1、 高三数学二模试卷 高三数学二模试卷一、单选题一、单选题1已知 ，是虚数单位，若复数 =21+(+1)为纯虚数，则 =（）A0B1 或-1C-1D12已知集合 =1，2，=2，4，=|=，则 C 中元素的个数为（）A1B2C3D43“=3”是“直线 +3=0 与 3+(2)+4=0 平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4已知函数()=21，0，12，0，若()=3，则 m 的值为（）A 3B2C9D2 或 95(2+)(+1)4 的展开式中，常数项为（）A2B6C8D126济南市洪家楼天主教堂于 2006 年 5 月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是
2、典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图 2，和 所在圆的圆心都在线段 AB 上，若 =，|=，则 的长度为（）A2sin2B2cos2Csin2D2cos27如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，D 在线段 BC 上，且 =2，E 为线段 AD 上一点，若 与 的面积相等，则 的值为（）A14B14C34D348已知数列 11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为 2 的有理数；接下来两项是分子与分母之和为 3 的有理数，并且从大到小排列；再接
3、下来的三项是分子与分母之和为 4 的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第 n 项记为 ，则满足=5 且 20 的 n 的最小值为（）A47B48C57D58二、多选题二、多选题9袋中装有除颜色外完全相同的 1 个红球和 2 个白球，从袋中不放回的依次抽取 2 个球.记事件A=“第一次抽到的是白球”，事件 B=“第二次抽到的是白球”，则（）A事件 A 与事件 B 互斥B事件 A 与事件 B 相互独立C()=23D(|)=1210下列不等关系中一定成立的是（）Alog32 log23B(15)25(12)15C(1+)12 2，+11过抛物线 2=4 焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两
4、点（A 在第一象限），M 为线段 AB 的中点.M 在抛物线的准线 l 上的射影为点 N，则下列说法正确的是（）A|的最小值为 4B CNAB 面积的最小值为 6D若直线 AB 的斜率为 3，则 =312在棱长为 1 的正方体 1111 中，E，F，G 分别为线段 1，CD，CB 上的动点（E，F，G 均不与点 C 重合），则下列说法正确的是（）A存在点 E，F，G，使得 1 平面 EFGB存在点 E，F，G，使得 +=C当 1 平面 EFG 时，三棱锥 1 与 C-EFG 体积之和的最大值为 12D记 CE，CF，CG 与平面 EFG 所成的角分别为 ，则 sin2+sin2+sin2=1三
5、、填空题三、填空题132022 年 4 月 24 日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班 8 位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉 m，该组数据的第 25 百分位数保持不变，则整数(1 10)的值可以是 （写出一个满足条件的 m 值即可）.14已知 1，2 分别为双曲线 2222=1(0，0)的左右焦点，点 P 在双曲线上，若 2 12，12=30，则双曲线的离心率为 .15在高为 2 的直三棱柱 111 中，ABAC，若该直三棱柱存在内切球，则底面ABC 周长的最小值为 .16已知函数()=|ln|+(0)，则函数(
6、)的最小值为 ；若关于 x 的方程+|lnln|=0 有且仅有一个实根，则实数 a 的取值范围是 .四、解答题四、解答题17从某企业的某种产品中随机抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.（1）求这 100 件产品质量指标值的样本平均数 （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）已知某用户从该企业购买了 3 件该产品，用 X 表示这 3 件产品中质量指标值位于 35，45 内的产品件数，用频率代替概率，求 X 的分布列.18已知 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，+=2 ，的面积 =34.（1）求边 c；（2）若 为锐角三角形，求 a
7、 的取值范围.19在底面为正三角形的三棱柱 111 中，平面 ABC平面 11，1=60，1=2=4.（1）证明：1 11；（2）求二面角 1 的余弦值.20已知 是递增的等差数列，1+5=18，1，3，9 分别为等比数列 的前三项.（1）求数列 和 的通项公式；（2）删去数列 中的第 项（其中 =1，2，3，），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 ，求数列 的前 n 项和 .21已知椭圆 C 的焦点坐标为 1(1，0)和 2(1，0)，且椭圆经过点(1，32).（1）求椭圆 C 的方程；（2）若(1，1)，椭圆 C 上四点 M，N，P，Q 满足 =3，=3，求直线 MN 的斜率.22已知函
8、数()=，0.（1）若曲线 =()在点(1，(1)处的切线在 y 轴上的截距为 1，求 a 的值；（2）是否存在实数 t，使得有且仅有一个实数 a，当 0 时，不等式()恒成立？若存在，求出 t，a 的值；若不存在，说明理由.答案解析部分答案解析部分1【答案】D2【答案】C3【答案】A4【答案】C5【答案】D6【答案】A7【答案】D8【答案】C9【答案】C,D10【答案】A,B,C11【答案】A,B,D12【答案】A,C,D13【答案】7 或 8 或 9 或 10（填上述 4 个数中任意一个均可）14【答案】315【答案】6+4 216【答案】2a；(1，+)17【答案】（1）解：由已知得：=
9、10 0.015 10+20 0.040 10+30 0.025 10+40 0.020 10=25.（2）解：因为购买一件产品，其质量指标值位于 35，45 内的概率为 0.2，所以 (3，0.2)，所以 =0，1，2，3.(=0)=(10.2)3=0.512，(=1)=13 0.2 (10.2)2=0.384，(=2)=23 0.22(10.2)=0.096，(=3)=0.23=0.008，所以 X 的分布列为X0123P0.5120.3840.0960.00818【答案】（1）解：因为 +=2，+=，所以 =3；因为 =12sin=34=34，所以 =1 .（2）解：在 中，由正弦定理
10、sin=sin，由（1）知 =3，=1，代入上式得：=sinsin=sin(+3)sin=12sin+32cossin=12+32tan，因为 为锐角三角形，则 +=23，=23 0)，数列 的公比为 q，由已知得 1+1+4=18(1+2)2=1(1+8)，解得 1=3，=3 ，所以=3；所以 1=1=3，=31=3，所以=3.（2）解：由题意可知新数列 为：1，2，4，5，则当 n 为偶数时=(1+4+3(2)2)+(2+5+3(2)1)=3(1272)127+32(1272)127=6(2721)13，则当 n 为奇数时，=1+=1+3(+12)2=1+312=6(27121)13+33
11、12，综上：=6(2721)13，为偶数6(27121)13+3312，为奇数 .21【答案】（1）解：由题意可知，c=1，设椭圆方程为 22+221=1，将点(1，32)代入椭圆方程，得(24)(421)=0，解得 2=14（舍），2=4，所以椭圆方程为 24+23=1.（2）解：设(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(1，1)，因为 =3，所以 11=3(21)11=3(21)，即 2=4132=413，又(1，1)，(2，2)都在椭圆上，所以 214+213=1，14(413)2+13(413)2=1，即 214+213=114(41)2+13(41)2=9，-得 14(42
12、1)4+13(421)4=8，即 14(21)+13(21)=1，又 =3，同理得 14(23)+13(23)=1-得 14(13)+13(13)=0，所以=1313=1413=34.22【答案】（1）解：由题意()=，(1)=，又因为(1)=，所以()在(1，(1)处的切线方程为+=(1)，即 =+，令 =0，得+=1，(+1)(1)=0，因为+1 0，所以 1=0，a=1；（2）解：0，()恒成立，即 0 恒成立.令()=(0)，()=，当 0 时，()=0 恒成立，所以()在(0，+)上单调递增，故当 0 时，()(0)=1 0，只需 1 即可，与有且仅有一个实数 a 矛盾，不符合题意；
13、当 0 时，令(0)=0，得 0=1ln，当 0 0 时，即 时，()在(0，+)上单调递增，则()(0)=1 0；当 0 0 时，即 时，()在(0，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，所以()(0)=ln 0，综上，1，0 ；由题意知，上述不等式关于 a 有唯一解.（i）若 1，对于式，1 无解.对于式，令()=1ln2，0 ，()=12=22，()=0 时，=2，所以()在(0，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，故只需(2)=1ln22=0 即可，解得 =2，此时 =2，符合题意；（ii）若 t=1，对于式，a=1，对于式，1ln12 0，当 =12 时成立，不合题意；（）若 0 0)恒成立.
