1、第第 八八 章章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用第四节多元复合函数的求导法则前页后页返回机动返回前页后页返回机动一、多元复合函数求导法则1.求导法则点可导，点可导，都在都在若函数若函数定理：定理：)(),(ttvtu tvtu z 结构复习全导数处具有连续偏导数，处具有连续偏导数，在点在点且且),(),(vuvufz 点可导，点可导，在在则复合函数则复合函数 )(),(tttfz 且且 dtdvvzdtduuzdtdz 前页后页返回机动证：证：vut ,有有设对应设对应可微可微具有连续偏导数具有连续偏导数据题意据题意 ),(yxfzvuvvzuuzz21 6P.21）式：）式：（则
2、由教材则由教材000021 ,，时，时，其中当其中当vu，则则 tvtutvvztuuztz 21前页后页返回机动，则则 tvtutvvztuuztz 21 ，结论成立。，结论成立。即即dtdvvzdtduuzdtdz#),0t )(),(10002 vutvtu，时时当当均均连连续续，均可导均可导且且)(),(tvtutzt 0lim tvtutvvztuuzt210limdtdvvzdtduuz 前页后页返回机动推广：推广：)(),(),(),(twwtvvtuuwvufz 设设 可导，可导，则则满足定理条件满足定理条件 )(),(),(,twtvtufz dtdwwzdtdvvzdtdu
3、uzdtdz 且且前页后页返回机动.cos sin dtdztveutuvzt求求全全导导数数，设设例例 解：解：dtdttzdtdvvzdtduuzdt dz 1 ttuevtcossinttetettcossincos 前页后页返回机动2.其它公式 ),(),(),()(yxvvyxuuvufz，1”单路全导，叉路偏导。；“分段用乘，分叉用加记忆口诀：结结构构图图uvxxyyz yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz 则则前页后页返回机动 ),(),(),(),(z 2yxwwyxvvyxuuwvuf ywwzyvvzyuuzxwwzxvvzxuuzxzyz 则则前页后页返回机动 ),(
4、),(3yxuuyxufz ，设设z 结构 yyxxu有有何何不不同同？与与想想一一想想：xfxz yfyuufyzxfxuufxz 则则前页后页返回机动.,sin),(1 yuxuyxzezyxfuzyx ，求求，设设例例2222.z sincos,),(2 222221 tzrrzyzxtrytrxyxfz证证明明：设设例例前页后页返回机动.z sincos,),(2 222221 tzrrzyzxtrytrxyxfz证证明明：设设例例证证：tyyztxxztz tryxz ryyzrxxzrz tyztxzsincos tryztrxzcossin tyztxzrcossin前页后页返回
5、机动#得证得证2221 tzrrz tz rz tyztxzsincos tyztxzrcossin2 tyztxzsincos22z yzx222 tyztxzrrcossin前页后页返回机动.)()(3 xyzyzyxzxuFxyuuxFxyz 证证明明可可导导，其其中中，设设例例证：证：yuufyfyz xuufxfxz 2xyuFxuFy)()()()(uFxyuFy xuFxx1 )(xuFx1 )()(uFx 前页后页返回机动#得证得证yzyxzx yz xz )()(uFxyuFy )(uFx )()()(uFyxyuFyuxFxy xyuxFxy )(.xyz 前页后页返回机动
6、3.多元复合函数求高阶偏导数多元复合函数求高阶偏导数.),(1 2zxwxwfxyzzyxfw ，求求具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，其中其中，设设例例.)(2 2yxzxzfyxfz 及及求求具有二阶导数，具有二阶导数，设设例例2222有有何何不不同同？数数”求求偏偏导导问问题题对对上上两两例例中中的的“抽抽象象函函想想一一想想：前页后页返回机动二、一阶全微分的形式不变性二、一阶全微分的形式不变性微分的形式不变性一一元元函函数数微微分分复复习习 (u)duf dy (u)duf f(u)d f(u)u x x u x u f(u)y 即即则则亦可导。亦可导。处处且在对应点且在对应点点
7、可导，点可导，在在，若，若，设设法则：法则：前页后页返回机动点点具具有有连连续续的的偏偏导导数数，均均在在若若，设设定定理理：),(),(),(),(yxyxvvyxuuvufz 法法则则）（多多元元复复合合函函数数全全微微分分处处亦亦有有连连续续偏偏导导数数，在在对对应应点点),(),(vuvufz 点点可可微微，在在则则),(),(),(yxyxvyxufz .uzdz dvvzdu 且且前页后页返回机动.ln dzxyvyxuuvz，求求，设设例例 2122udvduuvuvddzln)ln(性性利用全微分的形式不变利用全微分的形式不变解：解：)(ln)(xyudyxduv2122 )(
8、ln)(xdyydxuydyxdxuv 222前页后页返回机动dxyxyxyxy 222221212)ln()(ln)(xdyydxuydyxdxuv 222dyyxxyyxx 222221212)ln(前页后页返回机动三、内容小结三、内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”2.全微分形式不变性,),(vufz 对不论 u,v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d),(),(yxuuyxufz ，如如z 结构 yyxxu yfyuufyzxfxuufxz 则则返回前页后页返回机动 xufdxdududydxdyxfyxuufy )(),(则设：一元复合函数求导法则xuy 复合结构
