：的单位：的单位：rad/s 的单位：的单位：周期信号：周期信号：重复周期重复周期 重复角频率重复角频率正弦序列的周期：正弦序列的周期：为整数为整数为有理数为有理数 且且 为使为使 为最小整数的自然数为最小整数的自然数 为无理数为无理数 正弦序列为非周期序列正弦序列为非周期序列 5.2.3 5.2.3 离散信号的基本运算离散信号的基本运算1 1序列的相加序列的相加2 2序列的相乘序列的相乘例例5.2.1 两离散时间信号两离散时间信号3 3序列的移位序列的移位4 4序列的折叠序列的折叠5
6、 5序列的差分序列的差分后向差分后向差分 前向差分前向差分 6 6序列的累加和序列的累加和5.3 离散系统的数学模型离散系统的数学模型5.3.1 5.3.1 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型为激励信号为激励信号,为响应信号为响应信号 离散时间系统离散时间系统 将激励序列转换为响应序列的系统，其将激励序列转换为响应序列的系统，其输入输出都是离散信号。在数学上，离输入输出都是离散信号。在数学上，离散系统的输入散系统的输入-输出关系可表示为输出关系可表示为 离散系统可以用离散系统可以用差分方程差分方程来描述来描述 差分方程差分方程 由输入序列、输出序列以及它们的差分所组由输入序列、输出序
7、列以及它们的差分所组成的方程。成的方程。例如例如:无反馈差分方程无反馈差分方程 某一时刻的输出只与输入有关，而某一时刻的输出只与输入有关，而与该时刻之前的输出无关与该时刻之前的输出无关。有反馈差分方程有反馈差分方程 某一时刻的输出不仅与输入有关，还某一时刻的输出不仅与输入有关，还与该时刻之前的输出有关。与该时刻之前的输出有关。系统的差分方程的一般形式系统的差分方程的一般形式：前向差分方程前向差分方程 后向差分方程后向差分方程 差分算子差分算子 离散系统的传输算子离散系统的传输算子 差分方程差分方程 算子方程算子方程 传输算子传输算子系统的输入系统的输入-输出模型输出模型 5.3.25.3.2离
8、散时间系统数学模型的建立离散时间系统数学模型的建立例例5.3.15.3.1 某一银行按月结余。设第某一银行按月结余。设第 个月末的结个月末的结余余 ，月利率为月利率为1%1%。写出结余。写出结余 与净存款与净存款 的的关系式。关系式。解：解：当月的净存款当月的净存款 月末结余月末结余 所以有所以有 或或 月末利息月末利息 例例5.3.2 5.3.2 试写出第试写出第k k 节点电压节点电压 的数学模型。的数学模型。解：解：整理得整理得 例例5.3.35.3.3 假设离散时间系统的差分方程为假设离散时间系统的差分方程为 求其传输算子求其传输算子 解：算子方程为解：算子方程为 即即所以所以离散系统
9、的模拟框图表示离散系统的模拟框图表示差分方程的基本元算符号差分方程的基本元算符号 例例5.3.45.3.4 某离散系统的差分方程为某离散系统的差分方程为 试用模拟框图表示此系统。试用模拟框图表示此系统。解：系统的差分方程可化为解：系统的差分方程可化为 框图来表示为框图来表示为 5.4 离散系统的零输入响应离散系统的零输入响应 线性时不变离散系统的完全响应由线性时不变离散系统的完全响应由零输入响应零输入响应和和零状零状态响应态响应两部分组成。在对离散系统进行时域分析时，可以两部分组成。在对离散系统进行时域分析时，可以根据系统的差分方程分别求出由起始条件引起的零输入响根据系统的差分方程分别求出由起
10、始条件引起的零输入响应和由激励引起的零状态响应，然后叠加求得全响应应和由激励引起的零状态响应，然后叠加求得全响应。零输入响应的定义零输入响应的定义 对于离散系统，若在对于离散系统，若在 时系统的输入为零，即时系统的输入为零，即 。由系统的起始状态所引起的响应称为由系统的起始状态所引起的响应称为 时时的零输入响应，用的零输入响应，用 表示表示 零输入响应的求解零输入响应的求解 在离散系统的差分方程中，令输入信号为零，得在离散系统的差分方程中，令输入信号为零，得 离散系统的零输入响应就是上面的齐次差分方程离散系统的零输入响应就是上面的齐次差分方程满足给定初始条件时的解满足给定初始条件时的解 对应的
11、算子方程为对应的算子方程为 离散系统的零输入响应的计算步骤离散系统的零输入响应的计算步骤（1 1）求出系统传输算子的极点）求出系统传输算子的极点 令令 对上式所示的特征方程进行求解，即可得到系统对上式所示的特征方程进行求解，即可得到系统传输算子的极点传输算子的极点 ，分为单极点和重极点两种情况。，分为单极点和重极点两种情况。（2 2）写出各极点对应的零输入响应的分量表示式）写出各极点对应的零输入响应的分量表示式 单极点单极点 d d重极点重极点（3 3）求出）求出n n个初始条件个初始条件 （4 4）由初始条件确定各待定系数）由初始条件确定各待定系数 例例5.4.1 5.4.1 已知离散系统的
12、算子方程为已知离散系统的算子方程为 及初始条件及初始条件 求该系统的零输入响应。求该系统的零输入响应。解：令解：令 即即传输算子的极点为传输算子的极点为 各极点对应的零输入响应项为各极点对应的零输入响应项为 系统的零输入响应为系统的零输入响应为 令令 代入初始条件后得到代入初始条件后得到 求得求得 系统的零输入响应为系统的零输入响应为 例例5.4.25.4.2 离散系统的差分方程为离散系统的差分方程为 其中输入其中输入，初始条件为，初始条件为 求系统的零输入响应。求系统的零输入响应。解：齐次差分方程解：齐次差分方程 对应的算子方程为对应的算子方程为 令令即即得到传输算子的极点为得到传输算子的极
13、点为 系统的零输入响应为系统的零输入响应为 将将 代入系统的差分方程，可得代入系统的差分方程，可得 将已知的初始条件代入以上两式，得到将已知的初始条件代入以上两式，得到 求得求得将零输入初始条件代入零输入响应的表达式将零输入初始条件代入零输入响应的表达式 解得解得所以，系统的零输入响应为所以，系统的零输入响应为5.5 离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应零状态响应零状态响应 如果离散系统的起始状态为零，由系统外如果离散系统的起始状态为零，由系统外加激励信号所产生的响应加激励信号所产生的响应，用用 表示表示 在求离散系统的零状态响应时，我们首先把激励信在求离散系统的零状态响应时，我们首先把激
14、励信号分解为一系列加权的冲击信号。然后将每一个冲击信号分解为一系列加权的冲击信号。然后将每一个冲击信号作用于系统，系统输出一个与之相应的响应，每一个号作用于系统，系统输出一个与之相应的响应，每一个响应也均是一个离散序列，再将这些相应序列叠加起来，响应也均是一个离散序列，再将这些相应序列叠加起来，就得到系统对任意激励信号的零状态响应。这个叠加过就得到系统对任意激励信号的零状态响应。这个叠加过程表现为求程表现为求卷积和卷积和。5.5.1 5.5.1 离散信号的时域分解和卷积和离散信号的时域分解和卷积和离散时间信号的时域分解公式离散时间信号的时域分解公式 卷积和卷积和 定义定义:运算规律：运算规律：
15、（1 1）交换律）交换律（2 2）分配律）分配律（3 3）结合律）结合律图解法计算步骤图解法计算步骤 （1 1）换元）换元 将将 和和 中的变量中的变量k换为换为i，并分别画出图形，并分别画出图形 （2 2）折叠）折叠 画出画出 相对于纵轴的镜像相对于纵轴的镜像（3 3）移位）移位 将将 的图形沿横轴平移的图形沿横轴平移k，得到，得到 的图形的图形 （4 4）相乘）相乘 将移位后的序列将移位后的序列 和和 相乘相乘（5）求和）求和 把把 和和 相乘所得的序列相加相乘所得的序列相加 例例5.5.1 5.5.1 已知两序列已知两序列 求它们的卷积和。求它们的卷积和。解：解：和和 的波形的波形 则则
16、 时时 于是于是 列表法计算卷积和列表法计算卷积和由表可得由表可得 直接按定义计算卷积和直接按定义计算卷积和 例例5.5.2 5.5.2 求序列求序列 和序列和序列 的卷积和。的卷积和。解解：根据等比数列求和关系式，可知根据等比数列求和关系式，可知5.5.25.5.2离散时间系统的单位序列响应离散时间系统的单位序列响应单位序列响应的定义单位序列响应的定义 离散时间系统对单位序列离散时间系统对单位序列 的零状态响应称为系的零状态响应称为系统的单位序列响应，记为统的单位序列响应，记为 。求系统单位序列响应的步骤求系统单位序列响应的步骤 （1 1）将）将 除以除以E，得到，得到（2 2）将）将 展开
17、成部分分式和的形式展开成部分分式和的形式（3 3）将部分分式展开式两边乘以）将部分分式展开式两边乘以E，得到得到 的部的部分分式展开式分分式展开式 （4 4）求出式中各）求出式中各 对应的各单位序列响应分量对应的各单位序列响应分量 （5 5）求出系统的单位序列响应）求出系统的单位序列响应例例5.5.35.5.3 设某离散时间系统的差分方程为设某离散时间系统的差分方程为求系统的单位序列响应。求系统的单位序列响应。解：系统的传输算子为解：系统的传输算子为 对对 进行部分分式展开，得进行部分分式展开，得 于是于是单位序列响应分量为单位序列响应分量为系统的单位序列响应为系统的单位序列响应为 5.5.3
18、 5.5.3 离散时间系统的零状态响应离散时间系统的零状态响应 系统输入信号可以表示成一系列移位单位序列的线系统输入信号可以表示成一系列移位单位序列的线性组合，即性组合，即 根据线性离散系统的特性，可利用单位序列响应根据线性离散系统的特性，可利用单位序列响应 分分别求出每个移位单位序列别求出每个移位单位序列 作用于系统的零作用于系统的零状态响应。然后把它们叠加起来就可以得到系统对输入状态响应。然后把它们叠加起来就可以得到系统对输入 的零状态响应的零状态响应 。线性非时变离散系统输入和零状态响应的对应关系线性非时变离散系统输入和零状态响应的对应关系 当激励为当激励为 时，系统的零状态响应为时，系
19、统的零状态响应为 例例5.5.45.5.4 已知某离散时间系统的差分方程为已知某离散时间系统的差分方程为 设输入信号设输入信号 ，求系统的零状态响应。，求系统的零状态响应。解：（解：（1 1）求出单位序列响应）求出单位序列响应 系统的传输算子为系统的传输算子为 部分分式分解，得到部分分式分解，得到 得到系统的单位序列响应为得到系统的单位序列响应为（2 2）求出零状态响应）求出零状态响应 上式可写为上式可写为 查表可得查表可得 5.5.4 5.5.4 离散时间系统的全响应离散时间系统的全响应 求出了离散系统的求出了离散系统的零输入响应零输入响应和和零状态响应零状态响应后，再后，再将两者相加即可得
20、到系统由初始条件和输入两者共同作将两者相加即可得到系统由初始条件和输入两者共同作用所引起的用所引起的全响应全响应。例例5.5.5 5.5.5 描述某离散系统的差分方程为描述某离散系统的差分方程为 若输入信号若输入信号 系统的零输入响应初始条系统的零输入响应初始条件为件为。试求系统的全响应。试求系统的全响应。解：系统算子方程为解：系统算子方程为 系统的传输算子为系统的传输算子为（1 1）求系统的零输入响应）求系统的零输入响应 根据系统传输算子的极点，得根据系统传输算子的极点，得 将零状态响应初始条件代入，得将零状态响应初始条件代入，得 解得解得系统的零状态响应为系统的零状态响应为（2 2）求系统的零状态响应）求系统的零状态响应求出系统的单位序列响应求出系统的单位序列响应 则则系统的单位响应为系统的单位响应为 系统的零状态响应系统的零状态响应 查表，得查表，得（3 3）求系统的全响应）求系统的全响应
