1、电气学院学习部资料库 1）可去奇点可去奇点一、孤立奇点及其分类一、孤立奇点及其分类电气学院学习部资料库 2）极点极点电气学院学习部资料库 3 3）本性奇点）本性奇点电气学院学习部资料库 00000002()(1)()lim()(2)()lim()(3)()lim()zzzzzzzf zzf zf zzf zf zzf zf z 方方法法：设设 是是的的孤孤立立奇奇点点，那那末末是是的的可可去去奇奇点点存存在在且且有有限限.是是的的极极点点 是是的的本本性性奇奇点点不不存存在在（无无论论是是 有有限限或或无无限限都都不不存存在在）判别方法：判别方法：方法方法1 1：根据定义：根据定义电气学院学习
2、部资料库 方法方法3 （1 1）f(z)g(z)以以0z为为mn 级零点；级零点；（2 2）f(z)g(z)以以0z为零点，为零点，当当mn 时，时，f(z)g(z)在在0z的零点的级为的零点的级为min(m,n)；当当mn 时，时，f(z)g(z)在在0z的零点的级的零点的级m(n)；当当mn 时，时，0z为为f(z)g(z)的可去奇点；的可去奇点；补充，补充，当当mn 时，时，0z为为f(z)g(z)的的nm 级级极极点点。补充，补充，电气学院学习部资料库 二、函数在无穷远点的性态二、函数在无穷远点的性态定义：定义：如果如果f(z)在无穷远点在无穷远点z 的去心邻域的去心邻域Rz 内内 解
3、析，则称点解析，则称点z 是是f(z)的孤立奇点。的孤立奇点。设设f(z)在在Rz 的的 LaurentLaurent 展开式为展开式为 101nnmnnmnccf(z)c zcc zc zzz 作变换作变换1,z 将将z 变成变成0,将无穷远点的去心邻域将无穷远点的去心邻域Rz 变成原点的去心变成原点的去心邻域邻域 10R ，又又1f(z)f()（记作记作()），电气学院学习部资料库 由此可得：由此可得：电气学院学习部资料库 因为因为f(z)(),要确定要确定z 是是f(z)的可去奇点，的可去奇点，极点极点 或本性奇点，只要分别看或本性奇点，只要分别看zlim f(z)是有限值，无穷是有限值
4、，无穷大大或或 不存在。不存在。电气学院学习部资料库 1、定理1：2、定理、定理3 （1 1）0z是是f(z)的的m级零点；级零点；（2 2）（）（2 2）在）在0z的某邻域的某邻域 10100mmmmmf(z)c(zz)c(zz)(c)；（2 2）（3 3）0000 110(k)(m)f(z)(k,m),f(z)。电气学院学习部资料库 练习练习1：求下列函数的孤立奇点求下列函数的孤立奇点(包括无穷远点包括无穷远点)并指出其类型。并指出其类型。521/1(1)(),(2)(),cos sin11(3)(),(4)().sin(1)zzzzzf zf zeezzf zf zzzze 电气学院学习
5、部资料库 2 留数与留数定理留数与留数定理一、留数的概念与计算一、留数的概念与计算1、留数的定义：、留数的定义：电气学院学习部资料库 12f(z)dzi 1c.特别地，若特别地，若a是是f(z)的可去奇点，则的可去奇点，则 0Res f(z),a.Res f(z),a 2、极点留数的计算极点留数的计算电气学院学习部资料库 定理1：电气学院学习部资料库 3 3、函数在无穷远点的留数、函数在无穷远点的留数定义：定义：计算：计算：102nnnCcz dzi 电气学院学习部资料库 设函数设函数f(z)在区域在区域D内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点 12nz,z,z外解析，在外解析，在D的闭包的闭包
6、D除上述奇点外连续，除上述奇点外连续，D 的边界的边界D 取关于取关于D的正方向（即沿的正方向（即沿D 走走时时D落在落在 D 左手边），则左手边），则 二、留数定理二、留数定理定理定理2：12nkkDf(z)dziRes f(z),z.若函数若函数f(z)在扩充复平面除有限个孤立奇点外在扩充复平面除有限个孤立奇点外解析，则解析，则f(z)在扩充复平面内的所有奇点（包括在扩充复平面内的所有奇点（包括 ）留数总和必为零。留数总和必为零。定理定理3：电气学院学习部资料库 三、外部区域的留数定理三、外部区域的留数定理定理定理4：设设 是是复复平面平面的的简单简单可可求求长长封闭封闭曲线曲线，取取逆逆
7、时时针针方向方向为为正正方向方向，是是 取取反反向向。设设以以 为为边界边界的的外外部部区域区域为为D，函数函数f(z)在在 外部外部D 除有限个孤立奇除有限个孤立奇点点12mb,b,b及及 外解析，在外解析，在D 除上述除上述点外连续，点外连续，则则 12mjjf(z)dziRes f(z),b Res f(z),或或 12mjjf(z)dziRes f(z),b Res f(z),.电气学院学习部资料库 练习练习2：计算下列留数计算下列留数。22272232104()()11)Re,0,2)Re,2,(2)3)Re,4)Re,1(1)2115)Re,0 6)Re,.(1)()1)(3zzz
8、ezssizzezsszzzssiz ezizz 电气学院学习部资料库 练习练习3：2132845cos(1)2)sin,(1)41-)Re3)4),(1)(1)(1)5).(1)(4)CCCCCzzzzdzdzz zzzzzezdzdzz zzzzdzzz ）+（|=2Cz设设 为为正正向向，计计算算下下列列积积分分。电气学院学习部资料库 二、计算形如二、计算形如 的积分的积分20(cos,sin)d 令令ize ，则，则 idzie dizd,即即 dzd,iz 2211112221111222iiiizcos(ee)(z);zzzsin(ee)(z);iiziz 02 映为映为 1z 。
9、故。故 2220111122zzz(cos,sin)d(,)dz.ziziz 3 留数在计算积分上的应用留数在计算积分上的应用一、计算围道积分一、计算围道积分电气学院学习部资料库 三、计算形如三、计算形如 的积分的积分()f x dx 电气学院学习部资料库 四、计算形如四、计算形如 的积分的积分 ()(0)i xf x edx 02ki xi znnkImzmmP(x)P(z)edxiRese,z.Q(x)Q(z)电气学院学习部资料库 因为因为 i xnnmmP(x)P(x)cos xdxReedxQ(x)Q(x)还可计算积分还可计算积分 nmP(x)cosxdxQ(x)和和nmP(x)sin
10、xdx.Q(x)i xnnmmP(x)P(x)sin xdxImedx.Q(x)Q(x)电气学院学习部资料库 练习练习4：计算下列实积分计算下列实积分 2000222 2221)(|1)12 cos2)(0)()cos3),2sin4).56daaaxdx axaxdxxxxdxxx ，电气学院学习部资料库 4 幅角原理和幅角原理和RoucheRouche定理定理一、对数留数一、对数留数 定义定义:形如形如12Lf(z)dzif(z)的积分称为对数留数的积分称为对数留数.定理定理1:1:设设f(z)在区域D内除在点内除在点ka处有处有kn级零点级零点1 2(k,p),在在点点kb处处有有jm级
11、级极极点点1 2(j,q)外外解析解析且且不不为为零零,在在D的的闭闭包包D除除上述上述诸诸点点外外连续连续且且不不为为零零.其其边界边界LD 取取关于关于D的的正正向向,则则 12Lf(z)dzN(f,L)P(f,L)if(z)电气学院学习部资料库 定理定理2(2(幅角原理幅角原理):):条件条件同同定理定理 1,1,则则 12Larg f(z)N(f,L)P(f,L).二、幅角原理二、幅角原理电气学院学习部资料库 三、三、Rouche定理定理定理定理(Rouche定理定理):设设D是一个区域是一个区域,CD,函数函数f(z)和和(z)满足满足:(1)(1)f(z)和和(z)在在D内解析且在内解析且在D连续连续;(2(2)在在C上上f(z)(z);则则f(z)与与f(z)(z)在在D内零点个数相等内零点个数相等,即即 N(f,C)N(f,C).电气学院学习部资料库 练习练习5：计算下列实积分计算下列实积分 51.(1)2.7100 1 12 zee zzzzz 证证明明：方方程程 在在单单位位圆圆只只有有一一个个实实根根。确确定定方方程程 在在和和内内的的零零 点点的的个个数数电气学院学习部资料库
