1、第八节第八节 FourierFourier级数级数二、二、函数展开为函数展开为Fourier级数级数三、三、函数展开为正弦级数或余弦级数函数展开为正弦级数或余弦级数四、四、一般周期函数的一般周期函数的Fourier级数级数一、一、三角函数系在空间三角函数系在空间 的正交性的正交性2L,五、五、Fourier级数的复数形式级数的复数形式电气学院学习部资料库 KVKVK,K 设设 是是数数域域（实实数数域域或或复复数数域域），是是数数域域 上上的的一一个个线线性性向向量量空空间间，,，有有确确定定的的数数和和它它对对应应，满满足足 1)=1)=3)=+3)=+4)0 4)0，当当且且仅仅当当=0=
2、0时时，=0=0其其中中，,是是任任意意的的向向量量，是是 中中任任意意的的数数.称称是是向向量量 和和 的的内内积积。定定义义1 1若若 2)2)KK是是实实数数域域，称称；若若 是是复复数数域域，称称.定定义义了了内内积积的的空空间间称称为为实实内内积积复复内内积积内内积积空空间间。1、内积空间、内积空间一、一、三角函数系在空间三角函数系在空间 的正交性的正交性2L,电气学院学习部资料库1212(,),(,)nnnn zz z,zww w,wCCnn例例1,1,其其中中是是 个个复复数数有有序序组组全全体体构构成成的的 维维复复空空间间，1nz,wC容容易易检检验验满满足足上上述述条条件件
3、）复复内内积积空空间间4 4）,因因此此是是上上的的内内积积.11221njjnnjz,wz wz wz wz w 定定义义 ，njjz,wR.相应地，若限制为实相应地，若限制为实实内积空实内积空得到得到间间数，可数，可电气学院学习部资料库 0,V,.在在内内积积定定义义中中，若若，且且满满足足，则则称称与与（垂垂直直）,记记作作注注：正正交交 2222()()1()()1 L,f xdx f xf,gL,f,gf x g x dxf,gL,-例例2 2 设设表表示示满满足足的的函函数数的的全全体体,并并且且，定定义义 ，则则满满足足条条件件）4 4）,是是上上的的一一个个内内积积。电气学院学
4、习部资料库 000()2)()3)()VKV,.KV.设设 是是数数域域 上上的的内内积积空空间间，记记 称称是是向向量量的的长长度度（或或）,它它具具有有下下述述性性质质：1)1)当当0 0时时，当当且且仅仅当当时时，非非负负性性，这这里里，齐齐次次性性三三角角义义2 2范范数数不不等等式式定定1,若若称称 为为，这这时时称称为为向向量量在在注注：单单位位向向量量的的投投影影。电气学院学习部资料库 1212110(1 2)njjkn e,e,e Ve,e,e,j,k,ne,e,eV 设设是是内内积积空空间间 的的一一组组基基底底，长长度度都都为为，且且两两两两正正交交，即即 则则说说 是是
5、的的一一组组标标准准正正交交基基。1 122nnjjx ex ex e,xe 对于V中的任意向量，可以表示为对于V中的任意向量，可以表示为 其中，称为 关于 的其中，称为 关于 的坐标坐标。()kk,e x 考考虑虑如如何何此此，成成立立着着证证明明？时时电气学院学习部资料库122,cosx,sinx,cos x,sin x,cosnx,sinnx,三三角角函函数数系系:存存在在如如下下关关系系，2 .三角函数系的正交性三角函数系的正交性2112dx,211cosnx dx,211sinnx dx,1100cosnx dxsinnx dx，10()sinmx cosnx dxmn，1100 (
6、)sinmx sinnxdxcosmx cosnxdxmn，电气学院学习部资料库 222111211101000()0(),cosnx,cosnxcosnx,sinnx,sinnxsinnx,cosnx,sinnx,sinmx,cosnx,sinmx,sinnx,mncosmx,cosnx,mn即即写写成成内内积积形形式式如如下下：，电气学院学习部资料库2,L 按照例2中上的内积和范数定义，按照例2中上的内积和范数定义，2112(此时由于，故不是标准正交的)此时由于，故不是标准正交的)dx 为了构造标准正交系，为了构造标准正交系，21112（）（）dx 122 ,cos x,sin x,cos
7、 x,sin x,cosnx,sinnx,正正交交函函数数系系112用代替函数系中的 ，则用代替函数系中的 ，则21,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,2,此此时时，构构标标准准正正交交函函数数成成了了上上的的一一个个。系系xxxxnxnxL 电气学院学习部资料库3 .三角级数三角级数0111 ,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,2()cossincossin2阶三角多项式阶三角多项式 三角函数系 三角函数系 的线性组合的线性组合 称为。称为。nnnxxxxnxnxaP xaxbxanxbnxn 011(cossin)2kkkaakxbkx 级级数数 称称为
8、为三三角角级级数数。电气学院学习部资料库 sin()cossinsin()kkkAxkakxbkxAkx 由由物物理理学学知知识识，一一般般的的波波往往往往可可以以表表示示成成一一系系列列形形如如 的的谐谐波波的的迭迭加加。而而三三角角级级数数中中的的第第 项项 可可以以表表示示成成，也也就就是是,三三角角级级数数反反映映了了一一系系列列谐谐波波的的迭迭加加。背景：背景：问题：问题：(),一个波形函数，是否能展开成三角级数？若能，一个波形函数，是否能展开成三角级数？若能，系数如何确定？展开式是否唯一？系数如何确定？展开式是否唯一？kkf xab电气学院学习部资料库二、函数展开为二、函数展开为F
9、ourier级数级数 2011(),1 ()cossincossin2nnf xLf xaaxbxanxbnx设设，且且可可以以用用三三角角级级数数表表示示：再假定以上级数一致收敛，再假定以上级数一致收敛，则则 011111(),cos,sin,22222kkkaf xakxbkx 01,22a 01122adx 0a电气学院学习部资料库 01(),cos,cos2 cos,cossin,coskkkaf xnxnxakxnxbkxnx cos,cosnanxnx na 01(),sin,sin2 cos,sinsin,sinkkkaf xnxnxakxnxbkxnx bsin,sinnnxn
10、x nb 电气学院学习部资料库 20 (),11(),()221(),cos()cos1(),sin()si n nnf xLaf xf x dxaf xnxf xnxdxbf xnxf xnxdx若若 ，记记 定定义义 0(1,2,Fourier)()nnaab nf x称称、为为的的系系数数。01cossiFouriern()2kkkaakxbkxf x 相相应应的的三三角角级级数数称称为为的的级级数数。电气学院学习部资料库 000112()()Fourier ()cossin2 kkkaaf x dxf xaf xakxbkx为为了了方方便便起起见见，令令，此此时时的的级级数数为为注注：
11、1 ()cos 0,1,2,.1 ()sin 0,1,2,.kkaf xkxdx kbf xkxdxk此此时时，电气学院学习部资料库 01 ()Fourier()cossin,2Fourierkkkf xaf xakxbkx 若若有有可可能能展展开开为为级级数数，即即 其其系系数数上上述述系系数数公公式式确确定定，()f x但但上上式式右右端端的的级级数数不不一一定定能能处处处处收收敛敛于于。为为了了得得到到收收敛敛关关系系，必必须须加加上上适适当当的的条条件件。1()cos 0,1,2,.1()sin 0,1,2,.kkaf xkxdx kbf xkxdxk即即，电气学院学习部资料库 2()
12、,(),(),2(),()Fourier,()()1()(0)(0)2f xLf xf xf xf xxf xf xxf xf xf x设设，若若在在满满足足下下述述D Di ir ri ic ch hl le et t条条件件：1 1）在在连连续续或或至至多多有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点.）在在至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点.则则的的级级数数在在的的每每点点都都收收敛敛，当当 是是的的连连续续点点时时，它它收收敛敛于于，当当 是是的的第第一一定定理理1 1(收收敛敛定定理理)类类间间断断点点时时，它它收收敛敛于于，01 cossin()2()()1(0)(0)()2kk
13、kaakxbkxS xf xxf xf xf xxf x即即当当 是是的的连连续续点点时时当当 是是的的间间断断点点时时电气学院学习部资料库 ()Fourier()()Fourier()2,()()f xS xf xS xf xf x 这这时时，我我们们说说可可以以展展开开为为级级数数，表表示示的的级级数数的的和和函函数数。是是以以为为周周期期的的函函数数，它它在在内内的的连连续续点点处处与与相相等等。()(,),()1Fourier1f xxf x 可可以以把把 其其中中，以以2 2 为为周周期期延延拓拓成成(-)(-)上上的的周周期期函函数数。只只要要满满足足定定理理 的的条条件件，延延拓
14、拓后后的的函函数数在在整整个个数数轴轴上上作作展展开开也也会会满满足足定定理理 的的结结论论。电气学院学习部资料库 1 ()2-,)0()0 0()Fourierf xxxf xxf x例例设设是是周周期期为为的的函函数数，它它在在上上的的表表达达式式为为 把把展展开开为为级级数数。()Dirichlet(21)kf xxk函函数数满满足足条条件件，点点是是第第一一类类间间断断点点。解：解：Fourier计计算算系系数数：01()af x dx 01xdx 2 1()cosnaf xnxdx 01cosxnxdx 21(1)nn 1()sinnbf xnxdx 01sinxnxdx 1(1)n
15、n 电气学院学习部资料库1211(1)(1)()()cossin4nnnf xnxnxnn 故故 由由收收敛敛定定理理知知，1211(1)(1)()cossin4()(21)()(21)2nnnnxnxnnf xxkkxk 电气学院学习部资料库 ()Fourierf xxx例例2 2 把把，(-(-展展开开成成级级数数。()Dirichletf xx函函数数满满足足条条件件，在在-上上连连续续。解：解：01()af x dx 02xdx 1()cosnaf xnxdx 02cosxnxdx 22(1)1nn 1()sinnbf xnxdx 0 1x dx 1cosxnxdx 1sinxnxdx
16、 电气学院学习部资料库204cos(21)2(21)kkxk 212()(1)1cos2nnf xnxn 22411coscos3cos(21)23(21)=()xxkxkf x故故)x(-(-()f x把把 在在数数轴轴上上作作周周期期沿沿拓拓后后的的图图像像如如下下：电气学院学习部资料库0 x 现若令，则现若令，则204102(21)kk 即即22222011111 ()8(21)35(21)kAkn 记记 2222111111 ()23nBnn()-()BA，得，得 2222221111118246(2)(2)nnn 21114nn 4电气学院学习部资料库 解解此此关关于于 的的方方程程
17、，得得 224386 211nn又又有有 11222221(1)11111(1)234nnnnn2222211111(1)2()224(2)nn22111112nnnn 21112nn 121(1)nnn 212电气学院学习部资料库三、函数展开为正弦级数或余弦级数三、函数展开为正弦级数或余弦级数1Fourier 奇奇函函数数和和偶偶函函数数的的级级数数 (),f x若若是是定定义义在在上上的的奇奇函函数数，则则 0020,0,()sinnnaabf xnxdx 1()Fourier()sinnnf xf xbnx故故的的级级数数是是:正正弦弦级级数数 (),f x若若是是定定义义在在上上的的偶
18、偶函函数数，则则00022(),()sin,0nnaf x dxaf xnxdxb 01()Fourier()cos2nnaf xf xanx故故的的级级数数是是:余余弦弦级级数数电气学院学习部资料库 20,函函数数在在展展开开为为正正弦弦级级数数或或余余弦弦级级数数基本步骤：基本步骤：,0()()-,Fourier()f xf xf x 在在(-)(-)上上补补充充函函数数 的的定定义义，使使成成为为奇奇函函数数或或偶偶函函数数，再再在在上上展展开开为为级级数数，就就可可相相应应地地得得到到的的正正弦弦、余余弦弦级级数数。(1)()f x将将展展开开为为正正弦弦级级数数如如图图，定定义义函函
19、数数 ()0()0 0()0f xxF xxfxx ()(-,)()()F xF xf x是是上上的的奇奇函函数数，称称是是的的奇奇式式延延拓拓。电气学院学习部资料库0,(0,1,2,)nan此此时时，1()sinnbF xnxdx 02()sin,(1,2,)f xnxdxn 1()0,10(0)(0)sin 200 nnf xxf xf xbnxxx在在上上的的正正弦弦展展开开式式为为，或或，电气学院学习部资料库xy0 (2)()f x将将展展开开为为余余弦弦级级数数如如图图，定定义义函函数数 ()0()()0f xxF xfxx ()-,()()F xF xf x是是上上的的偶偶函函数数
20、，称称是是的的偶偶式式延延拓拓。0012()()aF x dxf x dx此此时时，1()cosnaF xnxdx 02()cosf xnxdx 0nb电气学院学习部资料库 ()0()0,f xxxf x 若若在在右右连连续续，在在左左连连续续，则则 在在上上的的余余弦弦展展开开式式为为 01(),cos 12(0)(0),2nnf xxaanxxf xf x在在 的的连连续续点点在在 的的间间断断点点 02()cos,1,2,naf xnxdx n其其中中电气学院学习部资料库 ()1,(0)f xxx例例3 3将将函函数数分分别别展展开开为为正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数。()-,()
21、f xF x解解：为为了了得得到到正正弦弦级级数数，将将在在作作奇奇式式延延拓拓变变成成.012()sin()sinnbF xnxdxF xnxdx 02(1)sinxnxdx 22(1coscos)(1(1)(1)nnnnn1102()1(1)(1)sin 00nnxxf xnxnxx 或或()0,f x 则在的正弦展开式为则在的正弦展开式为电气学院学习部资料库 ()-,()f xF x为为了了得得到到余余弦弦级级数数，将将在在作作偶偶式式延延拓拓变变成成.012()cos()cosnaF xnxdxF xnxdx 02(1)cosxnxdx 2222(cos1)(1)1nnnn 00012
22、2()()(1)2aF x dxF x dxxdx 20 2 4 21(21)nknkk 电气学院学习部资料库21221(1)1cos2nnxnxn ()0,f x 则在的余弦展开式为则在的余弦展开式为20421cos(21)2(21)kkxk 电气学院学习部资料库四、一般周期函数的四、一般周期函数的Fourier级数级数 20 ()Dirichlet|()|Tf xTf tdt设设是是周周期期为为 的的函函数数，它它满满足足条条件件：即即在在任任一一个个周周期期内内至至多多有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点和和极极值值点点，且且。()Fourier2,2 22 ,f tT TTtxtT
23、下下面面讨讨论论如如何何将将展展开开成成级级数数，为为此此，取取一一个个基基本本区区间间令令，通通过过变变换换 T将将周周期期为为 的的函函数数化化为为周周期期为为2 2 的的函函数数，再再利利用用前前面面的的结结论论。电气学院学习部资料库 2001()Dirichlet()()Fourier ()(cossin)2()()1(0)(0)3 ()2Tnnnf tTf tdtf taf tan tbn tf ttf tf tf ttf t设设是是以以为为周周期期的的函函数数，在在任任一一个个周周期期内内满满足足条条件件，且且，则则的的级级数数处处处处收收敛敛：当当 是是的的连连续续点点当当 是是
24、定定理理的的间间断断 222222222202(),222 ()cos()cos222 ()sin()sinTTTTTTTTTTnnaf t dtTn taf tdtf tn tdtTTTn tbf tdtf tn tdtTTT点点其其中中，电气学院学习部资料库()FourierF x作作的的展展开开，得得则则2,txtT 再再令令 2(),T 记记 称称圆圆频频率率为为,22T T 取取一一个个基基本本周周期期区区间间为为证证明明：01()(cossin)2()()1(0)(0)()2kkkaF xakxbkxF xxF xF xF xxF x 当当 是是的的连连续续点点当当 是是的的间间断
25、断点点(),F x 则则在在上上也也会会满满足足()()(),2Txf tfF x 记记 ,22xtT Ttx Dirichlet条条件件，电气学院学习部资料库xt将将上上式式的的 用用 代代换换，得得证证毕毕01()(cossin)2()()1(0)(0)()2kkkaf tak tbk tf ttf tf tf ttf t 当当 是是的的连连续续点点当当 是是的的间间断断点点 2202()1()TTaf t dtxTFdx其其中中，222()sin1()sinTTnbf tnF xtdtxdxTn 222()cos1()cosTTnaf tnF xtdtxdxTn电气学院学习部资料库0,D
26、irichlet(),0,lf tl对对于于上上平平方方可可积积且且满满足足条条件件的的函函数数如如何何在在上上展展开开成成正正弦弦或或余余问问题题：弦弦级级数数？20010()0,Dirichlet()()0,()()cos12 (0)(0)()22()cos,(0,1,2)lnnlnf tlf tdtf tlf ttf tan talf tf ttf tn taf tdt nll 设设在在上上满满足足条条件件，且且，则则在在的的余余弦弦级级数数为为当当 是是的的连连续续点点当当 是是的的间间定定断断其其中中，4 4点点理理(),23f tl lTl 为为了了得得到到的的正正弦弦或或余余弦弦
27、级级数数，只只须须在在上上作作奇奇式式延延拓拓或或偶偶式式延延拓拓，取取，然然后后套套用用定定理理。电气学院学习部资料库 10()0,()()1sin(0)(0)()2 4 02()sin,(1,2,nnlnf tlf ttf tn tbf tf ttf tlttln tbf tdtnlT在在的的正正弦弦级级数数为为当当 是是的的连连续续点点当当 是是的的间间断断点点0 0当当，理理其其中中续续或或定定)Four ier2Tll级级数数的的和和函函数数是是以以 为为周周期期的的周周期期函函数数，正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数的的和和函函数数是是以以 为为周周期期的的周周期期函函数数，而而
28、注注意意：是是以以不不为为周周期期。电气学院学习部资料库解解：4 ()20,2)()01 ()112(1)()Fourier(2)()0,2f tf tttf ttf tf t例例设设是是以以 为为周周期期的的周周期期函函数数，在在区区间间，的的表表达达式式是是求求的的级级数数展展开开式式求求在在区区间间的的余余弦弦展展开开式式。(1)(1)电气学院学习部资料库 20()cosf tn tdt 222()cos TTnaf tn tdtT 32，12011tdtdt20()f t dt 11()f t dt 2202()TTaf t dtT 22,TT 20()sinf tn tdt 222(
29、)sin TTnbf tn tdtT (1,2,3,)n 21cos1()nn，1201coscostn tdtn tdt(1,2,3,)n 1n 1201sinsintn tdtn tdt电气学院学习部资料库 2,l (2 2)取取()k 2112()2311(cos1)cossin 4()2nf ttknn tn tnntk ()Fourierf t故故的的展展开开式式为为如如图图()f t作作的的偶偶式式延延拓拓，4T周周期期为为电气学院学习部资料库32 1201tdtdt20()f t dt 002()laf t dtl 按按照照定定理理4 4，(1,2,3,)n 24(cos1)()
30、2nn，1201coscos22n tn ttdtdt20()cos2n tf tdt 02()coslnn taf tdtll 02t 2134()(cos1)cos4()22nnn tf tn，()0,2f t故故在在的的余余弦弦展展开开式式为为电气学院学习部资料库1212 5 0 ()12210,1()()(1)255()()42xxf xxxS xSSSS 例例设设将将在在展展开开成成余余弦弦级级数数，它它的的和和函函数数为为。求求、。()S x 这这时时的的和和函函数数是是周周期期为为2 2的的函函数数如如图图，1,l 取取作作偶偶式式延延拓拓,解解：4按按照照定定理理，电气学院学习
31、部资料库5(2)2S 5()2S 12 3()4f 3()4S 3()4S 5(2)4S5()4S(1)(10)0Sf34 1()2f 1()2S 1()2S 电气学院学习部资料库五、五、Fourier级数的复数形式级数的复数形式 0111()()222in tin tnnnnnaaib eaib e 因因此此，01()()222in tin tin tin tnnnaeeeef tabi cos sin22in tin tin tin teeeen tn ti，cos sinEulern tn t用用公公式式表表示示、，有有01()(cossin)2nnnaf tan tbn t 3在在定定
32、理理 的的条条件件下下，有有电气学院学习部资料库 01()Fourier ()()in tin tin tnnnnnf tf tcc ec ec e则则的的级级数数改改写写为为 00,211 (),(),(1,2,)22nnnnnnaccaibcaibn记记 221()()TTnin tnccf t edtnT 下下面面推推导导 的的表表达达式式为为：电气学院学习部资料库2211()()2TTin tnnncaibf t edtT 22112()=()cossin22TTnnncaibf tn tin t dtT22001()2TTacf t dtT 0,nnna abc我我们们已已知知的的表
33、表达达式式，又又知知 与与它它们们的的关关系系，故故221()()TTin tncf t edtnT 综综合合上上述述，可可得得 221()TTin tf t edtT同同理理电气学院学习部资料库 22()3()Fourier()()()1(0)(0)()21 ()()5 TTin tnnin tnf tf tf tc ef ttf tf tf ttf tcf t edtnT 设设满满足足定定理理 的的条条件件，则则的的复复数数形形式式的的级级数数处处处处收收敛敛：当当 是是的的连连续续点点当当 是是的的间间断断点点定定其其中中，理理。电气学院学习部资料库 ()()nnAf tf t离离散散频
34、频谱谱由由于于非非负负整整数数 的的变变化化是是不不连连续续的的，所所以以是是的的，它它清清楚楚地地表表明明了了含含有有哪哪些些频频率率分分量量，以以及及各各分分量量在在整整体体中中所所占占的的比比重重关关系系。()nAf t指指频频率率和和振振幅幅的的关关系系频频图图，也也谱谱图图振振称称为为的的幅幅频频谱谱。22Fouriercossin cossinsin(),2 (1,2,)nnnnnnnnnnnnan tbn tan tbn tAn tAabaibcnnnn在在频频谱谱分分析析中中，常常注注把把级级数数中中的的一一般般项项写写成成：称称为为波波，其其中中是是第第 次次谐谐波波的的，它
35、它反反应应了了第第 次次谐谐波波次次谐谐振振幅幅的的能能量量。电气学院学习部资料库2222220()0TTtf tEtt ,22T T 先先写写出出一一个个周周期期内内，矩矩形形波波函函数数的的表表达达式式：解解 Fourier4ETT例例6 6把把宽宽为为，高高为为，周周期期为为 的的矩矩形形波波（如如下下图图）展展开开成成复复数数形形式式的的级级数数，当当时时，作作出出频频谱谱图图。ET 221EdtT 2201()TTcf t dtT Fourier计计算算系系数数为为：电气学院学习部资料库sinEnnT 2sin2Enn T 221in tEedtT 221()TTin tncf t edtT 0022,22sinnnEAcTEnAcnT，()f t为为作作出出的的频频谱谱图图，计计算算频频谱谱为为(0)()sin (,)2in tnnEEnf tetkTkTnT ()Fourierf t故故的的复复数数形形式式的的级级数数展展开开式式为为(1,2,)n 电气学院学习部资料库4T 当当时时，由由此此可可作作出出频频谱谱图图如如下下：22nnnnT 圆圆频频率率：0222,sinsin24nEEEnEnAATnTn振振幅幅：电气学院学习部资料库
