1、第五节第五节 幂级数幂级数一、幂级数的概念与一、幂级数的概念与Abel定理定理二、幂级数的收敛圆与收敛半径二、幂级数的收敛圆与收敛半径三、实幂级数及其收敛区间三、实幂级数及其收敛区间四、幂级数的运算性质四、幂级数的运算性质电气学院学习部资料库一、幂级数的概念与一、幂级数的概念与Abel定理定理nnnnnnczacc zaczac cc01001()()(),.函数项级数函数项级数称为，称为，幂幂称为幂级数称为幂级数级级系数系数数数的的 讨论幂级数需要解决以下问题：讨论幂级数需要解决以下问题：（1）寻求幂级数的收敛域）寻求幂级数的收敛域（2）寻求幂级数的和函数）寻求幂级数的和函数()f z （3
2、）给定一个函数，在什么条件下能展开为幂级数，（3）给定一个函数，在什么条件下能展开为幂级数，怎么展开怎么展开电气学院学习部资料库nnnnnnnnnnnnczaz zazazaczaczAbelazzazacza110100220()()()()1)若在收敛，则当若在收敛，则当时，级数 绝对收敛；若时，级数 绝对收敛；若在 处发散，则当时,在 处发散，则当时,定理（定理）定理（定理）级级 数 发散。数 发散。证明：证明：先证前半部分.先证前半部分.nnnnnnnzaczaczaza1001()()nnncza10()级级数数收收敛敛nnncza1lim()=0=0nncza1()有界有界电气学院
3、学习部资料库nn Mn czaM10()因此常数，使得对一切，有因此常数，使得对一切，有nnn za czaMza1()此时，有此时，有zaza11 由于，由于，nnzaMza01 故级数收敛故级数收敛nnncza0()由比较判别法知，此时级数也收敛。由比较判别法知，此时级数也收敛。nnncza0()即绝对收敛。即绝对收敛。电气学院学习部资料库再证后半部分，采用反证法.再证后半部分，采用反证法.nnnzzazacza20,()假设存在某点，满足使收敛。假设存在某点，满足使收敛。nnncza0()则按照定理的前半部分，绝对收敛。则按照定理的前半部分，绝对收敛。与已知条件矛盾，故假设不成立。与已知
4、条件矛盾，故假设不成立。证毕证毕电气学院学习部资料库RzaR zaR 一定存在正数，使得当时，一定存在正数，使得当时，幂级数收敛；幂级数收敛；当时当时 ，幂级数发散。，幂级数发散。电气学院学习部资料库nnnaxxx0(1)12 设设幂幂级级数数在在处处收收敛敛，则则级级数数在在处处().().(A)(A)条条件件收收敛敛 (B)(B)绝绝对对收收敛敛(C)(C)发发散散 (D)(D)收收敛敛性性不不思思考考：能能判判断断。电气学院学习部资料库nnnc za00 注：注：最简单的幂级数形式为，即取。最简单的幂级数形式为，即取。nnnnnnczazac z 00()对于一般幂级数，只要令，就对于一
5、般幂级数，只要令，就可以化归为的形式。可以化归为的形式。nnnnnn c zcza00()往往只研究的性质，再由上述关系就可自然往往只研究的性质，再由上述关系就可自然推广到一般幂级数中去。推广到一般幂级数中去。电气学院学习部资料库1.z（）对于复平面上的一切复数，都收敛（）对于复平面上的一切复数，都收敛二二、幂级数的收敛圆与收敛半径幂级数的收敛圆与收敛半径1.1.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径0()nnncza 幂级数的收敛域有三种可能：幂级数的收敛域有三种可能：2.zaz（）除了外，对一切复数，都发散（）除了外，对一切复数，都发散30R.RzaRza （）存在，当级数收敛；（）存在，当级数
6、收敛；当时，级数发散。当时，级数发散。时，时，电气学院学习部资料库:nRRCzRzaza 对对于于（3 3）,称称为为级级数数的的，称称为为收收，称称为为敛敛圆圆收收敛敛半半径径收收敛敛圆圆周周。R 对对于于（1 1）,0R 对对于于（2 2）,电气学院学习部资料库0 2 ()nnncza 幂级数在其收敛圆中内闭一幂级数在其收敛圆中内闭一定理定理致收敛。致收敛。电气学院学习部资料库Abel在在定定理理的的证证明明过过程程中中，已已知知10rrzazar 现现取取满满足足，则则当当时时，11zarzaza 101()0()nnnnnczaz Mn czaM 若级数在 收敛，则常数，使得若级数在
7、收敛，则常数，使得对一切，有。对一切，有。nnnnnnnzaczaczaza1001()()1()()nnnr czaMza 故故电气学院学习部资料库001()()nnnnnr czaMza 相应地，相应地，01()nnrMza 等比级数收敛等比级数收敛Weierstrass 判别法判别法0()nnn czazar 在闭圆内一致收敛在闭圆内一致收敛0 2 ()nnncza 幂级数在其收敛圆中内闭一幂级数在其收敛圆中内闭一定理定理致收敛。致收敛。电气学院学习部资料库01()lim,13(0)0nnnnnnczaccRRR 定理 比值定理 比值 对于幂级数，若对于幂级数，若 则收敛半径为。当时，认
8、定；，则收敛半径为。当时，认定；，认定认定法法当时当时。2.2.收敛半径（收敛圆）的计算收敛半径（收敛圆）的计算证明：证明：111()limlim()nnnnnnnnczaczazaczac 由正项级数的比值判别法，由正项级数的比值判别法，zR （1）若=0，则对一切，级数绝对收敛.即（1）若=0，则对一切，级数绝对收敛.即电气学院学习部资料库za （2）若，则对一切，级数发散。（2）若，则对一切，级数发散。10-1z az a （3）若，则当时，级数收敛；（3）若，则当时，级数收敛；1-1z az a 当时，级数发散。当时，级数发散。1R 故级数的收敛半径为。故级数的收敛半径为。证毕证毕0(
9、)lim,()1004nnnnnnczacRRR 对于幂级数，若对于幂级数，若 则收敛半径为。当时，认定；当时，则收敛半径为。当时，认定；当时，定理定理认定认定根值法根值法。电气学院学习部资料库213000001(1)(-1)(-1)!1(4)cos()(1)(1)nnnnnnnnnnnnnzzn znnin zzn 例 求下列幂级数的收敛半径例 求下列幂级数的收敛半径 (1)(2)(3)(1)(2)(3)(5)(5)解：解：(1)(1)3(1)nncn ，1limnnncc 11.R 故故(2)(2)1!ncn，1limnnncc .R 故故(3)(3)(1)!nncn ，1limnnncc
10、 0.R 故故3lim()1nnn 1,!1limlim(1)!1nnnnn0,(1)!limlim(1)!nnnnn,电气学院学习部资料库(4)(4)cos(),2nnneecin (1)(1)1limlimnnnnnnnnceecee 1.Re 故故(5)(5)21(1),nncnlimnnnc 1.Re 故故2(1)2(1)lim1nnneee ,e 21lim(1)nnnn1lim(1)nnn,e 电气学院学习部资料库00()().nnnnnnnczacazcxa 对幂级数，当、均为实数时，就得到对幂级数，当、均为实数时，就得到实幂级数实幂级数三、实幂级数及其收敛区间三、实幂级数及其收
11、敛区间0Abel()-nnncxaRx aRx aR 由定理可知，对于实幂级数，也存在收敛由定理可知，对于实幂级数，也存在收敛半径，当时，收敛；当时，发散。半径，当时，收敛；当时，发散。电气学院学习部资料库nnncxax0()使使实实幂幂级级数数收收敛敛的的实实数数的的全全体体构构成成的的集集合合称称为为该该级级数数的的收收敛敛域域。aR 求求实实幂幂级级数数的的收收敛敛域域时时，除除了了确确定定收收敛敛半半径径注注外外意意：，还还要要确确定定区区间间端端点点处处的的敛敛散散情情况况。电气学院学习部资料库npnnnnxnxn111(1)-1 例例2 2（1 1）求求实实幂幂级级数数 的的收收敛
12、敛域域。（2 2）求求实实幂幂级级数数（）的的收收敛敛域域。解：解：（1）（1）1,npcn 11()(1)pnpncnncn 11.npnxRn 故级数 的收敛半径 故级数 的收敛半径.下面考虑区间端点的敛散情况下面考虑区间端点的敛散情况111.pnxn 当时，级数为当时，级数为 11pp时，收敛；时，发散时，收敛；时，发散电气学院学习部资料库1(1)1.npnxn 当时，级数为当时，级数为 0pLeibnitz 时，由判别法知，级数收敛；时，由判别法知，级数收敛；(1)00nppn 时，一般项，故级数发散。时，一般项，故级数发散。总之，总之，npnnpnnpnxpnxpnxpn1110(-
13、1,1);01-1,1);1-1,1.当当时时，级级数数 的的收收敛敛域域为为当当时时，级级数数 的的收收敛敛域域为为当当时时，级级数数 的的收收敛敛域域为为电气学院学习部资料库（2）（2）1(1),nncn111()nncnn 11(1)(1)1.nnnxRn 故级数 的收敛半径 故级数 的收敛半径 02.xx下面考虑区间端点和的敛散情况下面考虑区间端点和的敛散情况 0202xxxx 当或时，级数的一般项都不趋于0，当或时，级数的一般项都不趋于0，故级数在或处发散。故级数在或处发散。nnnxn11(1)-1(0,2)因因此此，级级数数（）的的收收敛敛域域为为。电气学院学习部资料库2121(2
14、)!(!)nnnxn 例例3 3 求求幂幂级级数数 的的收收敛敛半半径径。解：解：x对对于于每每个个给给定定的的，采用比值判别法，采用比值判别法，nnnnxxnn 2(1)121222(1)!(2)!(1)!(!)22(22)(21)(1)nnxn 24x ()n 因此，因此，21412xx当，即 时，原级数收敛；当，即 时，原级数收敛；xx21412当当，即即 时时，原原级级数数发发散散。1 2.R 收敛半径收敛半径电气学院学习部资料库nnxn11(31)例例4 4 求求幂幂级级数数的的收收敛敛域域。解：解：31x 令，令，1111(31)nnnnxnn 则则111()nncnnnc 111
15、nn 当时，级数成为，发散；当时，级数成为，发散；1(1)1nnn 当时，级数成为，收敛。当时，级数成为，收敛。1R-11,故故收收敛敛域域为为-1311,x即即30,2x即即3-,0).2故故原原级级数数的的收收敛敛域域为为电气学院学习部资料库四、幂级数的运算性质四、幂级数的运算性质1002()().nnnnnnazaRb zaR 设幂级数的收敛半径为，幂级数设幂级数的收敛半径为，幂级数的收敛半径为的收敛半径为12min.RRR 记，记，zaR在内有下列代数运算：在内有下列代数运算：（1）加减法（1）加减法000()()()()nnnnnnnnnnazab zaabza（2）乘法（2）乘法0
16、000()()()nnnnnnkn knnnkazab zaa bza 电气学院学习部资料库0000()0(),()(,)()(,)()()(3)()(,)()()5nnnnnnnnnzznnaannnczaRS zczaB a RczaB a RSdcadS zB a RSzcza 设的收敛半径为，和函数为则设的收敛半径为，和函数为则(1)(1)在收敛圆内闭一致收敛在收敛圆内闭一致收敛（2）在收敛圆内可以逐项积分，且积分（2）在收敛圆内可以逐项积分，且积分与路径无关与路径无关 在收敛圆内解析，且可以逐项求导在收敛圆内解析，且可以逐项求导 定理 定理 100()nnnnncza 电气学院学习部
17、资料库001121nnnnznn 例5 求级数 的收敛半径及和函数，并求级数例5 求级数 的收敛半径及和函数，并求级数 的和。的和。（）（）解解：121()1nncnncn 1R0()1nnzS zn 1011nnzzn 1()S zz(0)z 110()1nnzS zn 其中其中 电气学院学习部资料库1z 已知，在内，有已知，在内，有 011nnzz 两边逐项求积，得两边逐项求积，得00011zznnz dzdzz 101nnzn ln(1)z 1()ln(1)S zz 即 即 10()ln(1)zS zzz 故当时，故当时，010(0)111|nznzzSn 当时，当时，电气学院学习部资料
18、库1ln(1)0()10zzS xzz 所以所以 0121nnn （）（）1/201|nznzn （）（）1()2S 2ln2 电气学院学习部资料库nnnxn0(5)(1)3 例例6 6 求求实实幂幂级级数数 的的收收敛敛域域及及和和函函数数。解解：-53x 令=，令=，01nnn 则 原级数=.则 原级数=.5由例 可知，由例 可知，01ln(1)11,0110nnn .1 当时，当时，001,11nnnnn 是调和级数，是调和级数，发散；发散；1 当时，当时，00(1),11nnnnnn 是收敛的交错级数。是收敛的交错级数。电气学院学习部资料库nnn0 1,1),1 故故的的收收敛敛域域为
19、为且按照连续性，有且按照连续性，有01ln(1)11,0110nnn .nnnxn052,8)(1)3 （）对对原原级级数数而而言言，收收敛敛域域为为，且且035ln(1)28,5553(1)315nnnxxxn （）（）.电气学院学习部资料库210arctan(1)(1,1).21nnnxxxn 例7 证明，例7 证明，证证明明：2201(1),(1)1nnnxxx 逐项求积，得逐项求积，得220001(1)1xxnnndxx dxx arctan x 210(1)21nnnxn (1,1)x 210 1,1arctan(1)21nnnxxxn 注注实际上可以证明，当实际上可以证明，当：时，
20、依然成立时，依然成立 电气学院学习部资料库010(1)1(1)2nnnnnnzni 例8（1）求幂级数 的收敛半径及和函数。例8（1）求幂级数 的收敛半径及和函数。（2）证明复数项级数收敛并求其和。（2）证明复数项级数收敛并求其和。解解：1R111()nncnncn （1）（1）下面求和函数.下面求和函数.101111nnzzzz 逐项求导，得逐项求导，得1201()()1(1)nnzzzz 0(1)nnnz 电气学院学习部资料库（2）（2）10011(1)(1)(1)()22nnnnnniiin 01(1)nnznz 由（1）知，当时，收敛。由（1）知，当时，收敛。12122i，01(1)()2nnin 级数收敛。级数收敛。101(1)2nnnni 故复数项级数收敛。故复数项级数收敛。1120211(1)(1)222(1)|ninznniiiz 复数项级数的和：复数项级数的和：电气学院学习部资料库
