1、第五节第五节 幂级数幂级数一、幂级数的概念与一、幂级数的概念与Abel定理定理二二、幂级数的收敛圆与收敛半径幂级数的收敛圆与收敛半径三、实幂级数及其收敛区间三、实幂级数及其收敛区间四、幂级数的运算性质四、幂级数的运算性质电气学院学习部资料库一、幂级数的概念与一、幂级数的概念与Abel定理定理nnnnnnczacc zaczac cc01001()()(),.函数项级数函数项级数称为，称为，幂幂称为幂级数称为幂级数级级系数系数数数的的 讨论幂级数需要解决以下问题：讨论幂级数需要解决以下问题：（1）寻求幂级数的收敛域）寻求幂级数的收敛域（2）寻求幂级数的和函数）寻求幂级数的和函数()f z （3）
2、给定一个函数，在什么条件下能展开为幂级数，（3）给定一个函数，在什么条件下能展开为幂级数，怎么展开怎么展开电气学院学习部资料库110100220()()()()()1nnnnnnnnnnnnAbelczaz zazazaczaczazzazacza 若若在在收收敛敛，则则当当时时，级级 定定理理（定定理理）数数 绝绝对对收收敛敛；若若在在 处处发发散散，则则 当当时时,级级数数 发发散散。证明：证明：先证前半部分.先证前半部分.nnnnnnnzaczaczaza1001()()nnncza10()级数收敛级数收敛nnncza1lim()=0=0nncza1()有界有界电气学院学习部资料库nn
3、Mn czaM10()因此常数，使得对一切，有因此常数，使得对一切，有nnn za czaMza1()此时，有此时，有zaza11 由于，由于，nnzaMza01 故级数收敛故级数收敛nnncza0()由比较判别法知，此时级数也收敛。由比较判别法知，此时级数也收敛。10()nnnzaza cza 即即当当时时，幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛。电气学院学习部资料库再证后半部分，采用反证法.再证后半部分，采用反证法.nnnzzazacza20,()假设存在某点，满足使收敛。假设存在某点，满足使收敛。20()nnn cza 则则按按照照定定理理的的前前半半部部分分，幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛。与与已
4、已知知条条件件矛矛盾盾，故故假假设设不不成成立立。证毕证毕电气学院学习部资料库RzaR zaR 一一定定存存在在正正数数，使使得得当当时时，由由此此得得到到：幂幂级级数数收收敛敛；当当时时，幂幂级级 数数发发散散。R此此时时，称称为为收收敛敛半半径径.电气学院学习部资料库nnnc za00 注：注：最简单的幂级数形式为，即取。最简单的幂级数形式为，即取。nnnnnnczazac z 00()对于一般幂级数，只要令，就对于一般幂级数，只要令，就可以化归为的形式。可以化归为的形式。nnnnnn c zcza00()往往只研究的性质，再由上述关系就可自然往往只研究的性质，再由上述关系就可自然推广到一
5、般幂级数中去。推广到一般幂级数中去。电气学院学习部资料库1.z（）对于复平面上的一切复数，都收敛（）对于复平面上的一切复数，都收敛二二、幂级数的收敛圆与收敛半径幂级数的收敛圆与收敛半径1.1.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径0()nnncza 幂级数的收敛域有三种可能：幂级数的收敛域有三种可能：2.zaz（）除了外，对一切复数，都发散（）除了外，对一切复数，都发散30R.RzaRza （）存在，当级数收敛；（）存在，当级数收敛；当时，级数发散。当时，级数发散。时，时，(3):nRRCzRzaza 对对于于，称称为为幂幂级级数数的的，称称为为收收敛敛圆圆收收敛敛半半径径，称称为为。收收敛敛圆圆周
6、周 (1)R 对对于于，(2)0R 对对于于，电气学院学习部资料库Abel在在定定理理的的证证明明过过程程中中，已已知知10rrzazar 现现取取满满足足，则则当当时时，11zarzaza 101()0()nnnnnczaz Mn czaM 若若级级数数在在 收收敛敛，则则常常数数，使使得得对对一一切切，有有。nnnnnnnzaczaczaza1001()()1()()nnnr czaMza 故故电气学院学习部资料库01()nnr M za 等等比比级级数数收收敛敛Weierstrass 判别法判别法0()nnn czazar 在在闭闭圆圆内内一一致致收收敛敛。0 2 ()nnncza 幂幂
7、级级数数在在其其收收敛敛圆圆中中内内闭闭一一定定理理致致收收敛敛。电气学院学习部资料库01()li3()m,100nnnnnnczaccRRR 对对于于幂幂级级数数，若若 则则收收敛敛半半径径 定定为为。当当时时，认认定定；当当时时，理理认认定定比比值值法法。2.2.收敛半径（收敛圆）的计算收敛半径（收敛圆）的计算证明：证明：111()limlim()nnnnnnnnczaczazaczac 由正项级数的比值判别法，由正项级数的比值判别法，zR （1）若=0，则对一切，级数绝对收敛.即（1）若=0，则对一切，级数绝对收敛.即电气学院学习部资料库0zaR （2 2）若若，则则对对一一切切，级级数
8、数发发散散，即即。10-1z az a （3 3）若若，则则当当时时，级级数数收收敛敛；1-1z az a 当时，级数发散。当时，级数发散。1R 故级数的收敛半径为。故级数的收敛半径为。证毕证毕0()lim,(0)104nnnnnnczacRRR 对对于于幂幂级级数数，若若 则则收收敛敛半半径径为为。当当时时 ，认认定定；当当时时，认认定定 定定理理根根值值法法。电气学院学习部资料库213000001(1)(-1)(-1)!1(4)cos()(1)(1)nnnnnnnnnnnnnzzn znnin zzn 例例 求求下下列列幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径 (1)(1)，(2)(2)，(3)(
9、3)，(5)(5)。解：解：(1)(1)3(1)nncn ，1limnnncc 11.R 故故(2)(2)1!ncn，1limnnncc .R 故故(3)(3)(1)!nncn ，1limnnncc 0.R 故故3lim()1nnn 1,!1limlim(1)!1nnnnn0,(1)!limlim(1)!nnnnn,电气学院学习部资料库(4)(4)cos(),2nnneecin (1)(1)1limlimnnnnnnnnceecee 1.Re 故故(5)(5)211,nncnlimnnnc 1.Re 故故2(1)2(1)lim1nnneee -,e 21lim1nnnn()()1lim 1nn
10、n,e 电气学院学习部资料库00()().nnnnnnnczacazcxa 对对幂幂级级数数，当当、均均为为实实数数时时，就就得得到到实实幂幂级级数数三、实幂级数及其收敛区间三、实幂级数及其收敛区间0Abel()-nnncxaRx aRx aR 由由定定理理可可知知，对对于于实实幂幂级级数数，也也存存在在收收敛敛半半径径，当当时时，收收敛敛；当当时时，发发散散。电气学院学习部资料库0()nnncxax 使使实实幂幂级级数数收收敛敛的的实实数数的的全全体体构构成成的的集集合合称称为为该该级级数数的的收收敛敛域域。aR 求求实实幂幂级级数数的的收收敛敛域域时时，除除了了确确定定收收敛敛半半径径外外
11、，还还要要确确定定区区间间端端点点处处的的注注意意：敛敛散散情情况况。电气学院学习部资料库111(1)1npnnnnxnxn 例例2 2（1 1）求求实实幂幂级级数数 的的收收敛敛域域。（2 2）求求实实幂幂级级数数（）的的收收敛敛域域。解：解：（1）（1）1,npcn 1limlim1,(1)pnpnnncncn 11.npnxRn 故级数 的收敛半径 故级数 的收敛半径.下面考虑区间端点的敛散情况下面考虑区间端点的敛散情况111.pnxn 当时，级数为当时，级数为 11pp时，收敛；时，发散时，收敛；时，发散电气学院学习部资料库1(1)1.npnxn 当时，级数为当时，级数为 0pLeib
12、nitz 时，由判别法知，级数收敛；时，由判别法知，级数收敛；(1)0lim0npnpn 时时，由由于于，故故级级数数发发散散。总之，总之，10(-1,1);npnxpn 当当时时，级级数数 的的收收敛敛域域为为11-1,1.npnxpn 当当时时，级级数数 的的收收敛敛域域为为101-1,1);npnxpn 当当时时，级级数数 的的收收敛敛域域为为电气学院学习部资料库（2）（2）1(1),nncn1limlim(1)1,nnnncn11(1)1.nnntRn 故故级级数数 的的收收敛敛半半径径 1.t 下下面面考考虑虑区区间间端端点点的的敛敛散散情情况况1111(1)1(1)1nnnnnnt
13、tnttn 当当时时，幂幂级级数数的的一一般般项项都都不不趋趋于于0 0，故故幂幂级级数数在在处处发发散散。11(1)-1(0,2)nnnxn 因因此此，级级数数（）的的收收敛敛域域为为。111(1)nnntxtn 令令，则则幂幂级级数数化化为为|1(0,2),tx又又电气学院学习部资料库2121(2)!(!)nnnxn 例例3 3 求求幂幂级级数数 的的收收敛敛半半径径。解解法法1 1：2122222111(2)!(2)!(2)!(!)(!)(!)nnnnnnnnnxxxxnnn ，而而级级数数 为为正正项项级级数数。采用比值判别法，采用比值判别法，2(1)2222(1)!(2)!lim(1
14、)!(!)nnnnnxxnn 22(22)(21)lim(1)nnnxn 24x 因此，因此，2411/2xx当当，即即 时时，原原级级数数收收敛敛；2411/2xx当当，即即 时时，原原级级数数发发散散。1 2.R 原原级级数数的的收收敛敛半半径径为为电气学院学习部资料库2122211(2)!(2)!(!)(!)nnnnnnxxxnn 根根据据，-解解法法2 2 222211(2)!(2)!(!)(!)nnnnnnxtxtnn 考考虑虑级级数数，令令，则则级级数数化化为为，222(1)!(2)!lim(1)!(!)nnnnn 2(22)(21)lim(1)nnnn 4 21(2)!1(!)4
15、ntnntRn 因因此此，幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径，1142tx因因为为，1.2R 所所以以原原级级数数的的收收敛敛半半径径电气学院学习部资料库11(31)nnxn 例例4 4 求求幂幂级级数数的的收收敛敛域域。解：解：31x 令，令，1111(31)nnnnxnn 则则 1limlim11nnnncncn 111nn 当时，级数成为，发散；当时，级数成为，发散；1(1)1nnn 当时，级数成为，收敛。当时，级数成为，收敛。111nnRn 的的收收敛敛半半径径。11-11,nnn 故故的的收收敛敛域域为为3-13110,2xx 3,0).2 故故原原级级数数的的收收敛敛域域为为电气学院
16、学习部资料库四、幂级数的运算性质四、幂级数的运算性质1002()().nnnnnnazaRb zaR 设设幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径为为，幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径为为12min.RRR 记，记，zaR在内有下列代数运算：在内有下列代数运算：（1）加减法（1）加减法000()()()()nnnnnnnnnnazab zaabza()Cauchy（2 2）乘乘法法乘乘法法0000()()()nnnnnnkn knnnkazab zaa bza 电气学院学习部资料库00()0(),()()()5,nnnnnnc zaRS z c zaB RS az 设设的的收收敛敛半半径径定定为为，和
17、和函函数数为为则则(1 1)在在收收敛敛圆圆内内闭闭一一致致收收敛敛于于理理 ，00()(,)()()nnnzznnaan c zaB a RSdca d （2 2）在在收收敛敛圆圆内内可可以以逐逐项项积积分分，且且积积分分与与路路径径无无关关 100(3)()(,)()()()nnnnnn S zB a RSzczancza 在在收收敛敛圆圆内内解解析析，且且可可以以逐逐项项求求导导 电气学院学习部资料库001121nnnnznn 例例5 5 求求级级数数 的的收收敛敛半半径径及及和和函函数数，并并求求级级数数 的的和和。（）解解：12limlim11nnnncncn 1R0()1nnzS
18、zn 001znnt dtz 0z 当当时时，001znnt dtz 0111zdzzt ln(1)zz 010(0)111|nznzzSn 当时，当时，电气学院学习部资料库1ln(1),0()1,0zzS zzz 即即 0121nnn （）（）1/201|nznzn （）（）1()2S 2ln2 101ln(1),11011,0nnxxxxxnx 且且特特别别地地，电气学院学习部资料库0(5)(1)3nnnxn 例例6 6 求求实实幂幂级级数数 的的收收敛敛域域及及和和函函数数。解解：-53x 令=，令=，01nnn 则则原原级级数数化化为为.5由例 可知，由例 可知，01ln(1)11,0
19、110nnn ，.，1 当时，当时，001,11nnnnn 是调和级数，是调和级数，发散；发散；1 当时，当时，00(1),11nnnnnn 是收敛的交错级数。是收敛的交错级数。电气学院学习部资料库0 1,1),1nnn 故故的的收收敛敛域域为为且按照连续性，有且按照连续性，有01ln(1)11,0110nnn .052,8)(1)3nnnxn （）因因此此，原原级级数数的的收收敛敛域域为为，且且 035ln(1),28,5553(1)31,5nnnxxxxxnx （）.-5-51128,0533xxxx-由由于于且且电气学院学习部资料库210arctan(1)(1,1).21nnnxxxn
20、例例7 7 证证明明：，证证明明：2201()(1),(1)1nnnfxxxx 逐逐项项积积分分，得得220001(1)1xxnnndxx dxx arctan x 210(1),21nnnxn (1,1)x 210 1,1arctan(1)21nnnxxxn 注注实际上可以证明，当实际上可以证明，当：时，依然成立时，依然成立 ()arctan,f xx 令令 则则电气学院学习部资料库2证证121limlim123nnnncncn 21200(1)(1)2121nnnnnnxxxnn 20,(1),21nnnttxn 令令级级数数化化为为1,tR1.R 所所以以原原级级数数的的收收敛敛半半径径
21、212000|1(1)(1)21nxnnnnnxxt dtn 当当时时，200()xntdt 201xdtt arctan x|1|1,tx电气学院学习部资料库010(1)(1)(1)2nnnnnnnznni 例例8 8（1 1）求求幂幂级级数数 的的收收敛敛半半径径及及和和函函数数。（2 2）证证明明复复数数项项级级数数收收敛敛并并求求其其和和。解解：1R1(2)(1)limlim1(1)nnnncnncnn （1）（1）下面求和函数.下面求和函数.逐逐项项求求导导，得得:()1zzz 0(1)nnnnz 10()nnz z 10()nnzz|1z 当当时时32(1)zz 电气学院学习部资料库（2）（2）100(1)1(1)(1)(1)()22nnnnnnniiinn 01(1)nnznnz 由由（1 1）知知，当当时时，收收敛敛。12122i，01(1)()2nninn 级级数数收收敛敛。10(1)(1)2nnnnni 故故复复数数项项级级数数收收敛敛。11302(1)2(1)(1)4(1)2(1)|ninznnnziiiz 复数项级数的和：复数项级数的和：电气学院学习部资料库20(1)nnnx 例例9 9 求求实实幂幂级级数数 的的收收敛敛域域及及和和函函数数。2220(-1,1)1(1)|1(1-)nnnxxx 答答案案：收收敛敛域域为为，和和函函数数电气学院学习部资料库
