1、1.1 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。例如22x 在有理数范围内不能分解，在实数范围内就可以分解。210 x 在实数范围内没有根，在复数范围内就有根。等等。我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中代数运算：代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则，它使A中
2、任意两个元素 都有A中一个元素与之对应。AA（即运算是否封闭）。运算封闭：运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。一、数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对,a bS，总有,ab ab a bS 则称S是一个数环。整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都
3、是数环。例如：1、除了Z、Q、R、C外是否还有其他数环？问题：2、有没有最小的数环？例1：设a是一个确定的整数。令Sna nZ定义1：则S是一个数环。特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。当a=0时，0S，即只包含一个零组成的数环，这是最小的数环，称为零环。问题：3、一个数环是否一定包含0元？4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的数环？例2：证明 2,1Z iabi a bZ i 是一个数环。问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环有没有其他简单的方法？定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。二、数域定义2：设F是一个含有不等零的数的数集，
4、如果F定义：设F是一个数环，如果 F内含有一个非,a bF0b 零数；对且，则a bF则称F是一个数域。有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，例如：则称F是一个数域。中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，且是三个最重要的数域。问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数集是不是数域？7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？例3：证明 22,Qaba bQ是一个数域。证明要点：02cdQd设 2020cdcd（否则当00dc矛盾；当，也矛盾）。于是11112222,222abcdababa bQcdcdcd先证2Q有一个非零元1 1 0 2 对加、减、乘封闭。再证除法封闭：，8
5、、一个数域必包含哪两个元素？问题：9、最小的数域是什么？定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。证明：设F是一个数域，则,0.aF a 于是0,1.aaF a aF 1 12,123,134,NF 0 11,022,033,ZF 对,0,axQ xxa bZb 故,.xF QF10、在判断一个数集是不是数域时，实际上问题：要检验几种运算？设F是一个含有非零数的数集，则F定理1.1.3：问题：11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C之间是否有别的数域？例：对任意素数P，,Q Pabp a bQ是一个数域。QQ PR在R与C之间不可能有别的数域。设有数域F，使RFC，故,xF xR xC 设
6、x=a+bi，且0b 数不为零）仍属于F。是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除（若b=0，则xaR，矛盾）。,a bRa bFbiFbi biF 可见F=C。问题：12、设1S和 2S是数环，试问1212,SSSS是不是数环？若是，给出证明，若不是举出反例。若 1S和 2S是数域情况又如何？2122,3,SSa ba b QSa ba b Q1S不是数域,反例:两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。（12,F F是数域，则12FF是数域的充要条件是12FF或 21FF）。1.2 1.2 一元多项式的定义和运算一元多项式的定义和运算一、多项式的
7、概念 中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。例：4a+3b，2321,xx31.25y 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。后来又把多项式定义为R上的函数：01nnf xaa xa x但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中并没有交代。问题：1、高等代数中采用什么观点定义多项式？2、多项式的形式观点与多项式的函数观点是否矛盾？定义1：设x是一个文字（或符号），n是一个非负整数形式表达式010nniniiaa xa xa x（2.1）其中01,na aaF，称为数域F上的一元多项式。常数项或零次项 首项首项系数ia称为i次项系数。高等代数中采
8、用形式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定义：1.这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。2.系数可以是任意数域。例1.2.1：231 239f xxxx 是Q上多项式；232f xxx是R上多项式；235f xixx是C上多项式。323132,1xxxaxxx都不是多项式。定义2：,f xg x是两个多项式，f xg x除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。多项式的表法唯一。方程010nnaa xa x是一个条件等式而不是两个多项式相等。定义3：设 01,0,nnnf xaa xa xa非负整数n称为 f x的次数，记为：.f xn 最高次项，亦称为首项。例1.2.2：2321
9、,2,f xxxf x 3,0f xf x零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不个多项式不是零多项式。首一多项式：首项系数为1的多项式。二、多项式的运算定义4：设 01nnf xaa xa x 01mmg xbb xb x是数域F上次数分别定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这为n和m的两个多项式mn，则 f x与 g x的和 f xg x为：0011mnmmnnabab xabxabx0niiiiab x。当mn时，取 。10mnbb fxg xfxg x 0niiiiab x定义5：设 ,f xg x如上，g x与 f x的积为 01n
10、mn mf xg xcc xcx0111 10,kkkkkijij kca bababa bab 0n mkijkij kf xg xabx 例1.2.3：设 232345,21f xxxg xxxx 32556f xg xxxx 54323465831043545f xg xxxxxx 其中0,1,.knm相乘积的和作为kx的系数。得：把 中两个系数下标之和为k的对应项 ,f xg x多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：加法交换律：f xg xg xf x加法结合律：fxg xh xfxg xh x乘法交换律：f xg xg xf x乘法结合律：fxg xh xfxg xh x乘法对
11、加法的分配律：fxg xh xfx g xfx h x下面证明多项式乘法满足结合律。证：设 3000,nmlikijkijkf xa x g xb x h xc x现证 f x g xh xf xg x h x这只要比较两边同次项（比如t次项系数）相等即可。左边 f x g x中S次项的系数是：ijij sab 左边 f x g xh xt次项的系数是：ijkijkk s tij sij k tab cab c 右边 g x h x中r次项的系数是：jkj k rb c 右边 f xg x h x的t次项的系数是：ijkijki r tj k rij k tab cab c 左、右两边同次项的
12、系数相等，乘法满足结合律。三、多项式的次数定理定理2.1.1：设 0,0f xg x 当 0f xg x时，则 max,fxg xfxg x f x g xf xg x 证：设 01,0,nnnf xaa xa xafn 01,0,mmmg xbb xb xbgm当,mn令 10mnbb 0niiiifxg xab x f xg xn 0,n mkiikij kf xg xabx 0,00nmnmaba b 0f xg x fxg xnm多项式乘法没有零因子。推论1：若 000f xg xf xx或g证：若f=0或g=0，则必有fg=0。反之，若 0,0f xg x 0f x g xf xg
13、x 0f x g x，矛盾。乘法消去律成立。推论2：若 f x g xf x h x且 0f x 则 g xh x证：0fxg xh x由于 0f x 故 0g xh x定义5：F xF 数域 上所有一元多项式全体 nF x 次数小与n的一元多项式全体+零多项式对多项式的加、减、乘法是否封闭？上的多项式环。对多项式的加、减、乘法封闭，故称为数域F F x nF x1.3 1.3 整除性理论整除性理论一、多项式整除的概念1.多项式的整除性设 ,f xg xF x h xF x，若存在，使 g x f xg x h x，则说整除 f x，记为：g xf x，记为：。g xfx当 g xf x时，f
14、 x g x称作的因式，f x称作 g x的倍式。2.整除的基本性质性质性质1：否则就说 g x f x不能整除 ,h x g xg xfx若则 h xfx。（传递性）证：,h x g xg xf x 12,mxmxF x使 1,g xh x mx 212f xg x mxh x mx mx h xfx性质性质2：若 ,h x g xh xf x，则 。hfg证：12,g xh x mxf xh x mx 12,mxmxF x 12,fgh xmxmx h xfg性质性质3：若 h xfx，对 。g xF xh fg有证：,f xh x m xm xF x ,f x g xh x g x m
15、x h xf x g x性质性质4：若 ,1,2,ih xfxim则对 ,1,2,igxF xim 1122mmh xf gf gf g有性质性质5：若 ,fx g xg xfx则 ,.f xc g xcF 证：,ghf fglf hl0,hlh l为常数。性质性质6：,f xF x cF且 0c 则 ,c fxcfxfx性质性质7：,f xF xf x零多项式3.带余除法定理定理1.3.1：设 ,f xg xF x，且 0,g x 则存在 ,q xr xF x使得 f xg x q xr x这里 r xg x 或 0r x 满足条件的 q xr x和唯一确定。商式余式证：先证存在性。1、若
16、0f x 则取 0,0.q xr x即知结论成立。2、设 ,f xng xm对 f x的次数n，利用数学归纳法。当n1时，p x称为 f x的重因式。如果 f x的标准分解式为：1212,skkknsf xa px pxpx则 1,spxpx分别是 f x的因式，且分别为1,skk重。要求 f x的重因式，只要把 f x式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项的标准分解式分解为不可约因式的乘积。因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。定义2：的一阶导数指的是多项式：1122nnfxaa xna x（形式定义）01nnf xaa xa x多项式一阶
17、导数 fx的导数称为 f x的二阶导数，记为 fx fx的导数称为 f x的三阶导数，记为 fx f x的k阶导数记为()kfx多项式的求导法则：1、;f xg xfxgx2、;cf xcfx3、;f x g xfx g xf x gx4、1.mmfxmfx fx 定理1.6.1：若不可约多项式 p x是 f x的k重因式（k1），则 p x是 fx式，特别多项式 f x的单因式不是 fx式。证：,kf xpx g x 1kkfxkpx p x g xpx gx 1kpxkpx g xp x gx ,p xg xp xpx的k-1重因的因 ,p xpx g x从而 ,p xkp x g xp
18、x g x于是 p x是 fx的k-1重因式。推论1：若不可约多项式 p x是 f x的k重因式不是()kfx的因式。证：p x是 fx的k-1重因式，p x是 fx的k-2重因式，（k1），则 p x是 (1),kf xfxfx的因式，但 p x是 (1)kfx的（k-(k-1)=1）单因式，因而不是()kfx的因式。推论2：不可约多项式 p x是 f x的重因式的 fx充要条件是 p x是 f x与 的公因式。证：必要性由推论1立得。充分性，若 p x是 f x与 fx的公因式，则 p x不是 f x的单因式（否则，由推论1知的因式），故 p x不是 fx p x是 f x的重因式。推论3
19、：f x无重因式的充要条件是多项式 f x与 f x互素。推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以利用辗转相除法得到。在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多项式有没有重因式。设多项式 f x的标准分解式为：1212,skkknsf xa px pxpx由定理1得：1211112,skkksfxpx pxpx g x故 1211112,.skkksfxfxpx pxpx于是：有没有重因式，只要求1、判别 f x ,f xfx f x的最大公因式,d x的重因式的重数恰好是 d x f x中重因式的重数加1。此法不能求的单因式。12,snf xfxpx pxpxaf xfx Q x例1.
20、6.1 在中分解多项式 4322111236f xxxxx f x2、分离重因式，即求的所有不可约的单因式：2223f xxx例1.6.2：求多项式3fxpxq有重因式的条件。3xpxq23xp13x33pxx 123pr xxq 13322qr xxpp3x2932qxxp92qxpp92qp0p 2292724qqxpp22274qpp1.当 10r x 时，即0,pq这时f有重因式3x2.当 0p 时，即324270pq时，3f xxp xq欲有重因式，只需22270,4qpp即 324270,pq重因式是223pxq例1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式 54323562f
21、xxxxxx在Q上的标准分解式。解：4325123106,fxxxxx利用辗转相除法求得：22,211f xfxxxx 把 f x单因式化，得 3222212,f xxxxxxf xfx由于 2,1,f xfxx故 1x是 f x的3重因式，22x 是 f x的单因式，故 f x在Q上的标准分解式为 3212f xxx多项式 f x在 F x中没有重因式，问题：f x在 F x中是否也没有重因式？由于多项式 f x的导数以及两个多项式互素与否在由数域F过渡到含F的数域 F时并无改变，故 f x有没有重因式不因数域的扩大而改变。1.7 1.7 多项式函数与多项式的根多项式函数与多项式的根一、多项
22、式函数 01,nnf xaa xa xF x1.定义：设对 01nnf caa ca cF,cF 数 称为当F中的根或零点。,f xF x2.定义（多项式函数）：设对,cF 作映射f：cf cF为F上的多项式函数。0,f c xc时 f x的值，若则称c为 f x在,f x映射f确定了数域F上的一个函数 f x被称当F=R时，f x就是数学分析中所讨论的多项式函数。若 ,u xf xg xv xf xg x则 ,.u cf cg cv cf cg c二、余式定理和综合除法所得的余式是 。用一次多项式x-c去定理1.7.1（余式定理）：除多项式,f x f c证：由带余除法：设 ,f xxc q
23、 xr则 。rf c问题1、有没有确定带余除法：f xxc q xr的简单方法？中 q x和 r设 1011nnnnf xa xa xaxa 120121nnnnq xb xb xbxb 1010121.nnnnnxc q xrb xbcbxbcbxrcb 把 ,f x q x代入 f xxc q xr中展开后比较方程两边的系数得：00ab00ba110abcb110bacb221abcb221bacb112nnnabcb112nnnbacb1nnarcb1nnracb因此，利用 f x与 q x之间的系数关系可以方便 q x和r，这就是下面的综合除法：0121nnaaaaac00ba0cb1
24、b1cb2b2ncb1nb1ncbr于是得 120121,nnnnq xb xb xbxb1.nnracb去除例1.7.1：求用2x 532285f xxxxx的商式和余式。解：由综合除法10128521224510816244853因此 43225824q xxxxx53r 利用综合除法求 q x与r时应注意：1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；2、除式xb要变为xb 532285f xxxxx例1.7.2：把表成2x的方幂和。定理1.7.2（因式定理）：xc因式的充要条件是 。0f c 证明：设 ,f xxc q xr若 0,f c 即 0,r 故 xc是 f x的一个因式。若 f
25、 x有一个因式,xc即 ,xcfx故 0,r 此即 。0f c 由此定理可知，要判断一个数c是不是 f x的根，可以直接代入多项式函数，看 f x是否等于零；也可以利用综合除法来判断其余数是否为零。f x多项式有一个三、多项式的根xc定义3：若是 f x的一个k重因式，即有,kxcf x但 1,kxcf xxc则 是 f x的一个k重根。f x问题2、若多项式有重根，能否推出 f x f x有重因式，反之，若有重因式，能否说 f x有重根？由于多项式 f x有无重因式与系数域无关，而 f x f x有无重根与系数域有关，故有重根 f x有重因式，但反之不对。定理1.7.3（根的个数定理）：0n
26、 n 数域F上次多项式至多有n个根（重根按重数计算）。证明（用归纳法）：当0n 时结论显然成立，假设当 f x是 1n次多项式时结论成立，则当 f x是n次多项式时，设 cF是 f x的一个根，则有 f xxc q x q x是n-1次多项式，由归纳知 q x至多只有1n个根，故 f x至多只有n个根。证二：对零次多项式结论显然成立，数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不定理1.7.4：f x超过n，若在F中有n+1个不同的数使与 g x的值相等，则 。f xg x证明：令 ,u xf xg x ,f xg xF x设它们的次数都不若 0,u x 又 ,u xn把 f x若 f x是一次
27、数0的多项式，分解成 f x不可约多项式的乘积，这时在数域F中根的个超过n。由于F中有n+1个不同的数，使 f x与 g x的值相等，故 u x有n+1个不同的根，这与定理1.7.3矛盾，故 0,u x 即 f xg x问题3、12,na aa设是F中n个不同的数，12,nb bb是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项 f x式，使,1,2,iif abin,1,2,iif abin利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式,f x使作函数 1111111niiiniiiiiiinb xaxaxaxaf xaaaaaaaa则 ,1,2,iif abin这个公式也称为Lagrange插值公式。
28、例1.7.3：求一个次数小于3的多项式,f x使 。27,12,21fff解一（待定系数法）：设所求的多项式 2,f xaxbxc由已知条件得线性方程组：4272421abcabcabc解之得763223abc 解二（利用Lagrange公式）：利用Lagrange插值公式可得：712222212 1221212222 1xxxxxxf x 22272124324312xxxxx2732623xx 问题4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致？四、多项式相等与多项式函数相等的关系1.多项式相等：即 f xg x对应项的系数相同；2.多项式函数相等：即 f xg x对,cF 有 .f
29、 cg c定理1.7.5：f x F x中两个多项式和 g x相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数相等。证明：,若 ,f xg x它们对应项的系数,cF 相同，于是对 .f cg c故这两个多项式函数相等；,若对,cF 有 .f cg c令 ,u xf xg x此时 u x有无穷多个根，故 0,u x 此即 。f xg x1.8 1.8 复数域和实数域上的多项式复数域和实数域上的多项式一、C上多项式对于 F x上的多项式 f x，它在F上未必有根，那么它在C上是否有根？每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根。定理1.8.1（代数基本定理）：任何n（n0）次多项式在C上有n个根
30、（重根按重数计算）。定理1.8.2：当n=1时结论显然成立。证：假设结论对n-1次多项式成立，则当 f x f x是n次多项式时，由于在C上至少有一个根，1f xxfx设为,则 ，1fx是C上n-1次多项式。由归纳假设知 1fx在C上有n-1个根，推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项式。推论2：任一个n（n0）次多项式 f x在 f x在C上的根，所以 f xn个根。它们也是在C上有上都能分解成一次因式的乘积，即 01nnf xaa xa x的标准分解式是：1212rkkknrfxaxxx其中1,r是不同的复数，1,rkk是自然数且1.riikn
31、韦达定理：设12,是 2axbxc的两个根，则1212,bcaa C xC上多项式的根与系数关系：设 111nnnnf xxa xaxa（1）是一个n（n0）次多项式，则它在C中有n个根，记 12nf xxxx1121211nnnnnijnij nxxx （2）比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，12,n 则 为得根与系数的关系为：11na 212131nna 312312421nnna 1112113231nnnnna 121nnna 如果 1011nnnnf xa xa xaxa根与系数的关系又如何？1011nnnnf xa xa xaxa1110000nnnnaaaaxxxaaa0
32、1naxx101na a 20ijaaaa1210,1kkkkrrrrraa 互不相同011nnniiaa 利用根与系数的关系，可以构造一个n次多项式，使其恰以12,n 为根。例1.8.1：它以1和4为单根，-2为2重根。求一个首项系数为1的4次多项式，使解：设 4321234,f xxa xa xa xa则 114221,a 242288412,a 38 8 1644,a 441 1616.a 43212416.f xxxxx二、实数域上的多项式定理1.8.3：f x如果是实数系数多项式的与 有相同的重数。证：设 101nnnf xa xa xa由于是 f x的根，故有1010nnnaaa两
33、边取共轭复数，注意到01,na aa和0都是实数，则有10110nnnnaaaa可见也是 f x的根。f x非实复根，则的共轭复数也是的根，且因此多项式：2g xxxxx能整除 f x，即存在多项式 ，h x g x使 ,f xg x h x是实系数多项式，故 h x也是实系数多项式。f x若 是 的重根，由于 ，故 必是 h x的根，h x是实系数，故也是 h x的根，故 也是 f x的重根。与重复应用这个推理方法知的重数相同。唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的1定理1.8.4 每个次数的实系数多项式都可乘积。()f x()1f x就是一次因式子，结论成立。若 ，()f x证明：的次
34、数作数学归纳。对 假设对结论次数0）次实系数多项式 f x具有标准分解式：11012211rtkkrllttf xaxbxbxp xqxp xq2iixp xq不可约，即满足240,1,2,.iipqit在R上例1.8.2：设1234,是多项式 43201234f xa xa xa xa xa的非零根，求以12341111,为根的四次多项式。解：设 4321234g xxb xb xb xb为多求多项式。112340aa 21213142324340aa 31231242341340aa 412340aa 234134124123123412341111 3031440aaabaaa 2022
35、121314232434404111111aaabaaa 10131231242341344041111a aabaaa 04123441aba 所求多项式是：43230214444aaaag xxxxxaaaa或 43243210a xa xa xa xa1.8 1.8 有理系数多项式有理系数多项式 本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如何求Q上多项式的有理根，由于 f x与 cf x在 Q x上的可约性相同。因此讨论 f x在Q上的可约性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。一、整系数多项式的可约性定义1（本原多项式）：若整系数多项式 f x的系数互素，则称 f x是一个本原多项式。例如
36、：22364,51f xxxg xx 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。是本原多项式。引理（高斯定理）：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。证：设 01,0ininnf xaa xa xa xa 01,0jmjmmg xbb xb xb xb都是本原多项式 01.ijm nijm nf x g xcc xcxcx若 f x g x不是本原多项式，则存在素数p，使,1,2,kp ckmn由于 ,f xg x都是本原多项式，故 f x的系数不能都被p整除，g x的系数也不能被p整除，可设,0,1,1,rp ari但,ipa,0,1,1,sp bsj但,jpb现
37、考虑011110.ijijijijijijca ba baba bab除了ijab这一项外，p能整除其余各项，,ijpc因此这是一个矛盾，故 f x g x是本原多项式。定理1.9.1：f x一个整系数n（n0）次多项式在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。证：充分性显然。下证必要性。设 f x可分解成 Q x中两个次数都小于n的多项式 g x与 h x的乘积，即有 .f xg x h x设 g x的系数的公分母为m，则 mg x一个整系数多项式，把是 mg x系数的公因式n提出来，1,mg xngx 1gx是本原多项式，即 11.ng xgxr gxm同理，存在有理数S，使 1,h
38、xsh x 1h x也是本原多项式，于是 11f xg x h xr sgx h x 下证r s 是一个整数，qr sp 设（p,q互素且p0），由于 11qgx h xp是整系数多项式，故p能整除q与 11gx h x的每一系数的乘积，而p,q互素，故p能整除 11gx h x的每一系数，但由引理1知，11gx h x是本原多项式，故p=1，从而rs是一个整数。C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题。问题：定理1.9.2（Eisenstein判别法）：设 01nnf x
39、aa xa x是整系数多项式，若存在素数p，使 011,np a aa;npa20,pa则 f x在Q上不可约。证（反证法）：若 f x在Q上可约 f x在Z上可约，即存在：01,kkg xbb xb x 01,llh xcc xc xZ x使 .f xg x h x其中,0,.klnkln 00 00,ab cp a故 0p b或 0p c但两者不能同时成立。20pa不妨设0p b但 。0pc由于 ，nklab c由 npa知 g x的系数不能都被p即01,sp bp b但 spb现考虑01 10,.ssssab cb cb csn00,sspb pcpb c但p能整除其它项，故spa与已知
40、矛盾。假设sb是第一个不能被p整除的系数，整除，f x在 Z x中不可约 f x在 Q x中不可约。由Eisenstein判别法知，Q上存在任意次不可约多项式。例1.9.1：nxp是Q上不可约多项式，p是素数。例1.9.2：判断 63102,f xxx 4356126g xxxx在Q上是否可约？解：分别取p=2,p=3即知。解：取素数p即知。Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件，但不是必要条件。注意：例：21x 不可约，但找不到素数p。系数多项式。特别地，若 f x是本原的，则 h x也是本原的。,f xg x推论：设 ,f xg x h x若 都是 h x整系数多项式，且
41、g x是本原的，则必是整 1h xqhxq fx的所有系数。）（若不是二、整系数多项式的有理根定理1.9.3：设 110,nnnnf xa xaxa是一个整系数多项式，若有理数u v是整系数多项式 f x的一个根，这里u，v是互素的整数，则 ,ufxxq xq xZ xv0,nv a u a证：（1）u v是 f x的根，f x有一次因式,uxv即 11ufxxq xvxuq xvxu qxvv因为vxu是本原多项式 1qx是整系数多项式，故 1q xvqx是整系数多项式。（2）设 11110,nnqxbxb xb011,nb bb是整数。比较 1f xvxu qx两边n次项与常数项系数得：1
42、00,nnavbaub0,nv a u a由定理1.9.3，要求整系数多项式 f x的有理根，只要求出最高次项系数的因数12,kv vv以及常数项0a的因数12,tu uu。然后对形如ijuv有理数用综合除法来检验，如果最高次系数为1，则整系数多项式f的有理根只能是整根。这样的例1.9.3：求 43225771f xxxxx的有理根。解：2的因数是1,2,1 的因数是1,故 f x可能的有理根只能是11,2对 11,2用综合除法逐一检验知：f x的有理根只能是 。1 2定理1.9.4：设,u v是互素的整数，且uv是整系数多项式 f x的根，则 1,1.vufvuf证：由 ,.f xvxu g
43、 xg xZ x把 1代入得：11,1.fvu ggZ x 11,1.fvu ggZ x 1,1.vufvuf1.10 1.10 多元多项式多元多项式 前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元多项式，如222,xyxy332233,xyx yxy下面简单介绍有关多元多项式的一些概念。设F是一个数域，12,nx xx是n个文字，形如1212nkkknax xx（1）的式子，其中12,naFk kk是非负整数，称为一个单项式。如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些单项式的和121 21212,nnnkkkk kknk kkax x
44、x就称为n元多项式，简称多项式，记为12,nf x xx（2）和一元多项式一样，n元多项式也可以定义相等，相加、相减、相乘。1.相等：如果F上两个n元多项式有完全相同的项（或者只差一些系数为零的项），则称这两个多项式是相等的。2.相加：F上两个n元多项式12,nf x xx与 12,ng x xx的和指的是把分别出现在这两个多项式中对应的同类项的系数相加多得的n元多项式。例如：设32232312311212233,32f x x xxx xx xx xx223231231212233,2332g x x xx xx xx xx则f与g的和是32232312312311212233,52f x
45、x xg x x xxx xx xx xx3.相减：.fgfg 设 12,ngF x xx12,.ngF x xx 把g的系数都换成各自的相反数，所得多项式叫做g的负多项式，记为,g4.相乘：F上两个n元多项式12,nf x xx与 12,ng x xx与g的每一项相乘，然后把这些乘积相加（合并同类项）所得的多项式称为f与g的积，记为fg。的乘积指的是，先把f的每一项例如221231231223,2f x x xx x xx xx x3232123121223,3g x x xx xx xx x则 522422242433241231231231212312332222321231232326
46、233f gx x xx x xx x xx xx x xx x xx x xx x xx x 这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致，n元多项式的运算满足以下运算律：设12,nf g hF x xx则 fghfgh（加法结合律）fggf（加法交换律）fg hf gh（乘法结合律）（乘法交换律）fggffg hfhgh（乘法分配律）我们把F上一切n个文字12,nx xx的集合，连同以上定义的加法和乘法叫做F上n个文字的多项式所成12,nx xx的多项式环，记作12,.nF x xx同一元多项式一样，也可以谈论n元多项式的次数。设 111121,nnnkknkknkkf x x
47、xaxx12nkkk称为单项式111nnkkkknaxx的次数，对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式f的次数，记为.f 设f、g是F上两个不等于零的n元多项式，则f与g的和与积的次数与f、g的次数有如下关系：1、max,fgfg2、.f gfg 结论1是显然的，但要证明结论2，还得先考虑多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，因而称为字典排列法。每一类单项式（1）都对应一个n元数组12,nk kk 为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们
48、只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了。其中ik为非负整数，这个对应是1-1的，设两个单项式分别对应n元数组1,nkk和 1,nll考虑,1,2,.iiklin如果有,jn使 11110,0.jjklkl而 0jjkl则称n元数组1,nkk先于数组1,nll记为11,nnkkll于是对应于1,nkk的单项式就排在对应于1,nll的单项式前面。例如，对多项式232324212312413432fx x xx x xxx x按字典排列法写出来就是：423232214112312434,32f xxxx x xx x xx x应该注意的是，把一个多项式按字典排列法书写后，次数较高的项并不一定排在次数
49、较低的项的前面，例如上面的首项次数为4，第二项的次数为6，而7.f 关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到定理1.10.1：数域F上两个非零的n元多项式1,nf xx和 1,ng xx的乘积的首项等于这两个多项式首项的乘积。证明：设1,nf xx的首项为1212,0npppnax xxa 1,ng xx的首项为1212,0nqqqnbx xxb 为了证明它们的积112212,nnpqpqpqnabxxx为fg的首项，只要证明数组1122,nnpq pqpq先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。11,nnf xxg xx的有序数组有三类：中其他单项式所对应11
50、22,nnpq pqpq 1122,nnlq lqlq1122,nnlk lklk其中 1212,nnp ppl ll1212,.nnq qqk kk于是 1111,nnnnpqpqpkpk1111,nnnnpqpqlqlq1111,.nnnnpqpqlklk这证明112212nnpqpqpqnabxxx在乘积fg的首项。推论1.10.1：0,1,2,ifim则 12mf ff的首项等于每个if的首项的乘积。如果推论1.10.2：如果11,0,0,nnf xxg xx则 11,0.nnf xxg xx现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来，设1,nf xx是一个n元多项式，则称f是一个k次齐次
