1、第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析强度理论强度理论 7-1 7-1 应力状态的概念应力状态的概念 7-7-2 2 二向应力状态分析二向应力状态分析-解析法解析法 7-7-3 3 二向应力状态分析二向应力状态分析-n-n图解法图解法 7-7-4 4 三向应力状态三向应力状态 7-7-5 5 广义胡克定律广义胡克定律 7-7-6 6 四种常用强度理论四种常用强度理论低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铸 铁铁问题的提出问题的提出71 应力状态的概念应力状态的概念脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢
2、低碳钢铸铸 铁铁 横截面上正应力分析和切应力分横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即力各不相同，此即应力的点的概念应力的点的概念。QFMzNF横力弯曲横力弯曲ZIMy*szzF SI b 直杆拉伸应力分析结果表明：直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即各不相同的，此即应力的面的概念应力的面的概念。FFkkpFkk2coscospsincos sinsin22p直杆拉伸直杆拉伸F laSM FlT Fa上图中1、3等边缘点切应力为0zMzT4321yx1z z
3、z zW WM MtTW3z zz zW WM MtTWFs123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体称为该单元体称为主应力单元体。主应力单元体。321,321 （1 1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2 2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零（3 3）空间应力状态：三个主应力都不等于零）空间应力状态：三个主应力都
4、不等于零平面应力状态和空间应力状态统称为平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态复杂应力状态Fl/2l/2S平面平面S平面平面4zFlM 2F543211232 231 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xyd dA Axyx 7-7-2 2 二向应力状态分析二向应力状态分析-解析法解析法x xy yx y yx xy（三个主应力中有两个不为零的状态）（三个主应力中有两个不为零的状态）0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程列平衡方程 0 tF0cos)sin(sin)sin(si
5、n)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx2.2.正负号规则正负号规则拉为正；压为负拉为正；压为负使微元顺时针方向使微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。y a a xyntxyxxx xy yx
6、y yx xy2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00 xyyx3.正正应力极值和方向应力极值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2)(2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零2cos2sin)(21xyyxyxxy 22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面（，分由上式可以确定出两个相互垂直的平面（，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。别为最大正应力和
7、最小正应力（主应力）所在平面。所以，最大和最小正应力分别为所以，最大和最小正应力分别为（三角函数推导得）（三角函数推导得）22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主应力按代数值排序：主应力按代数值排序：1 1 2 2 3 32sin2cos)(21)(21xyyxyx2/)2/2-2/tan22tan000000则设（）（yxxy试求试求（1 1）斜面上的应力；斜面上的应力；（2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面；（3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。y x xy。30MPa，60
8、 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知解：解：（1 1）斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3.58y x xy（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3.682yxxyyx22)2(minMPa3.48MPa3.48,0MPa,3.68321y x xy 主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206.0406060,5.1505.105905.150y x xy 代入代入 表达式可知表达式
9、可知 主应力主应力 方向：方向：15.150主应力主应力 方向：方向：3 5.1050（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：y x xy 5.1513022xyxytg 2max2min22xyxyxymax1min3xyxy xy13此现象称为纯剪切此现象称为纯剪切纯剪切应力状态纯剪切应力状态（x、y方向正应力为方向正应力为0）045 135或或452sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2(这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆（圆上各点即为对应的正应力和切应力大小）（圆上各点即为对
10、应的正应力和切应力大小）7-7-3 3 二向应力状态分析二向应力状态分析-图解法图解法xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2(2yx1.1.应力圆：应力圆：2.2.应力圆的画法应力圆的画法D(x,xy)D/(y,yx)c xy 2RxyyxR22)2(y yx xyADx点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一截面上的正应力和切应力微元某一截面上的正应力和切应力3 3、几种对应、几种对应D(x,xy)D/(y,yx)c xy 2 y yx xyxH),(aaH 2D(x,xy)D/(y,yx)c xy 2RxyyxR22)2(y yx
11、xyADx 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 圆心正应力坐圆心正应力坐标加减半径值标加减半径值定义定义231三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 7-7-4 4 三向应力状态三向应力状态由三向应力圆可以看出由三向应力圆可以看出（为圆（为圆2 2的半径值）：的半径值）：231max 结论：结论：代表单元体任意斜代表单元体任意斜截面上应力的点，截面上应力的点，必定在三个应力圆必定在三个应力圆圆周上或圆内。圆周上或圆内。213 32 1 1.1.基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律
12、横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 7-7-5 5 广义胡克定律广义胡克定律2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法23132111E12311()E2()E3()E=+Exxy 23132111E13221E21331E)(1zyxxE Gxyxy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xzmax,maxAFN（拉压）（拉压）maxmax WM（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）*maxzzsbISF（
13、弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）maxpWT（切应力强度条件）（切应力强度条件）max max 杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件7-7-6 6 四种常用强度理论四种常用强度理论max max 满足满足max max 是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？强度理论：强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。范围与实际相符合，上
14、升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。的关于材料破坏原因的假设及计算方法。构件由于强度不足将引发构件由于强度不足将引发两种失效形式两种失效形式(1)(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论最大切应力理论和和形状改变比能理论形状改变比能理论(2)(2)塑性屈
15、服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论最大拉应力理论和和最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论1.1.最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）01 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力1 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得b 00 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂只要发生
16、脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。坏拉应力数值。b1 断裂条件断裂条件 nb1强度条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转2.2.最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。拉伸时的破坏伸长应变数值。01 构件危险点的最大伸长线应变构件
17、危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0 E/)(3211 Eb/0 实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。强度条件强度条件)(321nb最大伸长拉应变理论（第二强度理论）最大伸长拉应变理论（第二强度理论）断裂条件断裂条件EEb)(1321b)(321即即 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服只要发生屈服,都都是由于微元内的最大切应力达到
18、了某一极限值。是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。0max 3.3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力max 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得0 2/0s 2/)(31maxs31 屈服条件屈服条件强度条件强度条件最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转 ss31n实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三
19、向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0(max局限性：局限性：2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。2最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服只要发生屈服,都是都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。0sfsfvv 4.4.形状改变比形状改变比能理论能理论（第四强度理论）（第四强度理论）213232221s
20、f)()()(61 Ev 构件危险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能sf 20f261ssEv 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得0f s 屈服条件屈服条件22132322212)()()(s 强度条件强度条件 ss2)13(2)32(2)21(21n形状改变比形状改变比能理论（第四强度理论）能理论（第四强度理论）实验表明：实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。11,r)(3212,r )()()(212132322214,r强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式：r相当应力表达式分别为：相当应力表达式分别为：313,r第一强度理论第一强度理论第二强度理论第二强度理论第三强度理论第三强度理论第四强度理论第四强度理论例题例题 已知：已知：和和。试写出。试写出最大切应力最大切应力 准则准则和和形状改变比能准则形状改变比能准则的表达式。的表达式。解：解：首先确定首先确定主应力主应力2211422322142220 223134r2224122331221()()()23r
