1、4.1导数的概念及其运算2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题1已知抛物线C：y=x2，则使得M经过点P(1，1)，M和抛物线C在P处的切线斜率相等，且M和坐标轴相切的点M有（）A1个B2个C3个D4个2曲线 y=lnx2x 在 x=1 处的切线的倾斜角为 ，则 cos2 的值为（） A45B45C35D353曲线y=x3+bx2+c在点M(1，0)处的切线与直线xy2=0垂直，则c的值为（）A-1B0C1D24已知函数f(x)=cos2x，x(0，）在x=x0处的切线斜率为85，则sinx0cosx0=（）A35B35C355D3555实数x1，x2，y1，y2满足：x12l
2、nx1y1=0，x2y24=0，则(x1x2)2+(y1y2)2的最小值为（）A0B22C42D86已知函数f(x)=xexmx+m2在(0，+)上有两个零点，则m的取值范围是（）A(0，e)B(0，2e)C(e，+)D(2e，+)7若存在limx0f(x0+x，y0)f(x0，y0)x，则称limx0f(x0+x，y0)f(x0，y0)x为二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记为fx(x0，y0)；若存在limy0f(x0，y0+y)f(x0，y0)y，则称limy0f(x0，y0+y)f(x0，y0)y为二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，记为f
3、y(x0，y0)，已知二元函数f(x，y)=x22xy+y3(x0，y0)，则下列选项中错误的是（）Afx(1，3)=4Bfy(1，3)=10Cfx(m，n)+fy(m，n)的最小值为13Df(x，y)的最小值为4278定义满足方程f(x)+f(x)=1的解x0叫做函数f(x)的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）Af(x)=x23xBf(x)=x+1xCf(x)=lnxDf(x)=exsinx+39若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2(k1k2)是曲线y=lnx的两条切线，也是曲线y=ex的两条切线，则k1k2+b1+b2的值为（）Ae1B0C-1D1e110过平面内一点P
4、作曲线y=|lnx|两条互相垂直的切线l1、l2 ，切点为P1、P2（P1、P2不重合），设直线l1、l2分别与y轴交于点A、B，则下列结论正确的个数是（）P1、P2两点的横坐标之积为定值；直线P1P2的斜率为定值；线段AB的长度为定值；三角形ABP面积的取值范围为(0，1A1B2C3D411已知函数f(x)=2cos(x+)1(0，02)，在x=0处的切线斜率为3，若f(x)在(0，)上只有一个零点x0，则的最大值为（）A43B12C2D13612已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=2x3+3ax2f(1)x，则函数f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的斜率为（）A-21B
5、-27C-24D-2513若曲线y=lnx+x2+1在点（1，2）处的切线与直线ax+y1=0平行，则实数a的值为（）A4B3C4D314曲线y=x6x在点(1，0)处的切线方程为（）Ay=4x4By=5x5Cy=6x6Dy=7x715一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式s=t2(4t3)3，则当t=1时，该质点的瞬时速度为（）A5米/秒B8米/秒C14米/秒D16米/秒16若点P是曲线y=32x22lnx上任意一点，则点P到直线y=x3的距离的最小值为（）A724B332C2D517设函数f(x)在R上存在导函数f(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1)处
6、的切线方程为y=12x+2，那么f(1)+f(1)=（）A1B2C3D4二、多选题18吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V），r(V)为r（V）的导函数已知r（V）在0V3上的图象如图所示，若0V1V23，则下列结论正确的是（）Ar(1)r(0)10r(2)Cr(V1+V22)r(V1)+r(V2)2D存在V0(V1，V2)，使得r(V0)=r(V2)r(V1)V2V119已知a0，b0，直线y=x+a与曲线y=ex12b+1相切，则下列不等式成立的是（）Aab18B2a+1b8Ca+b62D3a+b3三、填空题20函数f(x)=cosxex的图象在x=0处切线的倾斜角为 2
7、1已知函数f(x)=f(0)e2xex，则f(0)= .22已知f(x)=ex1（e为自然对数的底数），g(x)=lnx+1，请写出f(x)与g(x)的一条公切线的方程 23已知函数f(x)=x3+ax2，写出一个同时满足下列两个条件的f(x)： .在1，+)上单调递减；曲线y=f(x)(x1)存在斜率为-1的切线.24某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P（单位，亿元）与时间t（单位：年）之间的关系为P(t)=P0(1+10%)t，其中P0为t=0时的P值.假定P0=2，那么在t=10时，GDP增长的速度大约是 .（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：1.1102.59，当x取很
8、小的正数时，ln(1+x)x25已知直线l是曲线y=ex1与y=lnx+1的公共切线，则l的方程为 .26已知函数f(x)=lnx+x，则f(x)在x=1处切线斜率为 27若曲线y=(x3)(x2)(x1)x(x+1)(x+2)x2+lnx3+4ln(3x+1)在点(1，8ln2)处的切线与直线2x=ay2平行，则a= .28过点M(1，0)引曲线C：y=2x3+ax+a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则a= 29已知倾斜角为45的直线l与曲线y=lnx2x+1相切，则直线l的方程是 .30已知函数f(x)=xex（e为自然对数的底数），过点(0，b)作曲
9、线f(x)的切线有且只有两条，则实数b= .31已知函数f(x)=x3f(1)x22，则f(2)= 32若曲线f(x)=ax1(a0)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，则a= 四、解答题33定义在(2，+)上的函数f(x)=(xk)sinx.（1）当k=6时，求曲线y=f(x)在点(6，0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；（2）将f(x)的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列xn，若f(x1)+f(x2)=0，求k的值.34已知函数f(x)=12x2x+acosx+sinx（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；（2）若函数f(x)在0，34上单调递减
10、，求a的取值范围35已知函数f(x)=emx+nx(m0)当m1时，曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与直线xy10垂直（1）若f(x)的最小值是1，求m的值；（2）若A(x1，f(x1)，B(x2f(x2)(x1e238已知函数f(x)=xax21（1）若曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为1，求a的值；（2）若f(x)在(1，+)上有最大值，求a的取值范围.39已知函数f(x)=(a2+1)lnx+axax（1）若a=1，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；（2）若f(x)0在（1，+）上恒成立，求a的值.答案解析部分1【答案】D2【答案】B3【答案】C4【答案】D
11、5【答案】D6【答案】D7【答案】B8【答案】D9【答案】C10【答案】C11【答案】C12【答案】A13【答案】B14【答案】B15【答案】C16【答案】A17【答案】C18【答案】B,D19【答案】A,C20【答案】3421【答案】-222【答案】y=rx-1或y=x23【答案】f(x)=x3+x2（答案不唯一）24【答案】0.5225【答案】y=ex-1或y=x26【答案】227【答案】2328【答案】27429【答案】x-y-2+ln2=030【答案】4e231【答案】232【答案】-233【答案】（1）解：当k=6时，f(x)=(x6)sinx，f(x)=sinx+(x6)cosx，
12、故f(6)=sin6=12.曲线y=f(x)在点(6，0)处的切线的斜率为k=f(6)=12，曲线y=f(x)在点(6，0)处的切线方程为y=12(x6)，令x=0，y=12.所以切线与y轴的交点(0，12).此时所求三角形的面积为12|12|6=2144.（2）解：f(x)=sinx+(xk)cosx当2x2时，f(x)=cosx(tanx+xk).由函数y=tanx+x在区间(2，2)上递增，且值域为R，故存在唯一x0(2，2)，使得tanx0+x0=k.此时当2xx0时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0x0，f(x)单调递增，因此x1=x0.同理，存在唯一x0(2，32)，使得tan
13、x0+x0=k.此时当2x0，f(x)单调递增；当x0x32时，f(x)0，f(x)单调递减，因此x2=x0.由f(x1)=0，x1k=tanx1，f(x1)=sin2x1cosx1=cosx11cosx1.同理：f(x2)=sin2x2cosx2=cosx21cosx2.由f(x1)+f(x2)=0，整理得：(cosx1+cosx2)(11cosx1cosx2)=0.又2x12x232，故cosx1cosx21，则有cosx1=cosx2=cos(x2)由2x22，故x1=x2或x1=(x2).又k=x1+tanx1=x2+tanx2，当x1=x2时，不满足，舍去.所以x1=(x2)，即x1
14、+x2=，则k=x1+tanx1+x2+tanx22=2.综上所述，k=2.34【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=12x2xcosx+sinxf(0)=12020cos0+sin0=1，所以切点为(0，1)，f(x)=x1+sinx+cosx，f(0)=01+sin0+cos0=0，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为k=f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线的斜率切线方程为y(1)=0(x0)，即y+1=0.（2）解：由f(x)=12x2x+acosx+sinx，得f(x)=x1asinx+cosx因为函数f(x)在0，34上单调递减，可得f(x)0
15、对任意x0，34恒成立，设g(x)=f(x)=x1asinx+cosx，则g(x)=1acosxsinx.因为g(0)=01asin0+cos0=0，所以使f(x)0对任意x0，34恒成立，则至少满足g(0)0，即1a0，解得a1.下证明当a1时，f(x)0恒成立，因为x0，34，所以sinx0，因为a1，所以f(x)x1sinx+cosx.记h(x)=x1sinx+cosx，则h(x)=1cosxsinx=12sin(x+4).当x(0，2)时，h(x)0.所以函数h(x)在0，2)上单调递减，在(2，34上单调递增.因为h(0)=0，h(34)=34120，所以h(x)在0，34上的最大值
16、为h(0)=0.即f(x)h(x)=x1sinx+cosx0在0，34上恒成立.所以a的取值范围为1，+).35【答案】（1）解：由题知，f(x)的定义域为R，f(x)=memx+n，当m1时，f(x)=ex+n，当m1时，曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线与直线xy10垂直n11，n2，f(x)=emx2x，f(x)=memx2当m0时，f(x)0时，f(x)0时，令f(x)=0，解得x=1mln2m，当x1mln2m时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1mln2m时，f(x)1，1mln2m=0，m2（2）证明：k=f(x2)f(x1)x2x1=emx2emx1x2x12令g(x
17、)=f(x)k=memxemx2emx1x2x1，则g(x)=m2emx0g(x)单调递增又g(x1)=memx1emx2emx1x2x1=emx1x2x1em(x2x1)m(x2x1)1，g(x2)=memx2emx2emx1x2x1=emx2x2x1em(x1x2)m(x1x2)1，令h(x)=exx1，则h(x)=ex1令h(x)=0，解得x0，当x0时，h(x)0，h(x)单调递增，当x0时，h(x)0m0，x10，em(x1x2)m(x1x2)10又emx1x2x10，emx2x2x10g(x1)0g(x)在(x1，x2)上有唯一零点方程f(x)=k在(x1，x2)上有唯一实数根36
18、【答案】（1）解：依题意，方程f(x)=ex(ax1)+1=0在区间0，1上有解，即a=x+1ex在区间0，1上有解，记g(x)=x+1ex，则函数g(x)区间0，1上单调增，其值域为0，21e故实数a的取值范围是0，21e.（2）解：f(x)=0exx+1x1=0(x1)令h(x)=exx+1x1=ex12x1在(，1)上单调递增，在（1，）上单调递增，h(2)=1e2130h(1.1)=e1.1210，根据零点存在性定理可知，h(x)在(，1)，(1+)上各有一个零点，即原函数有2个零点.37【答案】（1）解：由题意，f(x)=1lnxx2，则f(1e)=2e2，f(1e)=e，所以函数y
19、=f(x)在点(1e，f(1e)处的切线方程为y(e)=2e2(x1e)，即2e2xy3e=0.（2）证明：设x1x20，由题意，g(x1)=g(x2)=0，所以lnx1kx1=0，lnx2kx2=0，可得lnx1+lnx2=k(x1+x2)，lnx1lnx2=k(x1x2)，要证明x1x2e2，只需证lnx1+lnx22，即k(x1+x2)2，因为k=lnx1lnx2x1x2，所以可转化为证明lnx1lnx2x1x22x1+x2，即lnx1x22(x1x2)x1+x2，令x1x2=t，则t1，即证lnt2(t1)t+1，令h(t)=lnt2(t1)t+1(t1)，则h(t)=1t4(t+1)
20、2=(t1)2t(t+1)20，所以函数h(t)在(1，+)上是增函数，所以h(t)ln12(11)1+1=0，即lnt2(t1)t+1得证，所以x1x2e2.38【答案】（1）解：函数f(x)=xax21的定义域为x|x1，f(x)=x212x(xa)(x21)2=x2+2ax1(x21)2，由已知可得f(2)=4a59=1，解得a=1.（2）解：因为f(x)=x2+2ax1(x21)2，令g(x)=x2+2ax1(x1).当a0时，对任意的x1，g(x)=x2+2ax10恒成立，则f(x)0，此时函数f(x)在(1，+)上单调递减，没有最大值；当0a1时，g(x)=x2+2ax1在(1，+
21、)上单调递减，则g(x)g(1)0，则f(x)1时，方程x2+2ax1=0的两根分别为x1=aa21，x2=a+a21，由a1可知0x11a0恒成立，所以f（x）在（0，+）上单调递增.故当x(1，+)时，f(x)f(1)=0，不合题意，舍去；若1a0，则0a11a，所以当x(0，a)(1a，+)时，f(x)0，则f（x）的单调递减区间为(0，a)和(1a，+)，单调递增区间为(a，1a)故当x(1，1a)时，f(x)f(1)=0，不合题意；若a=1，则f(x)=(x1)2x20，所以f（x）在（0，+）上单调递减.故当x(1，+)时，f(x)f(1)=0，符合题意；若a1，则01a1a，所以当x(0，1a)(a，+)时，f(x)0，则f（x）的单调递减区间为(0，1a)和(a，+)，单调递增区间为(1a，a)故当x(1，a)，f(x)f(1)=0，不合题意综上所述：a=1
