1、3.8 函数的零点问题2023 年高考数学一轮复习（新高考地区专用）3.8 函数的零点问题2023 年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题一、单选题1已知函数()=cos2+cos，且 0，2，则()的零点个数为（）A1 个B2 个C3 个D4 个2已知函数()=，02，0有 3 个零点，则的取值范围为（）A(2，3B(1，3C(3，4D(1，44已知函数()=3+1，若()存在零点0 1，且满足(0)=(0)，则()A1+3 0C3+15已知函数()=sin(+6)(0)在0，2上有且仅有 4 个零点，则的取值范围是（）A2312，2912B2312，2912)C(1130，1124
2、D1130，1124)6已知函数()=sin(3+)1，0在(1，+)上有且仅有 1 个零点，则下列选项中 b 的可能取值为（）A0B18C12D47已知()是定义在10，10上的奇函数，且()=(4)，则函数()的零点个数至少为（）A3B4C5D68设函数()的定义域为，则“()是上的增函数”是“任意 0，=(+)()无零点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9已知函数()=3+2+的图象如图所示，则1 2等于（）A2B43C23D1210设函数()=|21|，函数()=()log(+1)，(0，1)在0，1上有 3 个不同的零点，则实数的取值范围
3、为（）A(1，32)B（1，2）C(32，2)D(2，+)11已知函数()=1|1|，0 22(2)，2，当 0，8时，函数()=()恰有六个零点，则实数的取值范围是（）A(45，1)B(23，45)C23，45)D45，1)12已知函数()=10，122+，12（e 是自然对数的底数）在定义域 R 上有三个零点，则实数 m 的取值范围是（）A(，+)B(，5C(，5)D，513已知函数()=22至多有 2 个不同的零点，则实数 a 的最大值为（）A0B1C2De14已知函数()=ln，033，0，若函数=()21与=()的图象恰有 6 个不同的公共点，则实数 a 的取值范围是（）A(0，32
4、)B(0，72)C(1，72)D(1，+)15已知函数()=|log2|，()=0，0 1，则方程|()()|=1的实根个数为（）个A1B2C3D416定义在 R 上的偶函数()满足(2)=(+2)，当 0，2时()=()，若在区间 0，10内，函数()=()(+1)有个 5 零点，则实数 m 的取值范围是（）A(0，log11)B(0，log11)(12，log7)C(log11，12)D(log11，12)(12，log7)二、多选题二、多选题17已知函数()=(1)的定义域为(0，+)，且()仅有一个零点，则（）Ae 是()的零点B()在(1，)上单调递增C=1是()的极大值点D()是(
5、)的最小值18已知函数()=2的零点为0，则（）A013C052D014 0三、填空题三、填空题19设，0，若函数=2+有且仅有一个零点，且22+3+8=1，则+的最小值为 ，+的最小值为 20已知函数=()是定义域为 R 的偶函数，当 0时，()=(12)，log16，0 2 2，若关于 x 的方程()2+()+=0(，)有且仅有 7 个不同实数根，则+=21已知函数()=，0，32+1，0，若(0)=0，则=，若()只有一个零点，则 a的取值范围是 23函数()=3+2，03+，0的零点个数为 .24若函数()=2，0，0有且仅有两个零点，则实数的一个取值为 .25已知函数()=2|+2+
6、.对于任意实数，()为偶函数；对于任意实数，()在(，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增；存在实数，使得()有 3 个零点；存在实数，使得关于的不等式()2022的解集为(，1 1，+).所有正确命题的序号为 .26已知函数()满足(2)=(+2)，0 0)若函数()的图像与 x 轴恰好有2+1个不同的交点，则21+22+2=27已知()是定义在上的奇函数，其图象关于点(2，0)对称，当 0，2时，()=1(1)2，若方程()(2)=0的所有根的和为 6，则实数的取值范围是 28声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数=sin.我们听到的声音是由纯
7、音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数()=sin+12sin2.给出下列四个结论：()的最小正周期是；()在0，2上有 3 个零点；()在0，2上是增函数；()的最大值为3 34.其中所有正确结论的序号是 .四、解答题四、解答题29设函数()=122+(1)+ln+2，0（1）若=1，求函数()的单调区间和最值；（2）求函数()的零点个数，并说明理由30已知 0，设函数()=(2)ln+，()是()的导函数（1）若=2，求曲线()在点(1，(1)处的切线方程；（2）若()在区间(1，+)上存在两个不同的零点1，2(1 2)，求实数 a 范围；证明：2(2)11()(2)(3)2
8、注，其中=2.71828 是自然对数的底数31已知函数()=ln+，()（1）求函数()的单调区间；（2）当0 1时，证明：函数()有两个零点；（3）若函数()=()2有两个不同的极值点1，2（其中1e332已知函数()=ln1()有两个零点（1）求 a 的取值范围；（2）设1，2是()的两个零点，证明：1+2 233已知函数()=ln+（1）若=1，求()的最大值；（2）若(1)+11+=0，(2)+22+=0，其中1 2，求实数的取值范围34已知函数()=ln+的极小值为 1（1）求实数 a 的值；（2）设函数()=()1+(121)证明：当0 0恒成立；若函数()有两个零点，求实数 m
9、的取值范围35已知函数()=2 ln.（）求函数 =()的最小值；（）若方程()=()有两实数解 1，2，求证：121+122+11|12|.（其中 =2.71828 为自然对数的底数）.36已知函数()=12(1)2+2ln（1）讨论()的单调性；（2）当=1时，()=()，若 34ln2，求证：对于任意 0，函数()=()有唯一零点答案解析部分答案解析部分1【答案】C2【答案】B3【答案】A4【答案】A5【答案】B6【答案】C7【答案】C8【答案】A9【答案】C10【答案】C11【答案】B12【答案】B13【答案】C14【答案】A15【答案】D16【答案】D17【答案】A,C,D18【答案
10、】A,B,D19【答案】2 77；9820【答案】-121【答案】2；（e，+）22【答案】-2 或 1；a123【答案】224【答案】12（答案不唯一）25【答案】26【答案】4(+1)27【答案】24 (612，+)28【答案】29【答案】（1）解：函数的定义域为(0，+)，当=1时，()=122+ln+12，()=+1=2+1，令()=0，得=1；由()0，得0 1；由()1所以，增区间为(0，1)，减区间为(1，+)当=1时，函数()有最大值为(1)=0，无最小值（2）解：()=122+(1)+ln+2，0，()=+(1)+=2+(1)+=(+1)()，令()=0，得=1（舍）或=；由
11、()0，得0 ；由()所以，增区间为(0，)，减区间为(，+)函数有唯一的极大值点=，()=122+(1)+ln+2=(1212+ln)，令()=1212+ln，0因为()=12+1 0恒成立，函数()为增函数，且(1)=1212+ln1=0，0 1时，()0，即()1时，()0，即()0，()=122+(1)+ln+2，且(1)=122+1+ln1+2=(112)1221 0)，则()=1，当 0时，()0成立，所以()(0)=0，所以 +1(0)，4 4+1，0，所以(4)12(4+1)(2+3)+42+2=12(13+3)0，在区间1，上有唯一零点，在区间，4上有唯一零点，函数()有两个
12、不同的零点综上所述：0 1时，函数()有两个不同的零点30【答案】（1）解：当=2时，()=2(1)ln+，()=2ln2+3，所以(1)=1，=(1)=1根据点斜式可得曲线()在(1，(1)处的切线方程为=（2）解：当 1时，()=0等价于2+ln=0设()=2+ln，则()=2+ln1ln2=(ln+1)(2ln1)ln2当1 时，()时，()0，()单调递增；所以，当 1时，()min=()=4，因为()在区间(1，+)上存在两个不同的零点1，2，所以()min 4 当 4 时，取=1(1，)，则ln21+111=21 0，又(2)=2ln2 0，所以()在区间(1，)和(，2)上各有一
13、个零点综上所述：4 设()=()(3)+2=(2)ln+(2)(2)，则()=2ln+2+(2)=2ln+，它是1，+)上的增函数又(1)=0，所以()0，于是()在1，+)上递增所以()(1)=0，即(2)ln+(3)+2，当=1时取等号因为1 1，所以0=(1)(3)1+2，解得0 111 3(1)因为()=2ln+3，所以2(2)=22ln2+32，结合(2)=(22)ln2+2=0知2(2)=22222+32=2(22)+2222处理 1：设函数()=ln，则()=ln1ln2，所以当0 时，()时，()0，()递增，所以()=ln()=，所以22=2ln2 处理 2：因为ln 1，所
14、以ln()1，即ln，当=时取等号，所以(2)=ln2+2 2+2=0由可知，()在2，+)上单调递增，且(2)=0，所以22，即22 因为()=2+22在，+)上是减函数，且22，且2(2)=(22)()=2+22=()(2)2综上可知：2(2)11 0)，当0 1e时，()1e时，()0，所以函数()在(0，1e)上递减，在(1e，+)上递增，所以函数()的单调区间为(0，1e)和(1e，+)（2）证明：由（1）知()min=(1e)=1e+，因为0 1，所以(1e)0，(e)=e+0，所以函数在(0，1e)上存在一个零点，在(1e，e)上存在一个零点，所以函数()有两个零点（3）证明：(
15、)=()2=ln2+，(0)，则()=ln2，因为函数()有两个不同的极值点1，2（其中1 e3等价于证ln(1 22)lne3，即证ln1+2ln2 3，所以3 ln1+2ln2=21+42=2(1+22)，因为0 131+22，又ln1=21，ln2=22，作差得ln12=(12)，所以=ln1212，所以原不等式等价于要证明2ln121231+22，即2ln123(12)1+22，令=12，(0，1)，则上不等式等价于要证：2ln 0，(0，1)，所以函数()在(0，1)上递增，所以()(1)=0，所以2ln e332【答案】（1）解：由()=0，得1ln=0，设()=1ln，则()=(
16、1)(1)2，0，因为1 0，所以当0 1时，()1时，()0，所以()在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增又因为()min=(1)=1 1，()=1，0 0，()=1+ln，()=2 +112=3 0，所以 a 的取值范围是(1，+)（2）证明：不妨设1 2等价于(2)(21)，即(1)(21)设()=()(2)，则()=()+(2)=(1)1221(2)2设()=12，则()=(2)+23，设()=(2)+2，则()=(1)，当0 1时，()1时，()0，()单调递增，又因为(0)=0，(1)=2 0，(2)=2，所以存在0(1，2)，使得(0)=0，当0 0时，()0，即()0
17、时，()0，即()0，所以()在(0，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增又因为(1)=1，(2)=214 1，所以当0 1，当1 2时，()1，所以当0 1时，()=(1)()(2)(1)=(1)(1)=0，所以(1)(21)，即原命题得证33【答案】（1）解：当=1时，()=ln+，则()=1+1(+1)=(+1)(1)令()=1(0)，则()=12 0，(1)=1 0，()单调递增；当 (0，+)时，()0，则()=ln，其中 0，()=1，当 (0，1)时，()0，()单调递增；当 (1，+)时，()0，()在(0，+)上单调递增，()至多有一个零点，不符合题意，舍去；若 0，则当
18、(0，)时，()0，()单调递增要使函数()有两个零点，则()=()=ln()0，0，(2)=ln2+2+=22+2+(1)令()=222+，1，则()=224+1，1，令()=224+1，0，1，()在(，1)上单调递增，()(1)=22+5 (1)=221 0，(2)0由1 2知()在(0，)和(，+)上各有一个零点，则实数的取值范围为(，1)另法：令()=ln+，(0，+)，由题意知 m 的取值应满足函数()有两个零点，若 0，易知()单调递增，不符合题意，舍去；若 0，由()=ln+=0，(0，+)知，1+ln=1，令()=1+ln，(0，+)，则()=ln2，(0，+)，()在(0，
19、1)上单调递减，在(1，+)上单调递增又(1)=1，且 (1，+)时，()1，解得 0恒成立，()在(0，+)上单调递增，无极小值；当 0时，令()0，；令()0，0 所以()在(0，)上单调递减，在(，+)上单调递增所以()的极小值为()=ln+1=1，即=1综上，=1（2）解：法一：()=ln+(121)，()=22322 (1)22=(12)(2)(1)2 0，()(1)=ln(1)+12=ln(1)+11由（1）知，()的最小值为(1)=1，即ln 11（当且仅当=1时，等号成立）ln(1)11，即()0法二：由（1）知，()的最小值为(1)=1，即ln 11（当且仅当=1时，等号成立
20、）因为0 12，所以0 1 11+(121)=(1)(1)2 0得证()=223当 0时，()0，()在(0，+)上单调递增，()至多有一个零点当 0时，()=(+2)(2)3令()0，2；令()0，0 0，0 12；令()12所以()在(0，12)上单调递增，在(12，+)上单调递减所以()的最大值为(12)=0当=12时，()min=(1)=0，()只有一个零点；当 12时，()min=(2)0所以()有两个零点；当0 12时，()min=(2)0，由知，当0 0恒成立，又(1)=0，所以()有两个零点；综上：0 1235【答案】解：（）令()=()=2ln，则()=2ln+1，()=2l
21、n+3()在(0，32)上单调递减，在(32，+)上单调递增(0+)=1，(1)=0()在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增()min=(1)=1；（）()=(2ln+1)()在(0，12)上单调递减，在(12，+)上单调递增不妨设 1 2，(0+)=0，(1)=0 0 112 2 0由（）知，()1，当且仅当 =1 时取等号，又求导易证 ln 1()1，当且仅当 =1 时取等号，设直线 =与直线 =1、=1 交点的横坐标分别为 1、2，则|12|12|=+1+=(+1)+1 +11|12|2122ln21ln22=21222(2122)=21222121+122 1综合可得，121
22、+122+11|12|36【答案】（1）解：()=12(1)2+2ln的定义域为(0，+)，且()=(1)+2=(1)2+2，当=1时，()=2，则()在(0，2)单调递减，(2，+)单调递增；当 1时，由()=0得=2+882(1)0，所以()在(0，+2+882(1)单调递减，(+2+882(1)，+)单调递增；当 1时，当 0时，()在(0，+)单调递减；当0 1时，当=2+8(1)=(+4)224 0时，即0 0时，即4+2 6 2=+2+882(1)0，所以()在(0，+2+882(1)、(2+882(1)，+)单调递减，在(+2+882(1)，2+882(1)单调递增；综上所述：当
23、 1时，()在(0，+2+882(1)单调递减，在(+2+882(1)，+)单调递增；当=1时，()在(0，2)单调递减，在(2，+)单调递增；4+2 6时，()在(0，+)单调递减；当4+2 6 1时，()在(0，+2+882(1)、(2+882(1)，+)单调递减，在(+2+882(1)，2+882(1)单调递增；（2）证明：当=1时，()=()=ln，()=ln()=ln21+2，令()=ln21+，则()=114=4 4则()=ln21+在(0，16)单调递增，(16，+)单调递减所以()=ln21+(16)=4ln221+0所以()=ln21+2 0()=ln在(0，+)单调递减当0 ln2 ln ln|得(|)0当 1时，由()=ln|1+|得(1+|)2+1)0，函数()=()有唯一零点
